. Ihr Schaubild sei &. a) Geben Sie die Asymptoten von & an. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an & im Punkt 1 1 mit der Achse.

Transkript

1 Aufgabe A4/04 Gegeben ist die Funktion mit 2; 0. Das Schaubild von hat im Punkt 1 die Tangente. Ermitteln Sie eine Gleichung von. Die Tangente schneidet die Achse im Punkt. Bestimmen Sie die Koordinaten von. (Quelle Abitur BW 2004) Aufgabe A4/05 Gegeben ist die Funktion mit 4 ; 0. Geben Sie die Asymptoten des Schaubilds von an. Skizzieren Sie damit das Schaubild von. Ermitteln Sie eine Gleichung der Normalen im Punkt 2 2. (Quelle Abitur BW 2005) Aufgabe A4/06 Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die Achse im Ursprung. Der Punkt 1 1 ist der Hochpunkt des Schaubilds. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. (Quelle Abitur BW 2006) Aufgabe A4/07 Gegeben ist die Funktion mit. a) Bestimmen Sie die Punkte des Schaubilds von mit waagrechter Tangente. b) Das Schaubild von hat im Punkt 1 die Normale. Ermitteln Sie die Gleichung von. (Quelle Abitur BW 2007) Aufgabe A4/08 Für eine ganzrationale Funktion h zweiten Grades gilt: 1 4 ist der Tiefpunkt und!2 5 ein weiterer Punkt ihres Schaubilds. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h. (Quelle Abitur BW 2008) Aufgabe A4/09 Das Schaubild der Funktion mit # 3 3 besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an diesen Wendepunkt. (Quelle Abitur BW 2009) Aufgabe A4/10 Gegeben ist die Funktion mit %. Ihr Schaubild sei &. a) Geben Sie die Asymptoten von & an. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an & im Punkt 1 1 mit der Achse. (Quelle Abitur BW 2010)

2 Aufgabe A4/11 Gegeben sind die Funktionen und ' mit ( und '( % 2. a) Beschreiben Sie, wie das Schaubild von ' aus dem Schaubild von entsteht. b) Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von und ' im Punkt 0 1 berühren. (Quelle Abitur BW 2011) Aufgabe A4/12 Gegeben sind die Funktionen und ' mit und '23. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden zugehörigen Graphen. Untersuchen Sie, ob sich die beiden Graphen senkrecht schneiden. (Quelle Abitur BW 2012) Aufgabe A4/13 Gegeben sind die Funktionen und ' mit 3 und '2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird. (Quelle Abitur BW 2013 Aufgabe 4) Aufgabe A9/13 Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort. (Quelle Abitur BW 2013 Aufgabe 9) Aufgabe A4/14 Gegeben sind die Funktionen und ' mit )*+ und '2)*+, 1. a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von ' aus dem Graphen von erhält. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von ' für (Quelle Abitur BW 2014) Aufgabe A4/15 Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle 2 die Tangente mit der Gleichung.412. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von. (Quelle Abitur BW 2015 Aufgabe 4) Aufgabe A9/15 Mit / wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet. Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper. (Quelle Abitur BW 2015 Aufgabe 9)

3 Aufgabe A4/16 Der Graph der Funktion mit 5 # besitzt einen Wendepunkt. Zeigen Sie, dass. # ist. (Quelle Abitur BW 2016 Aufgabe 4) eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt Aufgabe A4/17 Sind die folgenden Aussagen wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. 1) Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Extremstelle. 2) Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Extremstelle. (Quelle Abitur BW 2017 Aufgabe 4) Aufgabe A3/18 Gegeben ist die Funktion mit ist eine Stammfunktion von. Bestimmen Sie die Stelle, an der die Graphen von 6 und parallele Tangenten besitzen. (Quelle Abitur BW 2018 Aufgabe 3)

