Serie 13: Online Test

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1 D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 13 Dr. Ana Cannas Serie 13: Online Test Einsendeschluss: 31. Januar 214 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden. Sie dürfen während des 1. Die Figur zeigt den Graphen einer zweimal differenzierbaren Funktion f. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Die Funktion f ist positiv. Die Ableitung f ist positiv. Die zweite Ableitung f ist nichtnegativ. 2. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Die Ableitung der Funktion x(t) = 1 t 2 + t ln t, t >, ist ẋ(t) = 2 + ln t + t. t2 x(t) = e ln t+t2, t >, ist ẋ(t) = ( 1 + 2t 2) e t2. x(t) = sin2 (t 2 ) cos(t 2 ) ( ) ist ẋ(t) = 2t sin(t 2 1 ) 1 + cos 2 (t 2. )

2 3. Welche der folgenden Funktionen ist streng monoton wachsend im Intervall ] 1, 1[? x x 2 (f) x x + x x x 3 x x e x x arccos x Keine. 4. Im folgenden Bild ist die rote Gerade im Punkt P tangential an die blaue Kurve, die der Graph einer Funktion f : R R ist. Welchen Wert hat die Ableitung f an der Stelle 1? f x P 1, Keiner dieser Werte ist korrekt.

3 5. Sei f(x) = π + 2 arctan(x) und g(x) ihre Umkehrfunktion. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? f(x) ist für alle reelle x definiert und differenzierbar. Der Wertebereich von f(x) ist (, 2π). g(x) ist für alle reelle x definiert und differenzierbar. ( ) x π g(x) = tan 2 ( g(x) = cot π x ) 2 6. Welche der folgenden Formeln ist im Allgemeinen falsch? cosh 2 x sinh 2 x = 1. cosh 2 x + sinh 2 x = cosh 2x. 2 cosh 2 x = 1 + cosh 2x. 2 sinh 2 x = 1 + sinh 2x. 7. Die Funktion x f(x) = x e x 1 + x 2 Richtig. ist gerade und lim f(x) = 1. x Falsch. 8. Welche der folgenden Identitäten ist richtig? sin(πx) lim x πx 1 = 1. ln(x 2 + 1) lim x sin(x 2 ) + 1 = 1. lim x x 1 + x 2 = 1.

4 9. Durch zweifache Anwendung der Regel von de l Hôpital folgt lim x 1 x 3 + x 2 x 2 3x + 2 = lim 3x x 1 2x 3 = lim 6x x 1 2 = 3. Was stimmt an dieser Überlegung nicht? Die Regel von de l Hôpital ist... nicht anwendbar, weil das Zählerpolynom jeweils einen höheren Grad als das Nennerpolynom hat. nicht anwendbar, weil die beiden ersten Brüche keine auf ganz R definierte Funktion beschreiben. auf den ersten Bruch nicht anwendbar, weil Zähler und Nenner für x 1 nicht beide gegen oder streben. auf den zweiten Bruch nicht anwendbar, weil Zähler und Nenner für x 1 nicht beide gegen oder streben. durchaus anwendbar und die Überlegung ist richtig! 1. Das Maclaurinsche Polynom dritter Ordnung der Funktion f(x) = e sin x ist 1 + x + x x + x2 2 + x x + x2 2 + x Wenn man zwei Funktionen addiert, dann werden ihre Taylorreihen an einem Punkt x addiert. addiert, aber man erhält die Taylorreihe an der Stelle 2x. subtrahiert. multipliziert. es kann keine allgemein gültige Aussage getroffen werden.

5 12. Betrachten Sie die Taylorentwicklung der Sinusfunktion sin x um x =. Von welcher minimalen Ordnung muss das Maclaurinsche Polynom sein, wenn die Abschätzung des Lagrange-Restgliedes sichern soll, dass für x < 1 3 eine Genauigkeit von 1 1 erreicht wird? Von erster Ordnung. Von dritter Ordnung. Von fünfter Ordnung. 13. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion im Intervall [, 1] ist falsch? f(x) = (1 x)x 2 f nimmt in [, 1] ihr globales Minimum im Punkt x = an. f nimmt in [, 1] ihr globales Maximum im Punkt x = 1 3 an. f nimmt in [, 1] ihr globales Minimum im Punkt x = 1 an. f nimmt in [, 1] ihr globales Maximum im Punkt x = 2 3 an. 14. Die Gleichung x ln(x) = 1 besitzt im Intervall [1, 3] genau eine reelle Lösung, die man mit Hilfe des Newtonschen Verfahrens beliebig genau berechnen kann. genau zwei reelle Lösungen, die man mit Hilfe des Newtonschen Verfahrens beliebig genau berechnen kann. wenigstens eine reelle Lösungen, gegen die das Newtonsche Verfahren für keinen Startwert konvergiert. keine reelle Lösung. 15. Es sei f : D R eine dreimal differenzierbare Funktion und x D. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Gilt f (x) =, so nimmt f in x ein Extremum an. Nimmt f in x ein Extremum an, so gelten f (x) = und f (x). Gilt f (x) = f (x) = und f (x), so hat f in x einen Wendepunkt.

