Simulation mit modernen Tools - runde und spitze Berechnung von π -
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- Sebastian Adenauer
- vor 8 Jahren
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1 Simulation mit modernen Tools - runde und spitze Berechnung von π - Prof. Dr. rer. nat. Stefan Ritter Fakultät EIT 7. April 01 Gliederung 1. Wozu Simulation?. Moderne Tools zur Simulation 1. Maple, Geogebra und Matlab. Etwas genauer betrachtet: Matlab 3. Simulationen 1. Monte-Carlo Simulationen. Berechnung von π durch Dartwurf auf ein Quadrat 3. Berechnung von π durch Werfen von Nadeln 4. Zusammenfassung Stefan Ritter (EIT) 1
2 1. Wozu Simulation?. Moderne Tools zur Simulation 1. Maple, Geogebra und Matlab. Etwas genauer betrachtet: Matlab 3. Simulationen 1. Monte-Carlo Simulationen. Berechnung von π durch Dartwurf auf ein Quadrat 3. Berechnung von π durch Werfen von Nadeln 4. Zusammenfassung Stefan Ritter (EIT) 3 1 Wozu Simulation? Simulation spart Kosten und spart Zeit Simulation ist ungefährlich Simulation liefert Systemverständnis Simulation verläuft auf einer anderen Zeitskala Stefan Ritter (EIT) 4
3 Gliederung 1. Wozu Simulation?. Moderne Tools zur Simulation 1. Maple, Geogebra und Matlab. Etwas genauer betrachtet: Matlab 3. Simulationen 1. Monte-Carlo Simulationen. Berechnung von π durch Dartwurf auf ein Quadrat 3. Berechnung von π durch Werfen von Nadeln 4. Zusammenfassung Stefan Ritter (EIT) 5.1 Maple Computer-Algebra System Numerik Grafik Stefan Ritter (EIT) 6 3
4 Geogebra Programmierumgebung mit CAS Schöne Grafik-Animationen Interaktive Worksheets kostenlos! Stefan Ritter (EIT) 7 Matlab Numerische Berechnungen Große Datenmengen Graphik Toolboxen Stefan Ritter (EIT) 8 4
5 . Etwas genauer betrachtet: Matlab % Matrix und Vektor als Datenstruktur >> x=[1 4 9] >> y=sqrt(x) y=[ ] % Datenanalyse mit find >> index=find(y>1.5) index=[3 4] Stefan Ritter (EIT) 9 Gliederung 1. Wozu Simulation?. Moderne Tools zur Simulation 1. Maple, Geogebra und Matlab. Etwas genauer betrachtet: Matlab 3. Simulationen 1. Monte-Carlo Simulationen. Berechnung von π durch Dartwurf auf ein Quadrat 3. Berechnung von π durch Werfen von Nadeln 4. Zusammenfassung Stefan Ritter (EIT) 10 5
6 3.1 Monte-Carlo Simulation Simulation auf Basis von Zufallsexperimenten Realisierung auf dem Computer durch Zufallszahlen MC-Simulationen werden oft auf deterministische Probleme angewendet Stefan Ritter (EIT) 11 Basis der Monte-Carlo Simulation Zufallsexperiment: Ergebnis ω: Ausgang eines Experiments Ergebnisraum Ω : Gesamtheit der Ergebnisse Ereignis A: Teilmenge von Ω Es werden n Experimente durchgeführt: Gesetz der großen Zahlen Anzahl der Ergebnisse mit A h n ( A) = n h n ( A) P( A), n Stefan Ritter (EIT) 1 6
7 Vorgehen bei der Monte-Carlo Simulation 1. Erzeuge Zufallszahl. Werte Zufallszahl aus: Entscheide: Treffer / Nicht Treffer 3. Wiederhole Schritte 1 und sehr oft 4. Bilde Trefferquote als Schätzung der gesuchten Größe Stefan Ritter (EIT) 13 Geometrische Wahrscheinlichkeiten Zufallsexperiment: Dartwurf auf Rechteck R Ergebnisraum Ω Fläche R mit Inhalt R Ereignis A Ω Fläche A mit Inhalt A A Geometrische Wahrscheinlichkeit: P ( A) =. R Stefan Ritter (EIT) 14 7
