3 Monte-Carlo-Simulationen

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1 3 Monte-Carlo-Simulationen In diesem Kapitel soll mit der so genannten Monte-Carlo-Methode ein wichtiges Anwendungsgebiet des in Kapitel 2 erarbeiteten Begriffs- und Methodenapparats detaillierter beleuchtet werden Monte-Carlo-Methode Der Begriff Monte-Carlo-Methode 1 kennzeichnet eine Klasse von Verfahren, bei denen man mit Hilfe von Zufallsgeneratoren Lösungen von Problemen auslost. Dabei können die zu lösenden Probleme selbst zufälliger Natur sein oder es können deterministische Probleme behandelt werden, für die ein adäquates stochastisches Modell entworfen wird. Ein einfaches Beispiel der letzten Kategorie soll das Prinzip der Verfahren veranschaulichen. 3.1 Beispiel (Bestimmung eines Flächeninhalts) Abbildung 3.1 zeigt eine Fläche, welche innerhalb eines durch die Seitenlängen und (im Beispiel jeweils ½) definierten Rechtecks liegt und durch einen Polygonzug definiert wird. Aufgabe ist es, den Flächeninhalt von zu bestimmen. Die Bestimmung eines Flächenintegrals ist eine Standardaufgabe, etwa im Zusammenhang mit Schwerpunktsberechnungen oder Trägheitsmomentberechnungen. Im Allgemeinen wird die Aufgabe dadurch erschwert, dass die Randkurve nicht analytisch vorgegeben ist, oder die (in unserem Fall mögliche) Berechnung über die Einteilung in Teilflächen zu aufwändig wäre. ¾ Die Idee des Monte-Carlo-Verfahrens ist es die Fläche auszulosen. Dazu bestimmt man mit Hilfe eines Zufallsgenerators Æ in der rechteckigen Grundfläche gleichverteilte Punkte und zählt die Zahl Å der in die Fläche fallenden Punkte. Anschaulich ist klar, dass das Verhältnis Å Æ ein Maß für den Anteil der Fläche in der Grundfläche darstellt, deren Flächeninhalt einfach ist. Somit ist Å Æ (131.1) eine Schätzung des Flächeninhalts von! Es ist mit Hilfe von MATLAB ein Leichtes, gleichverteilte Punkte in einem Rechteck zu erzeugen und den Flächeninhalt auf diese Weise zu schätzen. Die Funktion MCFlaeche.m des Begleitmaterials löst diese Aufgabe. Der folgende Programmausschnitt gibt die wesentlichen Schritte wieder: ½ Da es sich um Losverfahren handelt, lag es offenbar nahe, die Methoden mit der Spielbank in Monte-Carlo in Verbindung zu bringen.

2 132 Kapitel 3: Monte-Carlo-Simulationen F Abb. 3.1: Berechnung eines Flächeninhalts Treffer = 0; MCPoints = []; rand( state,sum(100*clock)); % Vorinitialisierungen % Zufallsgenerator initialis. for k=1:n % Zahl der Iterationen % Zufallspunkt im Rechteck % [0,a]x[0,b] bestimmen X = [a*rand(1,1), b*rand(1,1)]; % Punkte merken MCPoints = [MCPoints; [X,0]]; % Prüfen, ob er innerhalb des % Polygonzugs liegt if istdrin(x,a,b,polygon) Treffer = Treffer +1; % wenn ja, Trefferz. erhöhen MCPoints(k,3) = 1; % Treffer merken end; end; % Fläche berechnen F = a*b*treffer/n; Die MATLAB-Funktion rand erzeugt im Intervall ¼ ½ gleichverteilte Zufallszahlen. Damit können im Rechteck ¼ ¼ gleichverteilte Punkte erzeugt werden. Die Hauptschwierigkeit liegt bei diesem Beispiel in der Beantwortung der Frage, ob der Punkt innerhalb oder außerhalb des Polygons liegt. Diese Frage ist nicht so leicht zu beantworten. Der entsprechende Algorithmus ist in der Funktion istdrin.m implementiert. Wir wollen jedoch an dieser Stelle nicht auf ihn eingehen und bitten den interessierten Leser den reichlich kommentierten Quelltext von istdrin.m zu konsultieren.

