Von den Grundlagen der Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen und Teilchendetektoren
|
|
|
- Fanny Baumhauer
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Von den Grundlagen der Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen und Teilchendetektoren Michael Unrau HS WS 08/09 14 November 2008 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
4 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
6 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
7 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
8 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Historisches 2 Zufallszahlen Zufallsvariable Linear kongruente Generatoren 3 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Hit-or-Miss Methode Acceptance/Rejection Methode 4 Monte-Carlo Integration Grundidee Gesetz der großen Zahlen Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden 5 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Importance Sampling 6 Monte-Carlo Simulation Faltung Zentraler Grenzwertsatz Simulation eines Zerfalls Grundsätzlicher Ablauf 7 Zusammenfassung HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
9 Einleitung Motivation Einleitung Motivation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
10 Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
11 Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
12 Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
13 Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
14 Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
15 Einleitung Motivation Einleitung Motivation Integration: Um Wirkungsquerschnitte von Teilchenreaktionen theoretisch zu Bestimmen müssen Phasenraumintegrale ausgewertet werden d = 3k 4 Der Fehler gewöhnlicher numerischer Integrationsmethoden ist proportional zu 1 n c d Der Fehler bei Monte-Carlo Integration ist unabhängig von der Dimension des Integrals Simulation: X Messung = X wahr ± HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
16 Einleitung Historisches Einleitung Historisches Die Monte-Carlo Methode wurde von John von Neumann und Stanislaw Ulam in den 1940er Jahren im Laufe des Manhattan Projekts entwickelt, um die Neutronendiffusion zu berechnen. HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
17 Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
18 Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
19 Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
20 Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
21 Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallszahlen Zufallsvariable Zufallsvariable ist eine Variable, welche: mehrere Werte annehmen kann deren Werte nicht vorhergesagt werden können Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) besitzt, für die gilt: g(x) 0 für x + g(x)dx = 1 kumulative Verteilungsfunktion G(x) besitzt, für die gilt: 0 G(x) 1 G(x) = x g(x )dx HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
22 Zufallszahlen Linear kongruente Generatoren Zufallszahlen Linear kongruente Generatoren x i = (ax i 1 + c) mod m 0 x m a: Multikator c: Summand (häufig c = 0) m: Modul x 0 : Saatzahl HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
23 Zufallszahlen Linear kongruente Generatoren Zufallszahlen Linear kongruente Generatoren x i = (ax i 1 + c) mod m 0 x m maximale Periodenlänge ist m (bei c = 0 ist die maximale Periodenlänge m 1) maximale Periodenlänge wird erreicht, wenn: 1 m ist eine Primzahl 2 a ist so gewählt, dass das kleinste k für das gilt (a k 1) mod m = 0 ist k = m 1 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
24 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Problem: Erzeugung von Zufallszahlen, deren Verteilung durch die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) gegeben ist. x ist eine gema ß f (x) verteilte Zufallsvariable es gilt: Z x f (t)dt = F (x) = u u gleichfo rmig in (0,1) x = F ( 1) (u) Anschaulich: Bei großer Steigung von F (x) werden gro ßere Intervalle in u abgedeckt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
25 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Problem: Erzeugung von Zufallszahlen, deren Verteilung durch die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) gegeben ist. x ist eine gema ß f (x) verteilte Zufallsvariable es gilt: Z x f (t)dt = F (x) = u u gleichfo rmig in (0,1) x = F ( 1) (u) Anschaulich: Bei großer Steigung von F (x) werden gro ßere Intervalle in u abgedeckt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
26 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Problem: Erzeugung von Zufallszahlen, deren Verteilung durch die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) gegeben ist. x ist eine gema ß f (x) verteilte Zufallsvariable es gilt: Z x f (t)dt = F (x) = u u gleichfo rmig in (0,1) x = F ( 1) (u) Anschaulich: Bei großer Steigung von F (x) werden gro ßere Intervalle in u abgedeckt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
