Mathematischer Vorkurs

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1 Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 50

2 Kapitel 5 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 54 / 50

3 Scheitel S Schenkel α Winkelbereich Winkel werden in Grad oder im Bogenmaÿ (auch Rad) angegeben: 360 =. y cot α r = sin α α cos α tan α x Durch diese Betrachtungen am Einheitskreis werden vier Funktionen deniert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 55 / 50

4 5. Denition: Winkelfunktionen Name D W Sinus sin R [, ] Cosinus cos R [, ] Tangens tan R \ { k+ k Z} R Cotangens cot R \ {k k Z} R Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktionen y y = sin x y = cos x x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 56 / 50

5 Die Graphen der Tangens- und Cotangensfunktionen: y y = tan x y = cot x x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 57 / 50

6 5. Interpretation am rechtwinkligen Dreieck C A b α c a B Mit diesen Bezeichnungen gilt dann sin α = a b, cos α = c und tan α = a b c Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 58 / 50

7 5.3 Denition: Periodische Funktionen Es sei T > 0. Eine Funktion f : R R heiÿt T -periodisch, wenn f(x + T ) = f(x) für alle x R. 5.4 Denition: Symmetrie von Funktionen Es sei I R ein um 0 symmetrisches Intervall. Eine Funktion f : I R heiÿt gerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I..... ungerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 59 / 50

8 5.5 Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen. sin sowie cos sind - und tan sowie cot sind -periodisch.. sin(x + ) = sin x und cos(x + ) = cos x. 3. sin(x + ) = cos x und cos(x + ) = sin x. 4. tan x = sin x und cotx = cos x tan x. 5. cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot sind ungerade Funktionen. 6. Für alle x R gilt sin x und cos x. 7. sin(x) = 0 genau dann, wenn x = k mit k Z. cos(x) = 0 genau dann, wenn x = k+ mit k Z. 8. sin x + cos x = der Trigonometrische Pythagoras. 9. cos x = + tan x und sin x = + cot x. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 60 / 50

9 5.6 Einschränkungen der Winkelfunktionen Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen benutzt man zur Deniton von Umkehrfunktionen:. sin [ [ ] :,, ] [, ] ist streng monoton wachsend.. cos [0,] : [0, ] [, ] ist streng monoton fallend. 3. tan ] ] [ :,, [ R ist streng monoton wachsend. 4. cot ]0,[ :]0, [ R ist streng monoton fallend. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 50

10 5.7 Denition: Arcusfunktionen Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen genannt und sind. arcsin : [, ] [, ]. arccos : [, ] [0, ] 3. arctan : R ], [ 4. arccot : R ] 0, [ Die Graphen der Arcusfunktionen sehen wie folgt aus (siehe Denition 4.): Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 50

11 y y y = arccos x y = arcsin x y = arccot x 4 x y = arctan x x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 63 / 50

12 Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme sehr nützlich: 5.8 Satz: Additionstheoreme. sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x. cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tan x ± tan y 3. tan(x ± y) = tan x tan y Daraus erhält man dann 5.9 Folgerung: Doppelte Winkel. sin(x) = sin x cos x. cos(x) = cos x sin x 3. tan(x) = tan x tan x 4. cos x = ) ( + cos(x) und sin x = ( ) cos(x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 64 / 50

13 Eine kleine Beweisskizze für die Additionstheoreme: sin x cos y cos x sin y x cos x cos y cos y sin y sin x sin y x y x + y cos(x + y) sin(x + y) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 65 / 50

14 Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit den Additionstheoremen und der Periodizität dann natürlich weitere). x in Grad x in Rad 0 6 sin x 0 cos x Eselsbrücke für die Sinus-Werte: tan x cotx x in Grad sin x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 66 / 50