6 16. Berechnen Sie e 1 1 e x dx. e x 1 ln(1) ln() 17. y a x a Sei a >. Wie gross ist der Flächeninhalt F der Figur, die zwischen den beiden kongruenten Parabeln x 2 = ay und y 2 = ax liegt? F = 1 3 a2. F = 1 2 a2. F = 2 3 a2.

7 18. Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion x sin x, den beiden x Koordinatenachsen und der Geraden x = 2π begrenzt wird y x = 2π 1 π x ist 2π 2π 2π sin t dt. t sin t t dt. sin t t dt. 19. Seien F, G Stammfunktionen von f, g : (a, b) R. Welche der Aussagen ist falsch? F + G ist eine Stammfunktion von f + g. F G ist eine Stammfunktion von fg. Sei c R. Dann ist F + c eine Stammfunktion von f. F G ist eine Stammfunktion von fg + F g. 2. Für alle x R gilt x Richtig. t dt = x x 2. Falsch.

8 21. Es sei f eine stetige Funktion auf dem Intervall I. Dann ist jede Funktion F mit F (x) = x für ein x I eine Stammfunktion von f. x f(t) dt, x I, Richtig. Falsch. 22. Ist f : [a, c] R stetig, so gibt es ein b [a, c] mit b a f(t) dt = c b f(t) dt. Hinweis: Betrachten Sie die stetige Funktion F (x) = x f(t) dt. a Richtig. Falsch. 23. Welche der folgenden Funktionen ist für x > nicht monoton wachsend? x x x x x x x x t dt t 2 dt sin t dt sin 2 t dt 24. Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = cos x (1 + 2 sin t) dt? cos x f (x) = 4 sin(cos x) f (x) = 4 sin(cos x) + 2 cos x f (x) = 2 sin x f (x) = 2 sin(cos x) + cos x

9 25. Sei f(x) eine differenzierbare Funktion. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx ist im Allgemeinen falsch. folgt aus der Substitutionsregel. folgt aus der partiellen Integration. ist falsch, falls f eine konstante Funktion ist. 26. Welche der folgenden Rechnungen ist keine korrekte Anwendung der partiellen Integration? sin ϕ cos ϕ dϕ = cos ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ sin ϕ cos ϕ dϕ = sin ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ x ln x dx = x2 x 2 ln x 2 dx 2x 2 e x2 dx = xe x2 e x2 dx Alle sind korrekte Anwendungen der partiellen Integration. 27. Lösen Sie das unbestimmte Integral dx 4 x 2. arcsin( x 2 ) + C arccos( x 2 ) + C 1 2 arccos( x 2 ) + C 1 2 arcsin( x 2 ) + C keines davon

10 28. Lösen Sie das unbestimmte Integral x 2 +2x (x+1) 2 dx. x 2 x+1 + C x 1 x+1 + C 2 (x+1) 3 x 2 +x+2 x+1 + C keines davon 29. Die Funktion f sei auf R definiert durch f(x) = 1 + x Welches der folgenden Polynome P erfüllt x 2 + x sin t 2 + t 2 dt. P () = f(), P () = f () und P () = f ()? x x x 2 + x Im Briefwechsel zwischen Euler und Lagrange findet man das Integral e ax e bx dx = ln b x a Mit der Substitution t = ax bzw. t = bx folgt für b a >. ln b a = e ax e bx dx = x Wo liegt der Grund für diese Absurdität? e t t e t dt dt =. t Die Substitutionsregel wurde falsch angewandt. Die beiden letzten Integrale divergieren. Daran ist nichts falsch. Aus ln b a = folgt a = b.

11 31. Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear? y + y 2 + x = y 2 + y + x = y + x 2 y = y + xy 2 = 32. Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear? y = xy + (y ) 2 y 1 x 2 + y 1 + x = 1 x 2 (y 2) 2 = y y = 2xy x 2 y Die Differentialgleichung y = ln(x + 1)y + ln(x + 1) geht durch Trennen der Variablen über in yy = ln(x + 1). y y = ln(x + 1) + 1. yy = ln(x + 1) 2. y = ln(x + 1). y Die Differentialgleichung y = x 2 + 2xy + y 2 ist linear. lässt sich durch eine Substitution u = y x lösen. lässt sich durch eine Substitution u = x + y lösen.