27 Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Inverse-Transform Methode Problem: Erzeugung von Zufallszahlen, deren Verteilung durch die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) gegeben ist. x ist eine gema ß f (x) verteilte Zufallsvariable es gilt: Z x f (t)dt = F (x) = u u gleichfo rmig in (0,1) x = F ( 1) (u) Anschaulich: Bei großer Steigung von F (x) werden gro ßere Intervalle in u abgedeckt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
28 Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Problem: F ( 1) ist nicht immer leicht zu berechnen. Verfahren: 1 wähle x gleichverteilt im Intervall, wo f (x) 0 2 wähle y gleichverteilt in (min(f (x)), max(f (x))) 3 falls y < f (x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
29 Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Problem: F ( 1) ist nicht immer leicht zu berechnen. Verfahren: 1 wähle x gleichverteilt im Intervall, wo f (x) 0 2 wähle y gleichverteilt in (min(f (x)), max(f (x))) 3 falls y < f (x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
30 Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Problem: F ( 1) ist nicht immer leicht zu berechnen. Verfahren: 1 wähle x gleichverteilt im Intervall, wo f (x) 0 2 wähle y gleichverteilt in (min(f (x)), max(f (x))) 3 falls y < f (x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
31 Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Hit-or-Miss Methode Problem: F ( 1) ist nicht immer leicht zu berechnen. Verfahren: 1 wähle x gleichverteilt im Intervall, wo f (x) 0 2 wähle y gleichverteilt in (min(f (x)), max(f (x))) 3 falls y < f (x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
32 Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
33 Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
34 Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
35 Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
36 Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Erzeugung beliebiger Verteilungen Acceptance/Rejection Methode Problem: Hit-or-Miss Methode nur bei flachen f (x) effizient Effizientere Methode zur Erzeugung der Zufallszahlen durch Kombination von Hit-or-Miss und Inverse-Transform Falls g(x) > f (x) für x, sowie G ( 1) bekannt: 1 wähle x gemäß g(x) 2 wähle y gleichverteilt in (0,1) 3 falls y < f (x) g(x) wird x zurückgegeben ansonsten wird x verworfen und ein neues x,y-paar erzeugt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
37 Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
38 Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
39 Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
40 Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
41 Monte-Carlo Integration Grundidee Monte-Carlo Integration Problem: Erwartungsvert von f(x): E(f ) = I = b a f (x)dx f (u)dg(u) = f (u)g(u)du für gleichförmig verteiltes u in [a,b] gilt: dg = du b a E(f ) = 1 b f (u)du b a a I = b a f (x)dx = (b a)e(f ) HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
42 Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit an, je häufiger das Experiment durchgeführt wird. 1 lim n n n i=1 f (u i ) = 1 b f (u)du = E(f ) b a a V (I ) = (b a)2 V (f (x)) n σ 1 n HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
43 Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit an, je häufiger das Experiment durchgeführt wird. 1 lim n n n i=1 f (u i ) = 1 b f (u)du = E(f ) b a a V (I ) = (b a)2 V (f (x)) n σ 1 n HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
44 Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Monte-Carlo Integration Gesetz der großen Zahlen Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit an, je häufiger das Experiment durchgeführt wird. 1 lim n n n i=1 f (u i ) = 1 b f (u)du = E(f ) b a a V (I ) = (b a)2 V (f (x)) n σ 1 n HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
45 Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Trapezregel: Integral I = b a f (x)dx wird angenähert durch: I T = h( 1 2 f 0 + f f n f n) wobei das Intervall [a,b] in n gleiche Intervalle der Länge h geteilt wird, und es gilt: f i = f (a + ih) i = 0, 1, 2,...n Fehler: σ T 1 n 2 Bei der Berechnung nach Simpsonregel: σ S 1 n 4 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
46 Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Trapezregel: Integral I = b a f (x)dx wird angenähert durch: I T = h( 1 2 f 0 + f f n f n) wobei das Intervall [a,b] in n gleiche Intervalle der Länge h geteilt wird, und es gilt: f i = f (a + ih) i = 0, 1, 2,...n Fehler: σ T 1 n 2 Bei der Berechnung nach Simpsonregel: σ S 1 n 4 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
47 Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Trapezregel: Integral I = b a f (x)dx wird angenähert durch: I T = h( 1 2 f 0 + f f n f n) wobei das Intervall [a,b] in n gleiche Intervalle der Länge h geteilt wird, und es gilt: f i = f (a + ih) i = 0, 1, 2,...n Fehler: σ T 1 n 2 Bei der Berechnung nach Simpsonregel: σ S 1 n 4 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
48 Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
49 Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
