Übungsblatt 10 Musterlösung
|
|
- Felix Voss
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Übungsblatt 0 Musterlösung Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen MA SS6 Aufgabe 45 Fehlerkonstante von MSV Betrachten Sie ein allgemeines lineares q Schrittverfahren α q j y i+ j = h β q j f t i+ j y i+ j. a Hat das Verfahren die Konsistenzordnung p so gilt für den Konsistenzfehler et i h y i... y i q+ = C p+ h p+ y p+ t i+ q +O p+2 sofern für die exakte Lösung yt C p+2 [t 0 T] gilt. Bestimmen Sie die Konstante C p+ in Abhängigkeit der Koeffizienten α j und β j. b Berechnen Sie für das folgende Verfahren die Ordnung p und die Konstante C p+. y i+ = y i +h 3 f i f i + 3 f i+. Lösung 45 Fehlerkonstante von MSV a Für den lokalen Fehler gilt mit der exakten Lösung yt und lokalen AWP mit y t l = ft l yt l für l i+ yt l = y l für l i e t i hy i...y i q+ = yti+ y i+ = yt i+ β q j ft i+ j yt i+ j α q = yt i+ α q β q j y t i+ j = yt i+ q +qh α q = yt i+ q +qh α q α q j y i+ j α q j yt i+ j β q j y t i+ q +q jh α q j yt i+ q +q jh β k y t i+ q +kh α k yt i+ q +kh. Für die Taylorentwicklung von yt+kh gilt: yt+kh = y t+kh = p+ p y l t kh l +O p+2 l= y l+ p+ t kh l +O p+ = l yl t kh l +O p+.
2 Einsetzen dieser Entwicklungen in die Formel für e liefert mit c l := yl t i+ q : p+ e = c l qh l α q p+ p+ β k lc l kh l α k c l kh +O l p+2 = p+ p+ α k c l kh h l β k lc l kh +O l p+2 α q p+ = α k k l lβ k k l h l y l t i+ q +O p+2. α q }{{} =:C l Da das Verfahren nach Aufgabenstellung Ordnung p hat fallen alle Terme mit h l l p weg d.h. C l = 0 für alle l p. Übrig bleibt dann e = α k k p+ p+β k k p h p+ y p+ t i+ q +O p+2. α q p+! }{{} =C p+ b Für das Verfahren ist die Schrittzahl q = 2. Die Koeffizienten lauten Nun haben wir α 2 = α = 0 α 0 = β 2 = 3 β = 4 3 β 0 = 3. C 0 = 0! α0 +α +α 2 0 = = 0 C =! α +2α 2 β 0 +β +β 2 = 2 2 = 0 C 2 = 2! α +4α 2 2β +2β 2 = = 0 C 3 = 3! α +8α 2 3β +4β 2 = = 0 C 4 = 4! α +6α 2 4β +8β 2 = = 0 C 5 = 5! α +32α 2 5β +6β 2 = = = 4 3. Somit besitzt das Verfahren die Ordnung p = 4 mit der Fehlerkonstanten C 5 = 4 3. Aufgabe 46 Konsistenzordnung Beweisen Sie dass die Definition der Konsistenzordnung für lineare Mehrschrittverfahren mit q = mit der Definition der Konsistenzordnung für die Einschrittverfahren übereinstimmt. Lösung 46 Konsistenzordnung Aufgabe zum Selbststudium. 2
3 Aufgabe 47 Existenz von Mehrschrittverfahren Betrachten Sie die Determinante der Bedingungsgleichungen: α j j l = l β j j l für l = 0...p die zur Bestimmung der Konsistenzordnung eines linearen q-schrittverfahren herangezogen werden können. Beweisen Sie damit folgende Aussagen: a Es existiert kein q-schrittverfahren der Ordnung 2q +. b Es existiert genau ein q-schrittverfahren der Ordnung 2q mit α q =. c Es existiert genau ein explizites q-schrittverfahren der Ordnung 2q mit α q =. Lösung 47 Existenz von Mehrschrittverfahren Wir betrachten die