Wolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab

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1 Wolfgang Kohn Riza Öztürk Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab 3., erweiterte und überarbeitete Auflage ^ Springer Gabler

2 Inhaltsverzeichnis Teil I Grundlagen 1 Mengenlehre und Aussagenlogik Vorbemerkung Mengen Mengenoperationen Mengengesetze Zahlenmengen Aussagenlogik Logikoperatoren Regeln Gesetze der Logik Fazit 20 2 Funktionen Vorbemerkung Funktionsbegriff Funktionen in Scilab Besondere mathematische Funktionen Summenzeichen Produktzeichen Betragsfunktion Ganzzahlfunktion Potenz-und Wurzelfunktion Exponentialfunktionen Logarithmusfunktion Anwendung in Scilab Fazit 42

3 X Inhaltsverzeichnis 3 Kombinatorik Vorbemerkung Fakultät und Binomialkoeffizient Fakultät Binomialkoeffizient Definition des Binomialkoeffizienten in Scilab Permutation Permutation ohne Wiederholung Permutation mit Wiederholung Variation Variation ohne Wiederholung Variation mit Wiederholung Kombination Kombination ohne Wiederholung Kombination mit Wiederholung Fazit 54 Teil II Lineare Algebra 4 Vektoren Vorbemerkung Eigenschaften von Vektoren Operationen mit Vektoren Addition (Subtraktion) von Vektoren Skalares Vielfaches eines Vektors Geometrische Darstellung von Vektoren Linearkombinationen und lineare Abhängigkeit von Vektoren Linear unabhängige Vektoren und Basisvektoren Skalarprodukt (inneres Produkt) Vektoren in Scilab Fazit 68 5 Matrizen Vorbemerkung Einfache Matrizen Spezielle Matrizen Operationen mit Matrizen Addition (Subtraktion) von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem skalaren Faktor Multiplikation von Matrizen Ökonomische Anwendung Matrizenrechnung mit Scilab Fazit 79

4 Inhaltsverzeichnis XI 6 Lineare Gleichungssysteme Vorbemerkung Inhomogene lineare Gleichungssysteme Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems Linear abhängige Gleichungen im Gleichungssystem Lösen eines Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus Lösen eines Gleichungssystems mit Scilab Rang einer Matrix Eigenschaft des Rangs Rang und lineares Gleichungssystem Berechnung des Rangs mit Scilab Inverse einer Matrix Eigenschaft der Inversen Berechnung der Inversen Berechnung von Inversen mit Scilab Ökonomische Anwendung: Input-Output-Analyse Klassische Analyse Preisanalyse Lösen linearer Gleichungssysteme mit Scilab Determinante einer Matrix Berechnung von Determinanten Einige Eigenschaften von Determinanten Berechnung von Determinanten in Scilab Homogene Gleichungssysteme Eigenwerte Eigenvektoren Einige Eigenschaften von Eigenwerten Ähnliche Matrizen Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren mit Scilab Fazit Lineare Optimierung Vorbemerkung Formulierung der Grundaufgabe Grafische Maximierung Matrix-Formulierung der linearen Optimierung Simplex-Methode für die Maximierung Interpretation des Simplex-Endtableaus Sonderfälle im Simplex-Algorithmus Unbeschränkte Lösung Degeneration Mehrdeutige Lösung Erweiterungen des Simplex-Algorithmus Berücksichtigung von Größer-gleich-Beschränkungen