50 Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
51 Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
52 Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
53 Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Monte-Carlo Integration Vergleich zu numerischen Integrationsmethoden Fehler bei der Integration nach der Trapezregel: σ T 1 n 2 Fehler bei der MC-Integration: σ MC 1 n Ist die numerische Integration also effizienter, als die MC-Integration? Bei Integration in einer Dimension ist die numerische Integration besser! Bei Integration in d-dimensionen gilt für den Fehler bei der Trapezformel jedoch: σ T 1 n 2 d Bei der MC-Integration ist der Fehler unabhängig von der Anzahl der Dimensionen: für k > 4 ist die Monte-Carlo Methode besser! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
54 Reduktion der Varianz Reduktion der Varianz Der Fehler der Schätzung kann durch die höhere Anzahl an Versuchen reduziert werden, dies kostet jedoch viel Rechenzeit σ MC σ(f ) n Um die Abweichung zu halbieren muss man die Anzahl der Versuche vervierfachen! Effizienter: V(f) reduzieren HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
55 Reduktion der Varianz Reduktion der Varianz Der Fehler der Schätzung kann durch die höhere Anzahl an Versuchen reduziert werden, dies kostet jedoch viel Rechenzeit σ MC σ(f ) n Um die Abweichung zu halbieren muss man die Anzahl der Versuche vervierfachen! Effizienter: V(f) reduzieren HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
56 Reduktion der Varianz Reduktion der Varianz Der Fehler der Schätzung kann durch die höhere Anzahl an Versuchen reduziert werden, dies kostet jedoch viel Rechenzeit σ MC σ(f ) n Um die Abweichung zu halbieren muss man die Anzahl der Versuche vervierfachen! Effizienter: V(f) reduzieren HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
57 Reduktion der Varianz Reduktion der Varianz Der Fehler der Schätzung kann durch die höhere Anzahl an Versuchen reduziert werden, dies kostet jedoch viel Rechenzeit σ MC σ(f ) n Um die Abweichung zu halbieren muss man die Anzahl der Versuche vervierfachen! Effizienter: V(f) reduzieren HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
58 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
59 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
60 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
61 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
62 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
63 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
64 Reduktion der Varianz Stratified Sampling Reduktion der Varianz Stratified Sampling Verfahren: 1 Integral wird in mehrere Schichten aufgeteilt 2 die Schichten werden (gewichtet) integriert 3 die Teilsummen werden addiert bei ungeschickter Gewichtung kann die Varianz erhöht werden! bei gleicher Gewichtung ist die Varianz maximal so groß, wie ohne Aufteilung, kann jedoch auch kleiner werden effizient, falls f (x) const. innerhalb der einzelnen Schichten HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
65 Reduktion der Varianz Importance Sampling Reduktion der Varianz Importance Sampling Varianz ist bei großen Werten von f(x) besonders groß stärkere Gewichtung der Bereiche mit hohen Funktionswerten reduziert die Varianz I = I b a n b a n i=1 f (x)dx = f (x i ) g(x i ) b Varianz klein falls f (x) g(x) const. a f (x) f (x) g(x)dx = E( g(x) g(x) ) x i (a, b) entsprechend g(x) verteilt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
66 Reduktion der Varianz Importance Sampling Reduktion der Varianz Importance Sampling Varianz ist bei großen Werten von f(x) besonders groß stärkere Gewichtung der Bereiche mit hohen Funktionswerten reduziert die Varianz I = I b a n b a n i=1 f (x)dx = f (x i ) g(x i ) b Varianz klein falls f (x) g(x) const. a f (x) f (x) g(x)dx = E( g(x) g(x) ) x i (a, b) entsprechend g(x) verteilt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
67 Reduktion der Varianz Importance Sampling Reduktion der Varianz Importance Sampling Varianz ist bei großen Werten von f(x) besonders groß stärkere Gewichtung der Bereiche mit hohen Funktionswerten reduziert die Varianz I = I b a n b a n i=1 f (x)dx = f (x i ) g(x i ) b Varianz klein falls f (x) g(x) const. a f (x) f (x) g(x)dx = E( g(x) g(x) ) x i (a, b) entsprechend g(x) verteilt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
68 Reduktion der Varianz Importance Sampling Reduktion der Varianz Importance Sampling Varianz ist bei großen Werten von f(x) besonders groß stärkere Gewichtung der Bereiche mit hohen Funktionswerten reduziert die Varianz I = I b a n b a n i=1 f (x)dx = f (x i ) g(x i ) b Varianz klein falls f (x) g(x) const. a f (x) f (x) g(x)dx = E( g(x) g(x) ) x i (a, b) entsprechend g(x) verteilt HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
69 Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
70 Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
71 Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
72 Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