Bedingungsgleichung für ein Verfahren der Ordnung p. Als Matrix geschrieben lautet {}} { =:A p R { p+ 2q+2 α 0 }} { α q α q q. 0 8 q q 2 α q = q q 3 β 0 β β 0 2 p q p 0 p p2 p pq p 2. β q Wir treffen nun Aussagen über Matrizen dieser Art zu treffen. Betrachtet man die folgende Interpolationsaufgabe: Finde π P 2q+ so dass =:x πx i = c i und π x i = ĉ i für i = 0...q für gegebene c i ĉ i und paarweise verschiedene x i. So stellt man fest dass genau ein Polynom π = 2q+ γ jx j mit der gegebenen Eigenschaft existiert. Wir beweisen zunächst die Eindeutigkeit. Seien also π und π 2 gegeben. Für die Differenz π := π π 2 gilt dann πx i = 0 und π x i = 0 für i = 0...q. 3
4 Somit kann man π darstellen als πx = Qx Grad 2q+2 {}}{ q x x i 2 wobei Qx ebenfalls ein Polynom ist. Da aber π höchstens Grad 2q + haben kann folgt sofortdass Qx = 0 und damint auch π = 0. Existenz Wir betrachten den Operator L : R 2q+2 R 2q+2 der durch γ := γ 0 γ γ 2q+ c 0 c...c q ĉ 0 ĉ...ĉ q =: c gegeben ist. Offensichtlich ist L linear und wie wir gerade gesehen haben auch injektiv. Da die Dimensionen endlich sind und übereinstimmen folgt sofort auch die Surjektivität. Das heißt zu jedem Vektor c existiert mindestens ein Vektor γ somit ist auch die Existenz von π bewiesen. Bemerkung: Man nennt dieses eindeutig bestimmte Polynom π Hermitesches Interpolationspolynom zu den Punkten x i. Wählt man x i = i für i = 0...q so ist c i = 2q+ γ j i j = Lγ i und ĉ i = 2q+ γ j ji j = Lγ q++i für i = 0...q. Die Matrixdarstellung von L ist: q q q L = q 3 q 4 q 2q q q +2 2q q 3q 2 4q 3 2q +q 2q Da L bijektiv ist hat diese Matrix vollen Rang außerdem ist L = A 2q+ damit hat auch die Matrix A 2q+ vollen Rang. zu a Wir suchen x = α 0 α α 2...α q β 0 β β 2... β q so dass A 2q+ x = 0. Da A 2q+ vollen Rang hat existiert nur die triviale Lösung α 0 = α = α 2 =... = α q = β 0 = β = β 2 =... = β q = 0. Dies ergibt jedoch kein s-schrittverfahren. 4
5 zu b Wir suchen x so dass A 2q x = 0. Da A 2q+ R 2q+2 2q+2 den Rang 2q +2 hat hat die Matrix A 2q R 2q+ 2q+2 den Rang 2q +. Alle Lösungen liegen also in einem -dimensionalen Unterraum von R 2q+2. Wir müssen noch zeigen dass für eine nichttriviale Lösung x mit α q 0 existiert. Dann gibt es nämlich genau eine Lösung mit α q =. Sei also α 0...α q β 0...β q eine nichttriviale Lösung von mit α q = 0. Somit gilt α i i l = l β i i l für l = 0...2q. Insbesondere gilt damit für alle Polynome p P 2q dass α i pi = β i p i. Wählt man speziell P 2q 2 {}}{ px := x i 2 so gilt pi = 0 = p i für i = 0...q. Insgesamt folgt 0 = β q p s und da p s 0 gilt β q = 0. Man erkennt also dass die Bedingungsgleichung für ein Verfahren der Stufe q mit Ordnung 2q erfüllt ist. Nach Aufgabenteil a kann die so bestimmte Lösung nur trivial sein im Widerspruch zur Annahme. zu c Hier wird x gesucht mit A 2 x = 0. Man bemerkt dass A 2 R 2q 2q+2 den Rang 2q hat und somit alle Lösungen x in