3 3.1.1 Monte-Carlo-Methode 133 Jedes Mal, wenn diese Funktion eine ½ (Punkt ist innerhalb) zurückliefert, wird die Trefferzahl erhöht. Am Schluss wird die Fläche nach der Formel (131.1) berechnet und zurückgeliefert. Mit Hilfe der Funktionen polyput.m und des Skripts Aufruf_MCFlaeche.m kann ein Polygonzug mit der Maus gezeichnet und das Ergebnis der Monte- Carlo-Flächenberechnung visualisiert werden. Abbildung 3.2 zeigt das Ergebnis einer solchen Simulation für die in Abbildung 3.1 dargestellte Fläche. 1 Flächenschätzung mit MONTE CARLO Methode Fläche: F Abb. 3.2: Punkte der Monte-Carlo-Simulation und geschätzte Fläche In diesem Lauf wurden½¼¼¼ Zufallspunkte berechnet. Sehr gut ist die Gleichverteilung der Punkte in der rechteckigen Grundfläche zu erkennen. Der Näherungswert ¼ ½ liegt nahe dem exakten Wert ¼ ½.Wirwerdenuns weiter unten der Frage widmen, wie die Güte der Monte-Carlo-Schätzung abgeschätzt werden kann. Zuvor soll die Methode noch an einem weiteren, ähnlich gearteten Beispiel illustriert werden. 3.2 Beispiel (Berechnung der Zahl ) Die Methoden aus Beispiel 3.1 könnten natürlich in ähnlicher Weise dazu verwendet werden den Flächeninhalt eines Kreises zu bestimmen. Über die bekannte Formel für den Flächeninhalt eines Kreises liefert dies dann eine Näherung der Kreiszahl. Die Flächenbestimmung nach der Monte-Carlo-Methode ist sogar einfacher, da es leichter ist zu entscheiden, ob ein Punkt innerhalb eines Kreises liegt als innerhalb eines geschlossenen Polygonzugs. Das MATLAB-Programm MCPi.m ist für die Aufgabe konzipiert nach dem soeben skizzierten Verfahren zu schätzen. Ein wiederholter Aufruf mit ½¼¼¼ Zufallspunkten liefert folgendes Ergebnis:

4 134 Kapitel 3: Monte-Carlo-Simulationen ZahlPi = []; for k=1:10 [ZahlPi] = [ZahlPi; MCPi(1000)] end ZahlPi = % Durchschnittswert berechnen DPi = sum(zahlpi)/length(zahlpi) DPi = Das Ergebnis weicht in der zweiten Dezimalstelle vom exakten Wert von ab. ¾ Wie bereits erwähnt, ist es wesentlich, dass die erzeugten Zufallspunkte gleichverteilt in der Grundfläche erzeugt werden. Dies zeigt auch das folgende Beispiel. Das MATLAB-Programm MCPiGauss.m modifiziert das Programm MCPi.m dergestalt, dass die Zufallspunkte mit einem Gauß-verteilten Zufallsgenerator erzeugt werden. Dadurch häufen sich allerdings die erzeugten Punkte in der Nähe des Nullpunktes. Ein Aufruf mit ½¼¼¼ Zufallspunkten liefert in diesem Fall: ZahlPiG = MCPiGauss(1000) ZahlPiG = Dies ist ein offensichtlich falsches Ergebnis! Güte einer Monte-Carlo-Schätzung Bezüglich der Güte einer Monte-Carlo-Berechnung kann eine generelle Aussage gemacht werden. Den Schlüssel zu dieser Aussage liefert der Zentrale Grenzwertsatz (s. Abschnitt 2.8.2).