12 35. Die Differentialgleichung y = xy x 2 y + sin y 2 x ist linear. lässt sich durch eine Substitution u = y x lösen. lässt sich durch eine Substitution u = x + y lösen. 36. Die Differentialgleichung y = 1 x 2 y + sin x ist linear. lässt sich durch eine Substitution u = y x lösen. lässt sich durch eine Substitution u = x + y lösen. 37. Unter dem Prinzip der Variation der Konstanten für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung versteht man die Tatsache, dass die Lösung einer solchen Differentialgleichung nur bis auf eine Konstante bestimmt ist. die Art, wie die Lösung von den in einer solchen Differentialgleichung vorkommenden Konstanten abhängt. das Verfahren, zuerst die allgemeine Lösung einer solchen Differentialgleichung zu bestimmen und danach die Integrationskonstante zu berechnen, welche die gegebene Anfangsbedingung garantiert. den Ansatz y(x) = C(x) y h (x) für eine Lösung y h (x) der zugehörigen homogenen Gleichung und einer noch zu bestimmenden Funktion C(x). 38. Klicken Sie die falsche Aussage an: Die Differentialgleichung x2 2 y xy + y = besitzt die Funktion y(x) = x als Lösung. besitzt die Funktion y(x) = x 2 als Lösung. besitzt unendlich viele Lösungen. besitzt genau zwei Lösungen.

13 39. Welche der folgenden Aussagen stimmt? Jede separierbare Differentialgleichung ist eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Jede lineare Differentialgleichung 1. Ordnung ist separierbar. Jede homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung ist separierbar. Jede homogene Differentialgleichung 1. Ordnung ist separierbar. 4. Die Lösung y(x) des Anfangswertproblems y (x) = 2 y(x) + sin x, y() = 1, erfüllt 4 y(2π) = 5 e 6π 1. 5 y(2π) = 6 e 4π 1. 6 y(2π) = 4 e 5π Welche der folgenden Aussagen über die Differentialgleichung y +3y +2y = ist falsch? Es existiert eine eindeutige Lösung mit y() = und y(1) = 1 e. Es existiert eine eindeutige Lösung mit y() = und y(1) =. Es existiert eine eindeutige Lösung mit y() = 1 e und y(1) =. Es existiert eine Lösung mit y() = 1 und y(x) beschränkt für x. Es existiert eine eindeutige Lösung mit y() = 1 und y(x) beschränkt für x. 42. Welche der folgenden Aussagen über die Differentialgleichung y +3y +2y = ist falsch? Es existiert eine eindeutige Lösung mit y() =, y () = 1. Es existiert eine eindeutige Lösung mit y() =, y () = 1, y () = 3. Es existiert eine eindeutige Lösung mit y() =. Es existiert eine eindeutige Lösung mit y() = 1, y () =.

14 ( A habe die Eigenwerte und 1 mit zugehörigen Eigenvektoren 1) ( 2 1 ). Wie lautet die erste Komponente der allgemeinen Lösung von x(t) = A x(t)? x 1 (t) = c 1 e t + c 2 mit Konstanten c 1, c 2 R. x 1 (t) = e c1t 2 e c2t mit Konstanten c 1, c 2 R. x 1 (t) = c 1 e t + c 2 e 2t mit Konstanten c 1, c 2 R. und 44. Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem (AWP): ( ) ( x(t) = x(t), x() =. 3 ) Die Lösung x(t) des AWPs hat die Eigenschaft, dass x(t) für hinreichend grosse t grösser als 1 wird. x(t) auch für beliebig grosse t kleiner als 1 bleibt. x(t) für hinreichend grosse t kleiner als 1 1 wird. 45. Für die Lösung (x(t), y(t)) des Systems ẋ(t) + ẏ(t) = 4 x(t), ẋ(t) ẏ(t) = 6 y(t), welche die Anfangsbedingungen x() = 1 und y() = erfüllt, gilt x(1) + y(1) = 2e 3. 2x(1) + y(1) = 2e 3. x(1) + 2y(1) = 2e 3.

15 46. Die folgenden Bilder zeigen einige Lösungen x(t) linearer 2 2-Systeme x = A x für verschiedene Matrizen A. In welchem Fall hat A nichtreelle Eigenwerte?

16 47. Was ist das Phasenportrait des Systems ( d x dt = ) x?

17 Welche der folgenden Aussagen über die Differentialgleichung y 2y + y = (wobei C 1, C 2 R) ist korrekt? Die allgemeine Lösung ist y(x) = C 1 e x + C 2 xe x. Die allgemeine Lösung ist y(x) = C 1 e x + C 2 e x. Die allgemeine Lösung ist y(x) = C 1 e x + C 2.

18 49. Welche der folgenden Aussagen über die Differentialgleichung ist korrekt? y ω 2 y = (mit ω konstant) Die allgemeine Lösung ist y(x) = C 1 e ωx + C 2 xe ωx. Die allgemeine Lösung ist y(x) = C 1 e ωx + C 2 e ωx. Die allgemeine Lösung ist y(x) = C 1 cos (ωx) + C 2 sin (ωx). 5. Wie lautet die charakteristische Gleichung der DGL y + 2y + y =? λ 3 + 2λ + 1 = λ 3 + 2λ = λ 2 + 2λ + 1 = 1 + 2λ 2 + λ 3 = Keine.