einem 2-dimensionalen Unterraum von R 2q+2 liegen. Zu zeigen ist dass es eine nichttriviale Lösung gibt mit α q 0 β q. Dann kann man α q und β q als Parametrisierung des Lösungsraumes verwenden und es existiert genau eine Lösung mit α q = β q = 0. Offenbar ist die Lösung aus Aufgabenteil b auch hier Lösung und mit der gleichen Rechnung erhält man dass dabei auch β q 0. Daraus folgt die Existenz einer Lösung von A 2 x = 0 mit α q 0 β q. 5
6 Aufgabe 48 BDF-Verfahren Aufgaben zum Selbststudium Berechnen Sie die Koeffizienten des BDF-Verfahrens für q = 3. Lösung 48 BDF-Verfahren Die Lagrange Interpolationspolynome L j j = mit lauten L 0 t = L 0 t i+ = L 0 t i = 0 L 0 t i = 0 L 0 t i 2 = 0 L t i+ = 0 L t i = L t i = 0 L t i 2 = 0 L 2 t i+ = 0 L 2 t i = 0 L 2 t i = L 2 t i 2 = 0 L 3 t i+ = 0 L 3 t i = 0 L 3 t i = 0 L 3 t i 2 = t t i t t i t t i 2 t i+ t i t i+ t i t i+ t i 2 = t t it t i t t i 2 6h 3 L t = t t i+t t i t t i 2 = t t i+t t i t t i 2 t i t i+ t i t i t i t i 2 2h 3 t t i+ t t i t t i 2 L 2 t = t i t i+ t i t i t i t i 2 = t t i+t t i t t i 2 2h 3 L 3 t = t t i+ t t i t t i t i 2 t i+ t i 2 t i t i 2 t i = t t i+t t i t t i 6h 3 Die Ableitungen und die Auswertung ergeben L 0t = t t it t i +t t i t t i 2 +t t i t t i 2 6h 3 L 0t i+ = 6h2 +3h 2 +2h 2 6h 3 = 6h L t = t t i+t t i +t t i+ t t i 2 +t t i t t i 2 2h 3 L t i+ = 6h2 2h 3 = 3 h L 2t = t t i+t t i +t t i+ t t i 2 +t t i t t i 2 2h 3 L 2t i+ = 3h2 2h 3 = 3 2h L 3t = t t i+t t i +t t i+ t t i +t t i t t i 6h 3 L 3t i+ = 2h2 6h 3 = 3h. Insgesamt ergibt sich das Verfahren 6 y i+ 3y i y i 3 y i 2 = hf i+ 6
7 oder umgeschrieben y i+ = 8 y i 9 y i + 2 y i 2 +h 6 f i+. Aufgabe 49 BDF-Verfahren mit Newton Betrachten Sie das AWP y = fty yt 0 = y 0 mit y R n und ein q-schritt BDF- Verfahren: y i+ = α q j y i+ j +hβ q f t i+ y i+. Die Näherung y i+ soll nicht mit Hilfe einer Fixpunktiteration sondern mit dem Newton Verfahren berechnet werden. Zeigen Sie dass dann im k-ten Iterationsschritt ein Gleichungssystem mit der Matrix Id hβ q D y f t i+ y k i+ gelöst werden muss wobei Dy f die Jacobi-Matrix der Funktion f bezeichnet. Geben Sie dieses Gleichungssystem an. Lösung 49 BDF Verfahren mit Newton Für das BDF Verfahren mit Schrittzahl q y i+ = α q j y i+ j +hβ q f t i+ y i+ lässt sich der Wert y i+ als Nullstelle der Funktion F i y i+ mit F i y i+ = y i+ + α q j y i+ j hβ q f t i+ y i+ berechnen. Der k-te Schritt des Newton Verfahrens lautet dann y k+ i+ = Fi yk i+ y k y i+ F i y k i+ i+. mit der Jacobi Matrix F i y k f y i+ = Id hβq y k i+ y i+. 7
Übungsblatt 1 Musterlösung
Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen MA234 - SS6 Übungsblatt Musterlösung Aufgabe (Interpolationspolynom) a) Bestimmen Sie die Hilfspolynome L i, i =,,2, für x =, x = 2 und x 2 = 3 nach der Formel
MehrVF-3: Es seien A R n n beliebig aber regulär, b R n und gesucht sei die Lösung x R n von A x = b.