5 3.1.1 Monte-Carlo-Methode 135 Bezeichnen wir mit und mit Zahl der Treffer bei einer Monte-Carlo-Schätzung Ergebnis beim i-ten Versuch, so folgt für den mit der Monte-Carlo-Methode geschätzten Parameter, dass er ein Wert der Zufallsvariablen ½ Ò ½ Ò Ò ½ (135.1) ist. Bekanntlich ist jedoch eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable mit Parameter Ô, wobeiô die (problemabhängige) Trefferwahrscheinlichkeit ist. Nach dem Zentralen Grenzwertsatz ist als Überlagerung identisch verteilter, unabhängiger Zufallsvariablen asymptotisch Æ Ò Ò ¾ µ-verteilt, wobei der Erwartungswert und ¾ die Varianz der zu Grunde liegenden Verteilung ist. Im vorliegenden Fall ist nach Übung 36 µ Ô ¾ Î µ Ô ½ Ôµ für alle Ò (135.2) Nach den Skalierungsregeln (s. Seite 88) für Erwartungswert und Varianz ist für große Ò näherungsweise eine Æ ¾ Ò µ-verteilte und eine Æ ¼ ¾ Ò µ-verteilte Zufallsvariable. Auf Grund der -Regel (118.7) gilt dann für die Differenz der Monte-Carlo- Schätzung und des zu schätzenden Parameters,dass È Ô Ò Ô Ò µ ¼ (135.3) Die Gleichung (135.3) kann nun als Anhaltspunkt dafür herangezogen werden, wie viele Versuche Ò man machen muss, um mit großer Sicherheit ( ±) eine Schätzung des Parameters mit vorgegebener Genauigkeit zu erhalten. Der Ansatz führt auf die Abschätzung Ô Ò µ Ò ¾ (135.4) Ò ¾ (135.5) ¾ Wir wollen dieses Ergebnis anhand der Beispiele 3.1 und 3.2 illustrieren.

6 136 Kapitel 3: Monte-Carlo-Simulationen 3.3 Beispiel (Simulationsdauer bei vorgegebener Genauigkeit) In beiden Fällen sei eine Genauigkeit von ½¼ gefordert. Im Beispiel 3.1 ergibt sich Ô und ¾ Ô ½ Ôµ ½ (136.1) Leider geht die zu berechnende Fläche in und damit in die Abschätzung (135.5) ein, sodass diese grob geschätzt werden muss. In Abbildung 3.1 ist zu erkennen, dass die gesuchte Fläche von einem Rechteck der Seitenlängen ¼ und ¼ eingeschlossen werden kann. Der entsprechende Flächeninhalt ¼ ¾ kann in (136.1) zur Berechnung von verwendet werden. Man erhält mit ½ ½ den Schätzwert ¾ ¼ ¾ ½ ¼ ¾µ ¼ ½ und aus (135.5) die Abschätzung Ò ¼ ½ ½¼ ½ ¼¼¼¼ (136.2) Im Beispiel 3.2 erhält man Ô und ¾ Ô ½ Ôµ ½ ¼ ½ (136.3) Daraus ergibt sich die Abschätzung Ò ¼ ½ ½¼ ½ ½ ¼¼ (136.4) Im Folgenden soll dieses Ergebnis mit Hilfe der Funktion MCPi.m getestet werden: ZahlPi = MCPi( ) ZahlPi = differenz = ZahlPi-pi differenz = e-004 Die Simulationsdauer erfüllt also die Genauigkeitsanforderung. ¾ Es sollte abschließend bemerkt werden, dass die Abschätzung auf der Grundlage der -Grenze i.a. zu einem zu hohen Aufwand führt. In der Praxis (vgl. [31]) begnügt man sich daher mit geringeren Sicherheiten und erhält einen geringeren Aufwand (s. Übung 58).