8 3. Berechnung von π durch Dartwurf auf ein Quadrat Betrachte das Einheitsquadrat R = {(x, y): x [0,1], y [0,1]} mit R =1 A = Viertelkreis (Radius 1) mit A =π/4 MC-Simulation: 1. Erzeuge n Zufallspunkte X i = ( xi, yi ) R (Paare gleichverteilter Zufallszahlen aus [0,1]). Prüfe: X Treffer i = ( xi, yi ) A xi + yi 1 für i=1,,..n. k 3. Bilde relative Häufigkeit der Treffer: h n ( A) = n 4. Näherung: π = P( A) hn ( A) π 4 hn ( A) Stefan Ritter (EIT) 15 Implementierung in Matlab % % Berechnung von Pi mit Darts % n=1000; % rand: in (0,1) gleichverteilte Zufallszahlen x=rand(n,1); y=rand(n,1); anz_in_kreis=sum(x.^+y.^< 1); Trefferquote=anz_in_kreis/n; etwa_pi=trefferquote* Stefan Ritter (EIT) 16 8
9 Ergebnis der Simulation n π n Stefan Ritter (EIT) Berechnung von π durch Werfen von Nadeln Louis Leclerc de Buffon ( , französischer Naturforscher) In der Ebene sind parallele Linien gezogen, die den Abstand d haben Auf diese Ebene werde zufällig eine Nadel der Länge l geworfen, l < d. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel eine Linie? x: Abstand Nadelmitte - näheste Linie ϕ: Winkel Nadel gegen Linie d 0 x, 0 ϕ π bzw. ϕ [0,180 o i ] Bedingung Nadel kreuzt Linie : l x y = sin( ϕ) Stefan Ritter (EIT) 18 9
10 Monte-Carlo Simulation Betrachte gleichverteilte Zufallszahlen R d ϕ i [ 0, π ], x i 0,, i = 1,.., n. bzw. ϕ [0,180 o i ] Parameterbereich Nadel kreuzt Linie: Nadel kreuzt Linie nicht: R R l l xi yi = sin( ϕi ) Treffer xi > yi = sin( ϕi ) Stefan Ritter (EIT) 19 nicht Treffer Interpretation als geometrische Wahrscheinlichkeit Treffer: Nadel kreuzt Linie X i l = ( xi, ϕ i ) A xi yi = sin( ϕi ) Trefferquote: π k h n ( A) = n Geometrische Wahrscheinlichkeit l l A = sin( ϕ ) dϕ = ( cos( ϕ)) = l 0 0 A l l l = = π = R d π π d A d R l Nutze Trefferquote zur Berechnung der Näherung: π h ( A) d n Stefan Ritter (EIT) 0 π 10
11 Implementierung in Matlab % % Buffonsches Problem % d=1; l=0.5; n=0; x=rand(n,1)*d/; phi=rand(n,1)*180; Nadeln_kreuzen=sum(x<l/*sind(phi)); Trefferquote=Nadeln_kreuzen/n; pi_n=*l/(trefferquote*d) Stefan Ritter (EIT) 1 Ergebnis der Simulation n π n Stefan Ritter (EIT) 11
12 Historisches Hier die daraus von einigen Experimentalforschern erzielten Näherungswerte für π: (Wolf, im Jahre 1850, 5000 Würfe) (Smith, im Jahre 1855, 304 Würfe) (Fox, im Jahre 1894, 110 Würfe) (Lazzarini, im Jahre 1901, 3408 Würfe) Stefan Ritter (EIT) 3 Effiziente Berechnung von π= Leibniz-Reihe, 168 Fourierreihe von f(x)=π -x Formel von Machin, 1706 Bailey, Borwein und Plouffe, 1996 Fehler bei der Berechnung von π: Methode n=3 n=5 n=10 n=0 n=100 Leibniz Reihe Fourierreihe Machin e 8 1.5e e 7 BBP Reihe.0e 7 3.6e e 16.8e 8 5.9e Stefan Ritter (EIT) 4 1
13 Gliederung 1. Wozu Simulation?. Moderne Tools zur Simulation 1. Maple, Geogebra und Matlab. Etwas genauer betrachtet: Matlab 3. Simulationen 1. Monte-Carlo Simulationen. Berechnung von π durch Dartwurf auf ein Quadrat 3. Berechnung von π durch Werfen von Nadeln 4. Zusammenfassung Stefan Ritter (EIT) 5 4 Zusammenfassung Simulation ist ein wichtiges Teilgebiet der Ingenieurmathematik Simulation erfordert Kreativität Simulation macht Spaß! Stefan Ritter (EIT) 6 13
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