NumaMB F14 Verständnisfragen-Teil (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Bewertung: Vier Fragen richtig beantwortet
MehrAusgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt
MehrKlassische Polynom Interpolation.
Klassische Polynom Interpolation. Bestimme ein Polynom (höchstens) n ten Grades p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n, das die gegebenen Daten interpoliert, d.h. p n (x i ) = f i, 0 i n. Erster
Mehr3. Lineare Mehrschrittverfahren 3.1 Begriffe
3.1 Begriffe Verfahren der Bauart k α j y n+j = h k β j f n+j, wobei f n+j := f (t n+j, y n+j ), (Mehr-S) heißen lineare Mehrschrittverfahren, genauer lineare k-schritt-verfahren. O.B.d.A. α k = 1 und
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
Mehr6 Polynominterpolation
Vorlesungsskript HM-Numerik (SS 2014): Kapitel 6 Version: 1 Juli 2014 6 Polynominterpolation Gegeben: Wertepaare { (x i,f i ) R 2 i = 0,,n } Gesucht: Einfache Funktion g : R R mit g(x i ) = f i i {0,1,,n}
Mehr8 Interpolation. 8.1 Problemstellung. Gegeben: Diskrete Werte einer Funktion f : R R an n + 1 Stützstellen. x 0 < x 1 <... < x n.
8 Interpolation 81 Problemstellung Gegeben: Diskrete Werte einer Funktion f : R R an n + 1 Stützstellen x 0 < x 1 < < x n Eingabedaten: (x 0, f 0 ),(x 1, f 1 ),,(x n, f n ) Gegebene Daten (x j, f j ) Analysis
MehrKlausur Numerische Mathematik (für Elektrotechniker), 24. Februar 2016
Verständnisfragen-Teil ( Punkte) Jeder der Verständnisfragenblöcke besteht aus Verständnisfragen. Werden alle Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block Punkte.
Mehr5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II
Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4.1 Umkehrbarkeit Man betrachte die durch g(s, t) = (e s cos(t), e s sin(t)) gegebene Funktion g : R 2 R 2. Zeigen Sie,
MehrAnleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,
MehrGrundlagen der Mathematik 1
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010, Blatt 14 Thomas Markwig Stefan Steidel Grundlagen der Mathematik 1 Die Lösungen müssen nicht eingereicht werden und werden auch nicht korrigiert. Die Aufgaben
MehrEigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren Siehe Analysis (von der Hude, Folie 20: Definition 2.3. Ein Vektor x R n heißt Eigenvektor der quadratischen n n-matrix A zum Eigenwert λ R, wenn gilt Ax = λx Die Eigenwerte
MehrLösung zu Serie Zeige, dass das Minimalpolynom jedes Jordanblocks gleich seinem charakteristischen
Lineare Algebra D-MATH, HS 4 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie. Zeige, dass das Minimalpolynom jedes Jordanblocks gleich seinem charakteristischen Polynom ist. Lösung: Das charakteristische Polynom eines
Mehr[5], [0] v 4 = + λ 3
Aufgabe 9. Basen von Untervektorräumen. Bestimmen Sie Basen von den folgenden Untervektorräumen U K des K :. K = R und U R = span,,,,,.. K = C und U C = span + i, 6, i. i i + 0. K = Z/7Z und U Z/7Z = span
MehrLineare Algebra I Lösungsvorschlag
Aufgabe Lineare Algebra I Lösungsvorschlag Wir bezeichnen mit a, a 2, a 3 Q 4 die Spalten der Matrix A. Es ist 7 a + 2a 2 = 7 4 = 7a 3, und wir sehen im l A = a, a 2, a 3 = a, a 2. Da die Vektoren a und
MehrD-MAVT Lineare Algebra I HS 2017 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen Serie 14: Ferienserie
D-MAVT Lineare Algebra I HS 7 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie 4: Ferienserie . Finden Sie ein Erzeugendensystem des Lösungsraums L R 5 des Systems x + x x 3 + 3x 4 x 5 = 3x x + 4x 3 x 4 + 5x 5
MehrMathematik für Anwender I. Klausur
Fachbereich Mathematik/Informatik 27. März 2012 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Klausur Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.