4 Lösung A4/04 Berechnung der Koordinate des Punktes über 1. Berechnung der Steigung im Punkt über 1. Aufstellung der Tangentengleichung über die Punkt-Steigungsformel. Berechnung der Nullstelle von Punkt-Steigungs-Formel für Tangentenschnittpunkt mit der Achse ist 3 0. Lösung A4/05 Asymptoten: Wir untersuchen die Definitionslücken von sowie globale Verhalten für. Berechnung der Koordinate des Punktes über 2. Berechnung der Steigung im Punkt über 2. Bestimmung der Steigung der Normalen über die Orthogonalitätsbedingung 1. Aufstellung der Normalengleichung über die Punkt-Steigungsformel. " R\&0' Das Schaubild hat die senkrechte Asymptote (Pol) 0. 4 Das Schaubild hat die waagrechte Asymptote 4. () * / 1 / 1 Orthogonalitätsbedingung 0 1 * 2 Punkt-Steigungs-Formel für 235

5 Lösung A4/06 Die allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion lautet: Wegen des Berührpunktes im Ursprung ist 7 0, außerdem ist dieser Berührpunkt einer doppelte Nullstelle, sodass sich die Gleichung reduziert auf: Wegen des Hochpunktes in 1 1 ist außerdem Berührpunkt im Ursprung: 7 0; Hochpunkt in 1 1: Lösung A4/07 Bedingung für Punkte mit waagrechter Tangente: 0 über die Quotientenregel Normale in :1; < über 1, Orthogonalitätsbedingung und Punktsteigungs-Formel. a) = = **>?*@ *@ >* Quotientenregel ; 2 0; 4 Punkte mit waagrechter Tangente 0 0; 2 4 b) 1 Ā A - 1 A - B

6 Lösung A4/08 Ganzrationale Funktion zweiten Grades ist eine Parabel mit einer einzigen Extremstelle, die gleichzeitig Scheitelpunkt ist. Wir stellen die Scheitelpunktgleichung h4 D D der Parabel auf. Punktprobe mit E2 5 liefert den Wert für die Streckung 4. h4 D D mit F1 4 als Scheitel. h41 4 h h h 23 Lösung A4/09 Berechnung des Wendepunktes über 0 und 0. Bestimmung der Steigung im Wendepunkt über 0. Tangentengleichung über die Punktsteigungsformel G Lösung A4/10 Asymptoten: Wir untersuchen die Definitionslücken von sowie das globale Verhalten für. Berechnung der Koordinate des Punktes über 1. Berechnung der Steigung im Punkt über 1. Aufstellung der Tangentengleichung über die Punktsteigungsformel. Schnittpunkt von mit der Achse über 0.

7 " R\&0' Das Schaubild hat die senkrechte Asymptote (Pol) 0. 4 Das Schaubild hat die waagrechte Asymptote 4. () * = 14 = 8 2?H* * I * I Quotientenregel Punkt-Steigungs-Formel für Schnittpunkt mit der Achse ist : ;0< Lösung A4/11 a) Beschreibung siehe. b) Doppelte Punktprobe mit 0 1 auf und J. Berechnung der Steigung von und J im Schnittpunkt. a) Das Schaubild von J geht aus dem Schaubild von hervor durch: 1. Spiegelung an der und Achse, 2. Verschiebung um zwei Stellen nach oben. b) 0K L 1 J0K L 2121 Wegen 0J0 liegt sowohl auf als auch auf J. K * ; 01 J K?* ; J 01 und J berühren sich im Punkt 0 1. Lösung A4/12 Gemeinsame Punkte durch Berechnung der Schnittpunkte. Berechnung der Steigungen von und J in den Schnittpunkten. Bestimmung der eventuellen Orthogonalität über die Orthogonalitätsbedingung 1. J * 23 (Beseitigung des Nenners) 22 3 :2-10 quadratische Gleichung, Ā PQ B 1ĀPR B ĀR A S/U-Formel 2;