7 3.1.2 Simulation von Zufallsgrößen Simulation von Zufallsgrößen In den Beispielen aus Abschnitt wurde gezeigt, wie die Monte-Carlo- Methode zur Berechnung deterministischer Größen und Parameter herangezogen werden kann. Als stochastische Methode eignet sie sich allerdings auch hervorragend zur Simulation komplexer zufälliger Vorgänge! Um solche Vorgänge zu simulieren, ist es allerdings notwendig Werte von Zufallsgrößen (Zufallszahlen) zu erzeugen, die einer vorgegebenen Verteilung genügen. Die Statistics Toolbox von MATLAB bietet bereits eine Reihe solcher Zufallszahlengeneratoren für die gängigen Verteilungen an, wie etwa exprnd für die Exponentialverteilung, normrnd für die Normalverteilung und viele andere mehr. Falls jedoch die Verteilung der zu simulierenden Zufallsvariablen nicht zu den angebotenen Zufallsgeneratoren passt, so müssen die Zufallszahlen mit einem Zufallsgenerator für die Gleichverteilung und der in Abschnitt skizzierten Transformationstechnik erzeugt werden. Wir beschränken uns in den folgenden Betrachtungen auf stetige Zufallsvariablen (für ein diskretes Beispiel sei auf Übung 59 verwiesen). Wir betrachten im Folgenden eine Verteilungsdichte Ýµ mit zugehöriger Verteilungsfunktion Ýµ. Es soll ferner angenommen werden, dass die Verteilungsdichte Ýµ auf einem Intervall stetig 2 und positiv ist. In diesem Fall ist dann Ýµ dort streng monoton wachsend. f(y) y F(y) y Abb. 3.3: Beispiel einer stetigen Verteilungsdichte Ýµ und der zugehörigen Verteilungsfunktion Ýµ Abbildung 3.3 verdeutlicht diesen Sachverhalt anhand eines Beispiels (vgl. dazu auch Übung 60). Da Ýµ eine streng monoton wachsende Funktion von nach ¼ ½ (Wertebereich jeder Verteilungsfunktion, s. Abschnitt 2.5.5) ist, hat die Gleichung ¾ und dürfen dabei durchaus auch die Werte ½ annehmen.

8 138 Kapitel 3: Monte-Carlo-Simulationen Ýµ Ü (138.1) für alle Ü ¾ ¼ ½ eine eindeutige Lösung, die entweder analytisch oder numerisch ermittelt werden kann. Es gilt also Ý ½ Üµ (138.2) Ist nun Ü der Wert einer gleichverteilten Zufallsvariablen,soistÝ durch den Zusammenhang (138.2) der Wert einer Zufallsvariablen. Wegen È Ýµ È ½ µ Ýµ È Ýµµ Ýµ (138.3) (letzteres, weil gleichverteilt ist und Ýµ ¾ ¼ ½ ist) ist offenbar Ýµ die Verteilungsfunktion Ýµ der konstruierten Zufallsvariablen! Erzeugt man somit gleichverteilte Zufallszahlen und transformiert diese gemäß Gleichung (138.2), so haben die entstehenden Zufallszahlen die gewünschte vorgegebene Verteilung. Wir wollen diesen Vorgang an einem Beispiel erläutern, bei dem Gleichung (138.1) analytisch gelöst werden kann. 3.4 Beispiel (Erzeugung exponentialverteilter Zufallszahlen) Nach (67.3) ist Ýµ ½ Ý für alle Ý ¼ (138.4) die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit Parameter. Die Lösung der Gleichung (138.1) ergibt in diesem Fall ½ Ý ½ Ü µ Ý ÐÒ ½ Üµ für alle ½ Ü ¼ (138.5) Mit Hilfe der Funktionen getexpvar.m und des Skripts Aufruf_getExpVar.m kann die Erzeugung der Zufallszahlen nach Gleichung (138.5) simuliert und visualisiert werden. Der nachfolgende Ausschnitt aus getexpvar.m gibt die wesentlichen Anweisungen wieder: for k=1:n % Zahl der Iterationen % (Gleichvert.) Zufallspunkt % im Intervall [0,1] bestimmen x = rand(1,1); % Transformationsformel y = -(1/lambda)*log(1-x); % Wert speichern ExpZahlen = [ExpZahlen; y]; end; Die Abbildung 3.4 gibt das Ergebnis eines Aufrufs von Aufruf_getExpVar.m wieder, bei dem ¾¼¼¼ Zufallszahlen für den Parameter ¾erzeugt wurden. Zugleich ist die theoretische Verteilungsdichte für den Parameter eingezeichnet. Man erkennt eine sehr gute Übereinstimmung! ¾