Mehra i x i, (1) Ein Teil der folgenden Betrachtungen gilt auch, wenn man den Körper durch einen Ring ersetzt.
Polynome Definition 1. Ein Polynom f über einem Körper K mit der Unbestimmten x ist eine formale Summe f(x) = i 0 a i x i, (1) wobei nur endlich viele der Koeffizienten a i K von Null verschieden sind.
MehrKLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.
MATHEMATISCHES INSTITUT PROF. DR. ACHIM SCHÄDLE 9.8.7 KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen Aufgabe : ( Punkte) [ wahr falsch ]. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s. [ ]. Der Clenshaw
MehrVorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker
Technische Universität Ilmenau SS 2010 Institut für Mathematik Inf Prof. Dr. Michael Stiebitz Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker 1 Lineare Algebra Aufgabe 1 Schauen Sie sich die
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrVF-2: 2. Es seien x = 1 3 und y = π Bei der Berechnung von sin(x) sin(y) in M(10, 12, 99, 99) tritt. Auslöschung auf.
IGPM RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil NumaMB H11 (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Es müssen mindestens zwei
MehrKapitel 11 Eigenwerte und Eigenvektoren
Kapitel Eigenwerte und Eigenvektoren. Problem der Diagonalisierbarkeit Es sei wieder K gleich R oder. Eine n n)-matrix A mit Koeffizienten aus K wird als diagonalisierbar bezeichnet, wenn es eine invertierbare
MehrLösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Winter 6 Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende
Mehr( 1) k k 2. k=0. n n(n + 1) ( 1) k k 2 + ( 1) n+1 (n + 1) 2. k=0. + ( 1) n+1 (n + 1) 2 n(n + 1) + (n + 1) 2 )
Musterlösung zum 9. Blatt 8. Aufgabe: Sei n eine natürliche Zahl. Vermuten Sie eine Formel für ( ) k k und beweisen Sie diese durch vollständige Induktion. Lösung: Für jede natürliche Zahl n sei a n =
Mehr5 Randwertprobleme. y = f(t, y, y ) für t J, (5.2a) y(t 0 ) = y 0, y(t) = y T (5.2b) zu gegebener Funktion f und Werten y 0, y T.
5 Randwertprobleme Bei den bisher betrachteten Problemen handelte es sich um Anfangswertprobleme. In der Praxis treten, insbesondere bei Differentialgleichungen höherer Ordnung, auch Randwertprobleme auf.
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 7 (7.8.7). Gegeben ist die Matrix A 3 3 3 (a) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren.
MehrEigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse
MehrLösung - Serie 25. D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 25 1. Wie lautet die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung y + 2y + y = 0? (a) λ 3 + 2λ + 1 = 0 (b) λ 3 + 2λ = 0 (c)
MehrTU Ilmenau Institut für Mathematik Übungsaufgaben zum Lehrgebiet Numerische Mathematik III Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
TU Ilmenau Institut für Mathematik Übungsaufgaben zum Lehrgebiet Numerische Mathematik III Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Datei: NM34.TEX Serie 6 Mehrschrittverfahren (MSV) 1. Die allgemeine
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Semestrale Lineare Algebra 1 Prof. Dr. F. Roesler
................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 3 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
MehrBemerkung Als Folge von Satz 6.2 kann man jede ganze Funktion schreiben als Potenzreihe. α m z m. f(z) = m=0. 2πi. re it t [0,2π] 2πi
Funktionentheorie, Woche 7 Eigenschaften holomorpher Funktionen 7.1 Ganze Funktionen Definition 7.1 Eine Funktion f : C C, die holomorph ist auf C, nennt man eine ganze Funktion. Bemerkung 7.1.1 Als Folge
MehrLineare Abbildungen und Orthonormalsysteme
KAPITEL Lineare Abbildungen und Orthonormalsysteme. Lineare Abbildungen und Koordinatendarstellungen.. Lineare Abbildungen und ihre Basisdarstellung. Seien V, W Vektorraume uber R. Mit einer Abbildung
Mehr(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.
() In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.