15 Dierenzierbarkeit Kapitel 6 Dierenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 67 / 50

16 Dierenzierbarkeit Die Begrie Grenzwert und Stetigkeit werden in Mathematikvorlesungen genau deniert. Hier sollen lediglich die Ideen verdeutlicht werden. 6. Grenzwert und Stetigkeit Sei I ein Intervall und x 0 I. Sei f : I R eine Funktion. Die Funktion f hat in x 0 den Grenzwert a (auch Grenzwert von f für x gegen x 0 ), wenn sich die Werte f(x) nur um beliebig wenig von a unterscheiden, wenn x immer näher an x 0 rückt. Schreibweisen: lim x x 0 f(x) = a oder f(x) a für x x 0. Die Funktion f nennt man stetig in x 0, wenn lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) ist. f ist stetig auf I, wenn f in jedem Punkt von I stetig ist. Beispiele unstetiger Funktionen sind Funktionen mit Sprungstellen oder Polstellen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 68 / 50

17 Dierenzierbarkeit 6. Denition: Dierenzierbarkeit Es sei f : I R eine Funktion auf einem oenen Intervall I R. f heiÿt dierenzierbar in dem Punkt x 0 I, wenn der Grenzwert des Dierenzenquotienten f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = lim R x x 0 x x 0 h 0 h existiert. Dieser Wert wird dann mit f (x 0 ) bezeichnet und heiÿt die Ableitung von f an der Stelle x dierenzierbar auf I, wenn f an jeder Stelle x I dierenzierbar ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 69 / 50

18 Dierenzierbarkeit 6.3 Grundlegende Beispiele f(x) f (x) c 0 x x x f(x) f (x) x x x n n x n+, sin x cos x n N x n n x n, n N cos x sin x Wichtige Beobachtung: In der rechten Spalte taucht x = x nie auf! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 70 / 50

19 Dierenzierbarkeit Die Ableitung einer Funktion f kann man auch geometrisch interpretieren. y T Die Steigung der Tangente T im Punkt a ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. a x 6.4 Tangente Die Gerade mit der Gleichung y = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) heiÿt Tangente an den Graphen von f im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) (kurz auch: Tangente an f in x 0 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 50

20 Dierenzierbarkeit Bemerkung: Dierenzierbarkeit in x 0 bedeutet also anschaulich, dass sich die Funktionswerte von f in einer kleinen Umgebung von x 0 gut durch die Werte der Tangente annähern lassen. Man sagt auch: f ist linear approximierbar. Genauer: 6.5 Satz: Lineare Approximation Es sei f : I R eine Funktion auf dem oenen Intervall I R und x 0 I. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:. f ist dierenzierbar in x 0.. Es gibt eine Zahl c R und eine Funktion φ : I R mit lim x x 0 φ(x) = 0 und In diesem Fall ist c = f (x 0 ). f(x) = f(x 0 ) + c (x x 0 ) + φ(x) (x x 0 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 50

21 Dierenzierbarkeit 6.6 Satz Ist f : I R dierenzierbar in x 0 I, so ist f auch stetig in x Denition: Höhere Ableitungen. Ist f auf I dierenzierbar, so heiÿt die Funktion f : I R mit x f (x) die Ableitung von f.. Ist f dierenzierbar, und f stetig auf I so nennt man f stetig dierenzierbar. 3. Sind f und f dierenzierbar auf I, dann nennt man die Funktion f := (f ) die zweite Ableitung von f. 4. Ebenso deniert man höhere Ableitungen f, f (4), f heiÿt k-mal stetig dierenzierbar, wenn f (k) existiert und stetig ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 73 / 50

22 Dierenzierbarkeit 6.8 Satz: Dierentiationsregeln. Vielfache (cf) = cf. Summenregel (f + g) = f + g 3. Produktregel (f g) = f g + f g ( ) f 4. Quotientenregel = f g fg g g 5. Kettenregel (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x) Insbesondere ist. (f ) (x) = f(x) f (x).. (f n ) (x) = n f n (x) f (x). ( ) 3. (x) = f (x) f f (x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 74 / 50

23 Dierenzierbarkeit 6.9 Satz: Ableitung der Umkehrfunktion Es sei f auf dem Intervall I streng monoton und dierenzierbar und es gelte f 0. Dann ist die Umkehrfunktion f dierenzierbar auf J := f(i). Für y = f(x) J, also x = f (y), gilt dann ( f ) (y) = f (x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 75 / 50

24 Dierenzierbarkeit 6.0 Anwendungen f(x) f (x) x x n x n n x n tan x + tan x = cos x arcsin x x arccos x x arctan x + x n N Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 50