9 3.1.3 Anwendungsbeispiel: Bediensystem 139 Rel. Klassenh Theoretische Verteilung x Abb. 3.4: Histogramm von ¾¼¼¼ exponentialverteilten Zufallszahlen und die theoretische Verteilungsdichte für ¾ Anwendungsbeispiel: Bediensystem Abschließend soll ein etwas komplexeres Anwendungsbeispiel [31] diskutiert werden um die Vorteile der Monte-Carlo-Methode in einem besseren Rahmen zu demonstrieren. Im Allgemeinen wird man nämlich die Monte- Carlo-Methode nur in hoffnungslosen Fällen einsetzen, d.h. wenn das Problem so kompliziert ist, dass konventionelle Lösungsverfahren versagen oder keine solchen anwendbar sind. 3.5 Beispiel (Simulation eines Ò-kanaligen Bediensystems) In diesem Beispiel betrachtet man Ò Kanäle an denen zu bestimmten Zeiten Ì Bedienwünsche auftreten, die in einer festen Zeit Ø abgearbeitet werden. Wegen der letzten Eigenschaft ist es wohl weniger geeignet, sich Telefonkanäle und menschliche Operatoren als Bediener vorzustellen, sondern eher eine Abfüllanlage mit Ò Abfüllstutzen, denen maschinell gleich große Behälter zugeführt werden. Die Bedienwünsche treten zufällig auf (z.b. Behälter werden unregelmäßig von Menschen in die Maschine eingeführt) und müssen als Zufallsprozess modelliert werden. Das System ist so ausgelegt, dass immer die Station ½ zuerst bedient. Ist diese nicht dazu in der Lage, weil sie belegt ist, wird der Bedienwunsch an die nächste Station weitergereicht. Diese bearbeitet ihn oder reicht ihn ihrerseits weiter. Im schlimmsten Fall sind alle Stationen belegt und der Bedienwunsch kann nicht erfüllt werden. Interessante Fragestellungen sind in diesem Zusammenhang dann: Wie groß ist die mittlere Anzahl unerfüllter Bedienwünsche in einem gegebenen Zeitraum Ì?

10 140 Kapitel 3: Monte-Carlo-Simulationen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung eines Bedienwunschs? Wie groß ist die mittlere Anzahl erfüllter Bedienwünsche in einem gegebenen Zeitraum Ì? und so weiter. Solche Fragestellungen sind sehr komplex und können i.a. nur mit einer Simulation beantwortet werden. Dazu müssen wir zunächst bezüglich der Bedienanforderung eine sinnvolle Annahme treffen. Eine sinnvolle Annahme ist beispielsweise, dass es sich um einen so genannten Poisson-Strom handelt. Dies bedeutet, dass die Zeitabstände zwischen den Anforderungen mit einem Parameter exponentialverteilt sind. Der mittlere Zeitabstand ist dabei Ì Ñ ½. Der Algorithmus [31] ist in der MATLAB-Funktion bediensys.m der Begleitsoftware implementiert. Die Anweisungen sollen hierausplatzgründen nicht wiedergegeben werden. Die Funktion berechnet für eine Anzahl (Kn1) von Kanälen, eine feste Bedienzeit (bz) und eine vorgegebene Simulationsdauer (Tmax) fürmehrere (vers) Simulationen die durchschnittliche Zahl der abgelehnten und angenommenen Bedienwünsche. Der Parameter des Poisson-Stroms kann ebenfalls vorgegeben werden. Zur Erzeugung der exponentialverteilten Zufallszahlen für die Simulation der Zeitabstände zwischen den Bedienwünschen wird die Funktion exprnd der MATLAB Statistics Toolbox verwendet. Der Aufruf ¾ vers = 10; Knl = 10; bz = 2; T_m = 2; Tmax = 1000; % Parameter setzen % lambda = 1/T_m % Simulieren [dabg, dang] = bediensys(vers, Knl, bz, 1/T_m, Tmax) dabg = dang = ablwkt = 100*dabg/(dabg+dang) % Ablehnungswkt in % ablwkt =