MehrName Vorname Fachrichtg. Matrikelnr. Punkte Klausur Aufgabe max. Punkte Punkte. Bitte beachten!
Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie Prof. Dr. Martin Henk, Dr. Michael Höding Modulprüfung Mathematik III Fachrichtung: Computer Science in Engineering, Computervisualistik, Informatik,
MehrLösungsvorschläge zur ersten Klausur Gewöhnliche Differenzialgleichungen am um 10 Uhr. Bearbeitungszeit beträgt zwei Stunden.
Lösungsvorschläge zur ersten Klausur Gewöhnliche Differenzialgleichungen am 20.6.2015 um 10 Uhr. Bearbeitungszeit beträgt zwei Stunden. Prof. Dr. Wolfgang Arendt Manuel Bernhard Sommersemester 2015 Achten
Mehr10 Untermannigfaltigkeiten
10. Untermannigfaltigkeiten 1 10 Untermannigfaltigkeiten Definition. Eine Menge M R n heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n, 1 k n, falls es zu jedem a M eine offene Umgebung U R n von a und
Mehr8 Eigenwerttheorie I 8. EIGENWERTTHEORIE I 139. Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet:
8. EIGENWERTTHEORIE I 139 8 Eigenwerttheorie I Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet: K[x] = Abb[N, K] = {P ; P = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0 ; a
MehrLineare Algebra I für Mathematiker Lösungen
Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen Anonymous 24. April 2016 Aufgabe 1 Beantworten Sie bitte die folgenden Fragen. Jeder Vektorraum hat mindestens ein Element. Q ist ein R-Vektorraum (mit der Multiplikation
Mehr= 11 ± 5, also k 1 = 3 und k 2 = 8.
Stroppel Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: R R: x x e x. (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle x R und alle k N gilt: f (k) (x) = ( ) k (x kx+(k
MehrAufgabe I.1 (4 Punkte) Gegeben seien die Matrix H := und die Menge L := {A R 4 4 A HA = H} Zeigen Sie:
Aufgabe I (4 Punkte Gegeben seien die Matrix und die Menge Zeigen Sie: H := L := {A R 4 4 A HA = H} a L ist bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe b Die Matrizen der Form ( E O, O B wobei E R
MehrFür die Matrikelnummer M = Dann sind durch A =
Musterlösung zum. Blatt 9. Aufgabe: Gegeben seien m 3 + 2 m m 3 m 2 m 4 + m 7 m 3 A := m m 2 m 2 + 2 m 2 m 4 + m 5 und b := m 6 m 4 + a) Finden Sie eine Lösung x R 7 für die Gleichung Ax =. b) Finden Sie
Mehr6. Polynom-Interpolation
6. Polynom-Interpolation 1 6.1. Klassische Polynom-Interpolation 2 6.2. Lösung mit Hilfe Lagrange scher Basisfunktionen 3 6.3. Lösung mit Hilfe Newton scher Basisfunktionen 4 6.4. Fehlerabschätzung für
MehrMusterlösung. 1 Relationen. 2 Abbildungen. TUM Ferienkurs Lineare Algebra 1 WiSe 08/09 Dipl.-Math. Konrad Waldherr
TUM Ferienkurs Lineare Algebra WiSe 8/9 Dipl.-Math. Konrad Waldherr Musterlösung Relationen Aufgabe Auf R sei die Relation σ gegeben durch (a, b)σ(c, d) : a + b c + d. Ist σ reflexiv, symmetrisch, transitiv,
Mehr4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen
7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen,
Mehr6. Lineare DGL-Systeme erster Ordnung
HJ Oberle Differentialgleichungen I WiSe 22/3 6 Lineare DGL-Systeme erster Ordnung A Allgemeines Wir betrachten ein lineares DGL System erster Ordnung y (t = A(t y(t + b(t (6 und setzen voraus, dass die
MehrAUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW
AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x
MehrViele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung
Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik. Übungs- und Scheinklausur
Institut für Analysis SS17 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 15.7.17 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets, Johanna Richter, M.Sc., Tobias Ried, M.Sc., Tobias Schmid, M.Sc. Höhere Mathematik II für die Fachrichtung
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 212/13 Institut für Analysis 14.1.213 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Aufgabe 1 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik 12. Übungsblatt Sei
MehrEinführung in die numerische Mathematik
Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 214 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis
Mehrd) Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal.