8 J 2 231; J 2 V 1 2 3W4 X 2 1; X : ;4< 2 ; J 2 2 ; J 22 2 J 21 Graphen schneiden sich : <8; J : <2 : < J : <16 Lösung A4/13 Berechnung der Schnittpunkte für untere und obere Integralgrenze. Berechnung der Fläche über das Integral aus oberer Kurve minus unterer Kurve. J quadratische Gleichung, S/U-Formel 1; 3 [ \]^J_7 \\] 327?- [ : ;; - 29;; - - ; [ 32 3 de?- \`a b `?- Lösung A9/13 Wendestellen einer Funktion sind Nullstellen ihrer zweiten Ableitung. Da die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades eine quadratische Funktion mit höchstens zwei Nullstellen ist, kann der Graph der Ausgangsfunktion höchstens zwei Wendepunkte haben. Lösung A4/14 a) Siehe. b) Berechnung aller für 0f f4 über J0. a) Das Schaubild von J geht aus dem Schaubild von hervor durch: 1. Streckung in Richtung mit dem Faktor g 2, 2. Streckung in Richtung mit dem Faktor g h, 3. Verschiebung in Richtung um eine Einheit nach unten. b) J0 2cos: h <1 :2 cos: h < 4l66mn: < ẖ = L ẖ ; = 2o= L Ṟ o

9 = L ẖ h L L - = Ṟ o h L - 4 S h p h Wegen S4 liegen alle weiteren Nullstellen außerhalb des Intervalls 0f f 4. rs - ; L - t Lösung A4/15 Die allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet: Wegen des Hochpunktes im Ursprung ist 7 0, außerdem ist dieser Berührpunkt einer doppelte Nullstelle, sodass sich die Gleichung reduziert auf: Der Graph hat eine Tangente in 2. Den zugehörigen Wert errechnen wir über die Tangentengleichung. Mit dem errechneten Punkt machen wir eine Punktprobe mit. Außerdem soll gelten 24. Wir erhalten aus den beiden Bedingungen ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, welches wir nach 4 und 5 auflösen Berührpunkt im Ursprung: 7 0; Berührpunkt Tangente in 2: Koordinaten des Tangentenpunktes Lösung A9/15 Die Funktionsgleichung des Integranden mit J4 ist eine Gerade. Wir fertigen eine Skizze an und treffen unsere Entscheidung.

10 Eine Gerade J mit J4 rotiert im Intervall u v0;4w um die Achse. Als Rotationskörper entsteht ein Kegelstumpf. Lösung A4/16 Wendepunktbestimmung über 0 und L, Steigungsbestimmung über L. Aufstellen der Tangentengleichung über Punkt-Steigungs-Formel und Vergleich mit A -. _ ; A - q.e.d. Punkt-Steigungs-Formel Lösung A4/17 1) Die Aussage ist falsch. Es fehlt die Angabe Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Gegenbeispiel: Die Ableitungsfunktion mit 3 der Funktion mit - hat die doppelte Nullstelle, 0, jedoch dort keine Extremstelle, sondern eine waagrechte Tangente. 2) Die Aussage ist wahr. Begründung: In der Mathematik gilt für eine Extremstelle die Aussage mindestens eine Extremstelle. Per Definition hat eine Extremstelle die Steigung 0. Dies ist beispielsweise bei jeder Funktion 4 A ; 4 R der Fall.

11 Lösung A3/18 Parallele Tangenten bedeutet, dass die Graphen der Funktionen von d als auch Stellen mit derselben Steigung besitzen. Steigungen von d bestimmen wir über die erste Ableitung d (gemäß Aufgabenstellung). Die Steigung von bestimmen wir über die erste Ableitung von was der zweiten Ableitung von d entspricht. Somit muss für die Stelle, an der d und dieselbe Steigung haben, gelten:. _ 4 45; ; :4 3 Q A 0, 1,5P2,25 Q A S/U-Formel 1,5 An der Stelle 1,5 besitzen d und dieselbe Steigung.