11 3.1.4 Übungen 141 liefert exemplarisch das Ergebnis für einen Parametersatz. Die Tabelle 3.1 gibt einige Ergebnisse wieder, die auf diese Weise mit verschiedenen Parametern bei ½¼ Kanälen und einer Beobachtungszeit von Ì ½¼¼¼ Zeiteinheiten errechnet wurden. Tabelle 3.1: Simulationsergebnisse Bediensystem für ½¼ Kanäle und Beobachtungszeit Ì ½¼¼¼ mittl. Zahl der Annahmen mittl. Zahl der Ablehnungen Ablehnungswahrscheinlichkeit (±) Mittlere Ankunftszeit Ì Ñ ¾, Bedienzeit Ø ¾ Mittlere Ankunftszeit Ì Ñ ¾, Bedienzeit Ø Mittlere Ankunftszeit Ì Ñ ¾, Bedienzeit Ø ¼ Mittlere Ankunftszeit Ì Ñ, Bedienzeit Ø ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ½¼ ¾ ½ ¾ ½ ¾ Der Leser ist angehalten, mit dem Programm bediensys.m zu experimentieren. In diesem Zusammenhang sei auf die Übung 61 hingewiesen Übungen Übung 57 (Lösung Seite 406) Interpretieren Sie das Ergebnis des Laufes von MCPiGauss.m auf Seite 134. Übung 58 (Lösung Seite 407) Untersuchen Sie, wie in den Überlegungen zur Güte einer Monte-Carlo- Schätzung von S. 134 ein Intervall gewählt werden muss, damit in der Hälfte aller Fälle der Abstand des Wertes des Monte-Carlo-Schätzers und des zu schätzenden Parameters,alsoÝ, innerhalb dieses Intervalls liegt. Schätzen Sie auf der Grundlage dieser Überlegung für eine Genauigkeit von ½¼ den Aufwand für die Berechnung in Beispiel 3.1 neu. Übung 59 (Lösung Seite 408) Erzeugen Sie mit Hilfe des Zufallsgenerators rand Poisson-verteilte Zufallszahlen.

12 142 Kapitel 3: Monte-Carlo-Simulationen Entwerfen Sie das Verfahren und schreiben Sie dazu ein geeignetes MATLAB-Programm. Übung 60 (Lösung Seite 410) Die Verteilungsdichte aus Abbildung 3.3 hat die Form Ýµ «Ý ½ Ýµ für alle Ý ¾ ¼ ½ «¼ für alle Ý ¾ ½ ¾ sonst (142.1) mit «½¾. Erzeugen Sie mit Hilfe eines geeigneten MATLAB-Programms Zufallszahlen, die dieser Verteilung genügen. Verwenden Sie zur Lösung der Gleichung (138.1) das numerische Verfahren fzero zur numerischen Bestimmung der Nullstelle einer reellen Funktion! Hinweis: Ermitteln Sie zuerst analytisch die Verteilungsfunktion Ýµ und setzen Sie diese in eine MATLAB-Funktion um. Schreiben Sie dann eine allgemeine MATLAB-Funktion, mit der die Werte einer reellen Funktion um eine Konstante (z.b ) verschoben werden können. Nutzen Sie diese Funktion dann, um die zu lösende Gleichung Ýµ in Form eines Nullstellenproblems an fzero übergeben zu können. Übung 61 (Lösung Seite 412) Untersuchen Sie mit Hilfe von bediensys.m die Abhängigkeit des Bediensystems aus Abschnitt von der Anzahl der Kanäle und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. Verwenden Sie dabei die Parameter Ø ¾, Ì Ñ ¾und Ì ½¼¼¼ und mitteln Sie über ½¼ Simulationen.

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