Gemischte Aufgaben : Gleichungssysteme 1. Aufgabe

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1 Gemischte Aufgaben : Gleichungssysteme 1. Aufgabe 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

2 2. Aufgabe Wie viele Hühner und Schweine besitzt Herr Müller, wenn die Tiere zusammen Beine haben? Bestimmen Sie die Lösung rechnerisch und zeichnerisch! Köpfe und 3. Aufgabe Ein Supermarkt bietet eine Großpackung Schokoladentäfelchen an, die zwei unterschiedliche Sorten enthält. Von der billigen Sorte kosten Täfelchen EUR; von der teuren kosten Täfelchen EUR. Die Großpackung kostet EUR. a) Wie viele Schokoladentafeln der billigen und der teuren Sorte könnte die Großpackung enthalten? Geben Sie verschiedene Möglichkeiten an! b) Angenommen, die Großpackung enthält genau Tafeln, wie viele davon gehören zur teuren Sorte? 4. Aufgabe Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme! Für alle Aufgaben ist 1) 2) 3) 4) 5)

3 Lösungen 1. Aufgabe 1) Lösung nach dem Additionsverfahren 2) Lösung nach dem Additionsverfahren Nicht lösbare Gleichung.

4 3) Lösung nach dem Additionsverfahren 4) Lösung nach dem Einsetzungsverfahren 5) Lösung nach dem Gleichsetzungsverfahren Bemerkung: ist ein Widerspruch. Daher ist dieses Gleichungssystem nicht lösbar. Das hätte man allerdings auch ohne Rechnung erkennen können, da auf den linken Seiten der beiden Gleichungen jeweils der gleiche Term stand, aber unterschiedliche Ergebnisse vorgegeben waren. Für solche Gleichungssysteme kann es keine Lösung geben.

5 6) Lösung nach dem Gleichsetzungsverfahren 7) Lösung nach dem Additionsverfahren Probe: Beide Gleichungen ergeben also wahre Aussagen. Probe: Beide Gleichungen ergeben also wahre Aussagen. Probe: Beide Gleichungen ergeben also wahre Aussagen.

6 Probe: Beide Gleichungen ergeben also wahre Aussagen. 8) Lösung nach dem Additionsverfahren 2. Aufgabe Sei die Anzahl der Hühner und die Anzahl der Schweine Dann gilt: I Denn jedes der Tiere hat genau einen Kopf. II Denn jedes Huhn hat Beine, also haben Hühner zusammen Beine. Schweine haben Beine, also haben Schweine Beine. Zusammen haben alle Tiere folglich Beine. Rechnerische Lösung (Additionsverfahren): Zu lösen ist also das folgende lineare Gleichungssystem: Herr Müller hat Hühner und Schweine. Zeichnerische Lösung: Man formt die Gleichungen I und II von oben so um, dass sie der

7 I II Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt bei., also die Anzahl der Hühner, ist und, also die Anzahl der Schweine, ist. Jedes andere Ergebnis hätte uns stutzig machen sollen...

8 Da in diesem Zusammenhang offensichtlicherweise nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind, ist die folgende Grafik, in der keine Geraden, sondern einzelne Punkte an den entsprechenden Stellen eingezeichnet wurden, besser: 3. Aufgabe Sei die Anzahl der billigen Schokoladentäfelchen und die Anzahl der teuren Schokoladentäfelchen Eine billige Schokolade kostet laut Aufgabenstellung EUR, eine teure EUR. a) Es gilt: Der Preis für eine billigen Schokolade mal die Anzahl der billigen Schokoladentafeln plus den Preis für eine teure Schokolade mal die Anzahl der teuren Tafeln ergibt den Gesamtpreis. Mögliche Ergebnisse sind also:,,,,,,,, Denn usw.

9 Nur ganzzahlige Angaben zählen! b) Zur oberen Gleichung kommt dazu: Denn die Gesamtzahl der Schokoladentäfelchen soll betragen. Es ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem, das mit dem Einsetzungsverfahren gelöst wird: Es sind teure Schokoladen in der Großpackung enthalten. Bemerkung: Da nur nach der Anzahl der teuren Schokoladentäfelchen gefragt war, kann die Bearbeitung der Aufgabe hier abgebrochen werden. Hätte das Gleichungssystem vollständig gelöst werden sollen, müsste auch für ein Wert ermittelt werden. 4. Aufgabe 1) Die Lösungsmenge lautet also 2)

10 Die Lösungsmenge lautet also 3) Die Lösungsmenge lautet also Bemerkung: Die ersten Umformungen (Multiplikation jeweils mit dem Hauptnenner) wurden durchgeführt, damit in der Folgerechnung keine Brüche mehr auftauchen. Allerdings werden dadurch die Zahlenwerte natürlich größer... 4)

11 Die Lösungsmenge lautet also 5) Die Lösungsmenge lautet also Bemerkung: Im ersten Schritt wurden nur die ersten beiden Gleichungen vertauscht, da die weiteren Umformungen mit dem Koeffizienten einfacher durchzuführen sind.