73 Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
74 Monte-Carlo Simulation Faltung Monte-Carlo Simulation Faltung Problem: Die Detektoren sind nicht ideal, deren Ausgangsdaten sind mit Messfehlern behaftet. Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsvariable u (verteilt gemäß f (u)) finden, welche mit dem Messfehler v (verteilt gemäß g(v)) gemessen wurde. Die Messgröße ist w = u + v Die Wahrscheinlichkeitsdichte h(w) ist gegeben durch die Faltung von f (u) mit g(v): h(w) = f (u) g(v) Faltungsintegral: h(w) = f (u)g(w u)du = f (w v)g(v)dv Bei der Monte-Carlo Methode entspricht die Faltung einfacher Addition der zu faltenden Zufallsvariablen HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
75 Monte-Carlo Simulation Zentraler Grenzwertsatz Monte-Carlo Simulation Zentraler Grenzwertsatz Die Summe aus einer großen Anzahl identisch verteilter, unabhängiger Zufallsvariablen mit endlicher Varianz nähert sich der Normalverteilung an. HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
76 Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
77 Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
78 Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
79 Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
80 Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
81 Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
82 Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
83 Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
84 Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Monte-Carlo Simulation Simulation eines Zerfalls Beispiel: K 0 S π+ π Vorgehensweise: 1 Impulskomponenten des Kaons würfeln 2 Lebensdauer würfeln Koordinaten des Zerfallorts 3 Berechnung der Zerfallsprodukte (Richtungen und Impulse der π) im Ruhesystem (da hier isothroper Zerfall) 4 Transformation ins Laborsystem 5 Bestimmung der Trajektorie der π 6 beim Auftreffen auf die Detektorfläche Faltung mit der Detektorauflösung 7 Faltung des Detektorsignals mit der Auflösung der Ausleseelektronik 8... HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
85 Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf 1 Berechnung der Matrix-Elemente 2 Parton Shower aus Gluonen und Quarks 3 Hadronisierung 4 Detektorsimulation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
86 Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf 1 Berechnung der Matrix-Elemente 2 Parton Shower aus Gluonen und Quarks 3 Hadronisierung 4 Detektorsimulation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
87 Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf 1 Berechnung der Matrix-Elemente 2 Parton Shower aus Gluonen und Quarks 3 Hadronisierung 4 Detektorsimulation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
88 Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf Monte-Carlo Simulation Grundsätzlicher Ablauf 1 Berechnung der Matrix-Elemente 2 Parton Shower aus Gluonen und Quarks 3 Hadronisierung 4 Detektorsimulation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
89 Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
90 Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
91 Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
92 Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
93 Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
94 Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
95 Zusammenfassung Zusammenfassung Vorteile der Monte-Carlo Methode: Fehler der Schätzung des Integralwerts ist unabhängig von der Dimension Fehler leicht abschätzbar Einfache Behandlung von Integrationsgrenzen Fehler können kontinuierlich verringert werden, ohne das die komplette Rechnung neu gemacht werden muss Faltung wird durch einfache Addition dargestellt Zuordnung des passenden Modells zu den Messdaten durch Parametervariation HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
96 Zusammenfassung Quellen James E. Gentle - Random Number Generation and Monte Carlo Methods F. James - Monte Carlo theory and practice Rubinstein/Kroese - Simulation and the Monte Carlo Method N.Metropolis - The Beginning of the Monte Carlo Method V.Blobel/E.Lohrmann - Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse Povh - Teilchen und Kerne Vielen Dank an Prof. Quast für Beispielprogramme und viele nützliche Anregungen! HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November / 24
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
Fotios Filis. Monte-Carlo-Simulation
Fotios Filis Monte-Carlo-Simulation Monte-Carlo-Methoden??? Spielcasino gibt Namen Monte Carlo war namensgebend für diese Art von Verfahren: Erste Tabellen mit Zufallszahlen wurden durch Roulette-Spiel-Ergebnisse
Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge
2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung
ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph
R ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org
R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. www.r-project.org Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird
Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8
. Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y
Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik
Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
www.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen
Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge
Kernfach Mathematik Thema: Analysis
Kernfach Mathemati Bahnlinie Bei A-Stadt endet eine Bahnlinie. In nebenstehender Zeichnung ist ein Koordinatenreuz so gelegt worden, dass A mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Bahnlinie verläuft entlang
Computational Finance
Computational Finance Kapitel 2.1: Einführung in die Simulation Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4
Mathematik des Hybriden Monte-Carlo. Marcus Weber. Zuse Institute Berlin
Mathematik des Hybriden Monte-Carlo Marcus Weber Zuse Institute Berlin Statistische Thermodynamik Ziel: Am Computer ein Ensemble samplen. Messung im Gleichgewicht (zeitunabhängige Verteilung π der Systemzustände
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
Das top-quark. Entdeckung und Vermessung
Das top-quark Entdeckung und Vermessung Inhalt Geschichte Eigenschaften des top-quarks Wie top-paare entstehen Detektion Methoden der Massen-Messung Geschichte Die Vorstellung von Quarks wurde 1961 unabhängig
Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
Monte-Carlo- Simulation. Seminar zur Vorlesung Teilchendetektoren und Experiment an ELSA
Monte-Carlo- Simulation Seminar zur Vorlesung Teilchendetektoren und Experiment an ELSA Übersicht Einleitung Simulation mit Geant4 generierte Daten Zusammenfassung 2 Simulation Mathematische Modellierung
Download. Mathematik üben Klasse 8 Funktionen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert
Download Jens Conrad, Hard Seifert Mathematik üben Klasse 8 Funktionen Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 8 Funktionen Differenzierte
Lineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
y 1 2 3 4 5 6 P (Y = y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Unabhängigkeit
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah
Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem
Monte-Carlo Simulation
Monte-Carlo Simulation Dolga Olena Otto-von-Guericke-Universität Fakultät für Informatik Seminar-Das virtuelle Labor Inhaltsverzeichnis Überblick Geschichte Anwendung -Bereiche -Spezielle Methoden Mathematische
In konstanten Modellen wird davon ausgegangen, dass die zu prognostizierende Größe sich über die Zeit hinweg nicht verändert.
Konstante Modelle: In konstanten Modellen wird davon ausgegangen, dass die zu prognostizierende Größe sich über die Zeit hinweg nicht verändert. Der prognostizierte Wert für die Periode T+i entspricht
Monte-Carlo-Simulation
Modellierung und Simulation Monte-Carlo-Simulation Universität Hamburg Johannes Schlundt 7. Januar 2013 Monte-Carlo-Simulation Johannes S. 1/31 Inhalt Motivation Geschichtliche Entwicklung Monte-Carlo-Simulation
Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist
Frage Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist k a F (x) =1 k>0,x k x Finden Sie den Erwartungswert und den Median der Dichte für a>1. (Bei
Approximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an
Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung
Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die
Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel
Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung
Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B
Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben
Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
Bruchrechnung Wir teilen gerecht auf
Bruchrechnung Wir teilen gerecht auf Minipizzen auf Personen. Bruchrechnung Wir teilen gerecht auf Minipizzen auf Personen. : (+) : + Wir teilen einen Teil Eine halbe Minipizza auf Personen. :? Wir teilen
Tag der Mathematik 2012
Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Aufgaben mit en und Bepunktung Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner
HIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN
HIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN Zinsen haben im täglichen Geschäftsleben große Bedeutung und somit auch die eigentliche Zinsrechnung, z.b: - Wenn Sie Ihre Rechnungen zu spät
Binäre abhängige Variablen
Binäre abhängige Variablen Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Einführung Oft wollen wir qualitative Variablen
Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit
Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit Andreas Berlin 14. Juli 2009 Bachelor-Seminar: Messen und Statistik Inhalt: 1 Aspekte einer Messung 2 Mess-System-Analyse 2.1 ANOVA-Methode 2.2 Maße
Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen?
Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen? Innermathematisches Vernetzen von Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitsrechnung Katharina Klembalski Humboldt-Universität Berlin 20.