Die orthogonale Matrizen Definition: Eine Matrix Q R n n heißt orthogonal, falls QQ T = Q T Q = I gilt. Die Eigenschaften orthogonaler Matrizen: a) det(q) = ±1; b) Qx 2 = x 2 für alle x R n, also Q 2 =
MehrDierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
MehrKAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER
RUPRECHT-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG MATHEMATISCHES INSTITUT SEMINAR: QUADRATISCHE FORMEN ÜBER DEN RATIONALEN ZAHLEN SOMMERSEMESTER 2007 DOZENT: PROF. DR. KAY WINGBERG ASSISTENT: JOHANNES BARTELS KAPITEL
MehrBeispiel für eine periodische Spline-Interpolationsfunktion: Wir betrachten f(x) = sin(πx) und geben die folgenden Stützstellen und Stützwerte vor:
5 Splineinterpolation Beispiel für eine periodische Spline-Interpolationsfunktion: Wir betrachten f(x) sin(πx) und geben die folgenden Stützstellen und Stützwerte vor: x i 3 f i Damit ist n 5, h Forderung
Mehr4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen
4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen Mengen von Abbildungen Für beliebige Mengen X und Y bezeichnet Y X die Menge aller Abbildungen von X nach Y (Reihenfolge beachten!) Die Bezeichnungsweise erklärt
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil Institut für Geometrie und Praktische Mathematik (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben).
Mehr7.3 Unitäre Operatoren
Wir können jeden Operator T wie folgt schreiben: Dabei gilt T = 1 2 (T + T ) + i( 1 2 i (T T )) (T + T ) = T + T sowie ( 1 2 i (T T )) = 1 2 i (T T) = 1 2 i (T T ). Wir können T also in zwei lineare Operatoren
Mehrβ 1 x :=., und b :=. K n β m
44 Lineare Gleichungssysteme, Notations Betrachte das lineare Gleichungssystem ( ) Sei A = (α ij ) i=,,m j=,n α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m die Koeffizientenmatrix
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG Aufgabe 1 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und seien v 1,..., v n V (n N). (a) Definieren Sie, wann die endliche Familie v 1,...,
Mehr8 Polynominterpolation
8 Polynominterpolation Interpolations-Aufgabe: Von einer glatten Kurve seien nur lich viele Punktewerte gegeben. Wähle einen lichdimensionalen Funktionenraum. Konstruiere nun eine Kurve in diesem Funktionenraum
Mehr(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4)
33 Interpolation 147 33 Interpolation In vielen praktischen Anwendungen der Mathematik treten Funktionen f auf, deren Werte nur näherungsweise berechnet werden können oder sogar nur auf gewissen endlichen
MehrKapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler
Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson In diesem Kapitel wollen wir nun die eulersche -Funktion verwenden, um einen berühmten Satz von Euler zu formulieren, aus dem wir dann mehrere interessante
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrLineare Differenzengleichungen
Lineare Differenzengleichungen Die Fibonacci-Zahlen F n sind definiert durch F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 +F n 2 für n >= 2 Die letzte Zeile ist ein Beispiel für eine homogene lineare Differenzengleichung
MehrKlausur zur Einführung in die Algebra, Lösungsvorschlag
Universität Konstanz Christoph Hanselka Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer 16. März 2015 Wintersemester 2014/2015 Klausur zur Einführung in die Algebra, Lösungsvorschlag Aufgabe 1
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 5/.. Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe
Mehr3.1 Sukzessive Minima und reduzierte Basen: Resultate
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 4. Juni 2009 202 3.1 Sukzessive Minima und reduzierte Basen: Resultate In diesem Abschnitt behandeln wir die Existenz von kurzen Basen, das sind Basen eines Gitters,
Mehr2. Numerische Verfahren für AWPe 2.1 Das Euler-Verfahren
2.1 Das Euler-Verfahren Wir betrachten das AWP y = f (t, y), y(t 0 ) = y 0. (AWP) Unter den Voraussetzungen von Satz 1.1 besitzt es eine eindeutige Lösung, sagen wir über dem Intervall I. Wir wollen diese
MehrAbbildung 10.1: Das Bild zu Beispiel 10.1
Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten I. Definition einer Mannigfaltigkeit Die Definition einer Mannigfaltigkeit braucht den Begriff Diffeomorphismus, den wir in Definition 9.5 festgelegt haben. Seien U,
Mehr3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte
MehrHöhere Mathematik I. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I WiSe 4/5 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite
MehrWiederholungsserie II
Lineare Algebra II D-MATH, FS 205 Prof. Richard Pink Wiederholungsserie II. Zeige durch Kopfrechnen, dass die folgende reelle Matrix invertierbar ist: 205 2344 234 990 A := 224 423 990 3026 230 204 9095
MehrSymmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome
Proseminar Lineare Algebra SS10 Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome Natalja Shesterina Heinrich-Heine-Universität ASymmetrische Polynome Definition 1 Sei n
MehrProbeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen
MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 24 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen Musterlösung Prof. Dr. P. Pickl Aufgabe Zeigen Sie, dass
MehrFallstudien der mathematischen Modellbildung Teil 3: Quanten-Operationen. 0 i = i 0
Übungsblatt 1 Aufgabe 1: Pauli-Matrizen Die folgenden Matrizen sind die Pauli-Matrizen, gegeben in der Basis 0, 1. [ [ [ 0 1 0 i 1 0 σ 1 = σ 1 0 = σ i 0 3 = 0 1 1. Zeigen Sie, dass die Pauli-Matrizen hermitesch
MehrKlausur HM I H 2005 HM I : 1
Klausur HM I H 5 HM I : 1 Aufgabe 1 4 Punkte): Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: n 1 1 + 1 ) k nn k n! für n. Lösung: Beweis mittels Induktion nach n: Induktionsanfang: n : 1 ) 1 + 1 k
MehrBerechnung der Determinante
Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 26/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4 4. (Frühjahr 27, Thema, Aufgabe ) Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Unterräume des R 3 übereinstimmen:
MehrLösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 2016
Institut für Analysis Prof Dr Michael Plum Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 0 0090 Aufgabe Punkte: Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = 0 und b
MehrHöhere Mathematik I HM I A. WiSe 2014/15. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I WiSe 4/ Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite
MehrLösungsskizzen zur Klausur
sskizzen zur Klausur Mathematik II Sommersemester 4 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren des R 4 gegeben: b = b = b 3 = b 4 = (a) Prüfen Sie ob die Vektoren b b 4 linear unabhängig sind bestimmen Sie
MehrLineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
MehrKapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen
Kapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen Matrixform des Rangsatzes Satz. Sei A eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,..., v n. A habe den Rang r. Dann ist die Lösungsmenge L := x 1 x 2. x n x
MehrT n (1) = 1 T n (cos π n )= 1. deg T n q n 1.
KAPITEL 3. INTERPOLATION UND APPROXIMATION 47 Beweis: Wir nehmen an qx) für alle x [, ] und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Es gilt nach Folgerung ii) T n ) T n cos π n ). Wir betrachten die
MehrThema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;
MehrD-ITET, D-MATL. Prüfung Numerische Methoden, Sommer 2012 Dr. Lars Kielhorn
Name: Wichtige Hinweise D-ITET, D-MATL Prüfung Numerische Methoden, Sommer 2012 Dr. Lars Kielhorn Prüfungsdauer: 90 Minuten. Nur begründete Resultate werden bewertet. Zugelassene Hilfsmittel: 10 A4-Seiten
Mehrα i e i. v = α i σ(e i )+µ
Beweis: Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Dimension n ist. Wir nehmen als Basis B {e 1,e 2,...e n }. Für beliebige Elemente v V gilt dann v α i
MehrKlausur,,Algorithmische Mathematik II
Institut für angewandte Mathematik Sommersemester 017 Andreas Eberle, Matthias Erbar / Behrend Heeren Klausur,,Algorithmische Mathematik II Musterlösung 1 (Unabhängige Zufallsvariablen) a) Wir bezeichnen
MehrSysteme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.
Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x
Mehr