5 XII Inhaltsverzeichnis Berücksichtigung von Gleichungen Ein Minimierungsproblem Grafische Minimierung Simplex-Methode für die Minimierung Dualitätstheorem der linearen Optimierung Lineare Optimierung mit Scilab Fazit 144 Teil III Analysis 8 Rationale Funktionen, Folgen und Reihen Vorbemerkung Ganz-rationale Funktionen Partialdivision und Linearfaktorzerlegung Nullstellenberechnung mit der Regula falsi Nullstellenberechnung mit Scilab Gebrochen-rationale Funktionen Folgen Arithmetische Folge Geometrische Folge Reihen Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Fazit Grundlagen der Finanzmathematik Vorbemerkung Tageszäh Ikonventionen Lineare Zinsrechnung Exponentielle Zinsrechnung Nachschüssige exponentielle Verzinsung Vorschüssige exponentielle Verzinsung Gemischte Verzinsung Unterjährige periodische Verzinsung Rentenrechnung Rentenrechnung mit linearer Verzinsung Rentenrechnung mit exponentieller Verzinsung Besondere Renten Wachsende Rente Ewige Rente Kurs- und Renditeberechnung eines Wertpapiers Kursberechnung Renditeberechnung für ein Wertpapier Berechnung einer Wertpapierrendite mit Scilab 199

6 Inhaltsverzeichnis XIII Zinssatzstruktur Barwertberechnung bei nicht-flacher Zinssatzstruktur Berechnung von Nullkuponrenditen mit Scilab Duration Berechnung der Duration mit Scilab Annuitätenrechnung Annuität Restschuld Tilgungsrate Anfänglicher Tilgungssatz Tilgungsplan Berechnung eines Tilgungsplans mit Scilab Effektiver Kreditzinssatz Berechnung des effektiven Kreditzinssatzes mit Scilab Mittlere Kreditlaufzeit Margenbarwert eines Kredits Berechnung des Margenbartwerts mit Scilab Investitionsrechnung Kapitalwertmethode Methode des internen Zinssatzes Berechnungen des Kapitalwerts und des internen Zinssatzes mit Scilab Probleme der Investitionsrechnung Investitionsrechnung bei nicht-flacher Zinssatzstruktur Fazit 241 Differentialrechnung für Funktionen mit einer Variable Vorbemerkung Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Differentialquotient Ableitung einer Potenzfunktion Ableitung der Exponentialfunktion Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion Ableitung der Sinus-und Kosinusfunktion Differentiation von verknüpften Funktionen Konstant-Faktor-Regel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Ergänzende Differentiationstechniken Ableitung der Umkehrfunktion Ableitung einer logarithmierten Funktion Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis a 258

7 XIV Inhaltsverzeichnis 10.6 Höhere Ableitungen und Extremwerte Newton-Verfahren Ökonomische Anwendung Ertragsfunktion Beziehung zwischen Grenzerlös und Preis Kostenfunktion Individuelle Angebotsplanung unter vollkommener Konkurrenz Angebotsverhalten eines Monopolisten Elastizitäten Fazit Funktionen und Differentialrechnung mit zwei Variablen Vorbemerkung Funktionen mit zwei Variablen Isoquanten Nullstellen Differenzieren von Funktionen mit zwei Variablen Partielles Differential Partielles Differential höherer Ordnung Totales Differential Differentiation impliziter Funktionen Ökonomische Anwendungen Extremwertbestimmung Extremwertbestimmung unter Nebenbedingung: Lagrange-Funktion Notwendige Bedingung für einen Extremwert Lagrange-Multiplikator Hinreichende Bedingung für ein Maximum bzw. Minimum Ökonomische Anwendung: Minimalkostenkombination Ökonomische Anwendung: Portfolio-Theorie nach Markowitz Fazit Grundlagen der Integralrechnung Vorbemerkung Das unbestimmte Integral Integrale für elementare Funktionen Integrationsregeln Ökonomische Anwendung Das bestimmte Integral Hauptsatz der Integralrechnung Eigenschaften bestimmter Integrale Beispiele für bestimmte Integrale Ökonomische Anwendung Integralberechnung mit Scilab 347

8 Inhaltsverzeichnis XV 12.4 Uneigentliche Integrale Ökonomische Anwendung Statistische Anwendung Fazit 350 Teil IV Anhang Eine kurze Einführung in Scilab 353 Lösungen zu den Übungen 357 Literaturverzeichnis 387 Sachverzeichnis 389