Monte-Carlo Simulation
Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW
Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6
Tutorial: Homogenitätstest
Tutorial: Homogenitätstest Eine Bank möchte die Kreditwürdigkeit potenzieller Kreditnehmer abschätzen. Einerseits lebt die Bank ja von der Vergabe von Krediten, andererseits verursachen Problemkredite
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
Charakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
Grundlagen der Monte Carlo Simulation
Grundlagen der Monte Carlo Simulation 10. Dezember 2003 Peter Hofmann Inhaltsverzeichnis 1 Monte Carlo Simulation.................... 2 1.1 Problemstellung.................... 2 1.2 Lösung durch Monte
Das große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten
Das große x -4 Alles über das Wer kann beantragen? Generell kann jeder beantragen! Eltern (Mütter UND Väter), die schon während ihrer Elternzeit wieder in Teilzeit arbeiten möchten. Eltern, die während
Eine Einführung zum numerischen Programmieren mit Excel
Eine Einführung zum numerischen Programmieren mit Excel Bastian Gross Universität Trier 30. April 2012 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 1/36 30. April 2012 1 / 36 Inhaltsverzeichnis
Lösung. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1
Zentrale Prüfung 01 Lösung Diese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Ministeriums für Schule und Weiterbildung des Landes. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1 a)
Praktikum Nr. 3. Fachhochschule Bielefeld Fachbereich Elektrotechnik. Versuchsbericht für das elektronische Praktikum
Fachhochschule Bielefeld Fachbereich Elektrotechnik Versuchsbericht für das elektronische Praktikum Praktikum Nr. 3 Manuel Schwarz Matrikelnr.: 207XXX Pascal Hahulla Matrikelnr.: 207XXX Thema: Transistorschaltungen
Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Hauptprüfung Abiturprüfung 205 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 205 Aufgabe A
Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
RS 24.2.2005 Zufallsgroessen_i.mcd 1) Zufallsgröße Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zu jedem Zufallsexeriment gehört ein Ergebnisraum Ω. Die einzelnen Ergebnisse ω i können Buchstaben,
AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME
UweGresser Stefan Listing AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME Erfolgreich investieren mit Gresser K9 FinanzBuch Verlag 1 Einsatz des automatisierten Handelssystems Gresser K9 im Portfoliomanagement Portfoliotheorie
Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest
Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben
Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben Lb S. 166 Nr.9 Im Jugendherbergsverzeichnis ist angegeben, dass in der Jugendherberge in Eulenburg 145 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten können. Es gibt
Professionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
(1) Problemstellung. (2) Kalman Filter
Inhaltsverzeichnis (1) Problemstellung...2 (2) Kalman Filter...2 Funktionsweise... 2 Gleichungen im mehrdimensionalen Fall...3 Schätzung des Systemzustands...3 Vermuteter Schätzfehler... 3 Aktualisierung
Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable
www.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )
Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung
der Eingabe! Haben Sie das Ergebnis? Auf diesen schwarzen Punkt kommen wir noch zu sprechen.
Medizintechnik MATHCAD Kapitel. Einfache Rechnungen mit MATHCAD ohne Variablendefinition In diesem kleinen Kapitel wollen wir die ersten Schritte mit MATHCAD tun und folgende Aufgaben lösen: 8 a: 5 =?
Analyseschritte ROOT Zusammenfassung. Offline-Analyse. Seminar Teilchendetektoren und Experiment an ELSA. Karsten Koop 19.12.
1 / 32 Offline-Analyse Seminar Teilchendetektoren und Experiment an ELSA Karsten Koop 19.12.2007 2 / 32 Gliederung 1 2 Software 3 / 32 Einzelne Ereignisse, Events Bestimmung detektierter Teilchen aus Daten
Einführung in. Logische Schaltungen
Einführung in Logische Schaltungen 1/7 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1. Was sind logische Schaltungen 2. Grundlegende Elemente 3. Weitere Elemente 4. Beispiel einer logischen Schaltung 2. Notation von
Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.
Formelsammlung zur Kreisgleichung
zur Kreisgleichung Julia Wolters 6. Oktober 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Kreisgleichung 2 1.1 Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Beispiel..... 3 2 Kreis und Gerade 4 2.1 Sekanten, Tangenten,
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls
Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009)
Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009) Probleme unseres Alltags E-Mails lesen: Niemand außer mir soll meine Mails lesen! Geld abheben mit der EC-Karte: Niemand außer mir soll
Hauptseminar. Monte-Carlo-Methoden, stochastische Schätzungen und deren Unsicherheit. Robert John 2.11.2011
Hauptseminar Monte-Carlo-Methoden, stochastische Schätzungen und deren Unsicherheit Robert John 1 Inhalt Herkunft Stochastische Schätzung Monte-Carlo-Methode Varianzreduktion Zufallszahlen Anwendungsgebiete
Ein möglicher Unterrichtsgang
Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige
Das Black-Scholes Marktmodell
Das Black-Scholes Marktmodell Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 8. April 2011 1 / 14 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt
Senkung technischer Zinssatz und
Senkung technischer Zinssatz und Reduktion der Umwandlungssätze Auf den folgenden Seiten werden die Auswirkungen der Senkung des technischen Zinssatzes und der Reduktion der Umwandlungssätze veranschaulicht.
OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland
OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
Ohne Fehler geht es nicht Doch wie viele Fehler sind erlaubt?
Ohne Fehler geht es nicht Doch wie viele Fehler sind erlaubt? Behandelte Fragestellungen Was besagt eine Fehlerquote? Welche Bezugsgröße ist geeignet? Welche Fehlerquote ist gerade noch zulässig? Wie stellt
Monte Carlo Simulationen
Monte Carlo Simulationen Erkenntnisse durch die Erschaffung einer virtuellen Welt Stefan Wunsch 31. Mai 2014 INSTITUT FÜR EXPERIMENTELLE KERNPHYSIK (IEKP) KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und
Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.
Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33
Elektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich
Elektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich André Grüneberg Janko Lötzsch Mario Apitz Friedemar Blohm Versuch: 19. Dezember 2001 Protokoll: 6. Januar
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
Wie kommt der Strom zu uns?
Infoblatt Wie kommt der Strom zu uns? Bis Strom aus der Steckdose kommt, hat er einen weiten Weg hinter sich. Strom wird im Generator des Kraftwerkes erzeugt. Bestimmt kannst du dir vorstellen, dass hier
Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Abi-Retter-Strategien: Texterörterung. Das komplette Material finden Sie hier:
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de Thema: TMD: 47047 Kurzvorstellung des Materials: Teil der Abi-Retter-Strategie-Serie:
Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1
7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen
Umgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde
Zahlenwinkel: Forscherkarte 1. alleine. Zahlenwinkel: Forschertipp 1
Zahlenwinkel: Forscherkarte 1 alleine Tipp 1 Lege die Ziffern von 1 bis 9 so in den Zahlenwinkel, dass jeder Arm des Zahlenwinkels zusammengezählt das gleiche Ergebnis ergibt! Finde möglichst viele verschiedene
5.12. Variable Temperaturgradienten über dem Scheibenzwischenraum
5. Numerische Ergebnisse 92 5.12. Variable Temperaturgradienten über dem Scheibenzwischenraum Strukturbildungsprozesse spielen in der Natur eine außergewöhnliche Rolle. Man denke nur an meteorologische
Michelson-Interferometer & photoelektrischer Effekt
Michelson-Interferometer & photoelektrischer Effekt Branche: TP: Autoren: Klasse: Physik / Physique Michelson-Interferometer & photoelektrischer Effekt Cedric Rey David Schneider 2T Datum: 01.04.2008 &
Fit in Mathe. Juni 2014 Klassenstufe 9. Lineare Funktionen
Thema Musterlösungen Juni 0 Klassenstufe 9 Lineare Funktionen a) Vervollständige die Tabelle mit den Funktionswerten: x 6 8 0 6 0 x 5 6 7 8 9 0 b) Gib die Funktionsgleichung an x 6 8 0 6 0 8 x,5,75,5 0,5-0,5
Motivation. Jede Messung ist mit einem sogenannten Fehler behaftet, d.h. einer Messungenauigkeit
Fehlerrechnung Inhalt: 1. Motivation 2. Was sind Messfehler, statistische und systematische 3. Verteilung statistischer Fehler 4. Fehlerfortpflanzung 5. Graphische Auswertung und lineare Regression 6.
SOFTWARE FÜR PRG-APPLIKATIONEN
SOFTWARE FÜR PRG-APPLIKATIONEN Autor: Frank Bergmann Letzte Änderung: 04.12.2014 09:09 1 1 Inhaltsverzeichnis 1 Inhaltsverzeichnis... 2 2 Allgemeines... 3 3 Installation und Programmaufruf... 3 4 Einstellungen...
Spin-Modelle und Monte-Carlo Simulationen
Spin-Modelle und Monte-Carlo Simulationen Ralf Gamillscheg Technische Universität Graz 12. 1. 2006 Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen 12. 1. 2006 1 / 22 Einleitung Spins uä. Statistische Physik
Algorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens 1 Organisatorisches Freitag, 05. Mai 2006: keine Vorlesung! aber Praktikum von 08.00 11.30 Uhr (Gruppen E, F, G, H; Vortestat für Prototyp)