Analysis 7. f(x) = 4 x (x R)

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1 Analysis 7 Aufgaben Gegeben ist die Funktion f durch fx) = 4 x R) a) Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen). Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall 4 x 4. b) Es gibt Rechtecke, von denen zwei Eckpunkte auf der x-achse und die anderen Eckpunkte auf dem Graph der Funktion f liegen. Weisen Sie nach, dass unter diesen Rechtecken ein flächengrößtes Rechteck existiert und berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks. c) Durch die Koordinatenachsen, den Graph der Funktion f und die Gerade mit der Gleichung x = wird eine Fläche vollständig begrenzt. Diese Fläche rotiere um die y-achse. Berechnen Sie das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers. d) Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M0 0) berührt den Graph der Funktion f in genau zwei Punkten. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Berührungspunkte. e) Gegeben sind die Funktionen f a durch f a x) = a a R a > 0; x R) Für jede dieser Funktionen existieren genau zwei Geraden, die den Punkt S0 f a 0)) enthalten und den Graph von f a in genau einem weiteren Punkt berühren. Ermitteln Sie für beide Geraden jeweils eine Gleichung in Abhängigkeit von a.

2 Diese Geraden und die x-achse begrenzen eine Dreieck. Für welchen Wert von a hat dieses Dreieck den Flächeninhalt A = 0? 2

3 Lösungen a) An den Nullstellen ist der Funktionswert fx) = 0: 0 = 4 0 = 4 Die Funktion f besitzt keine Nullstellen. Die Extrema werden durch Untersuchung der ersten Ableitung f auf Nullstellen bestimmt: fx) = 4 f x) = 4 2x ) 2 = 8x ) 2 0 = 8x x = 0 Zur Bestimmung der Art des Extremums untersucht man die zweite Ableitung f an dieser Stelle: f x) = 8x ) 2 f x) = 8 ) 2 + 8x 2 ) 2x ) 4 = 24x2 8 ) f 0) = 8 < 0 Der Punkt P Max 0 4) ist ein lokales Maximum der Funktion f.

4 Zur Bestimmung der Wendestellen untersucht man die zweite Ableitung f auf Nullstellen: 0 = 24x2 8 ) 0 = 24x 2 8 x 2 = x = x 2 = Zur Überprüfung auf tatsächliche Existenz der Wendestellen untersucht man die dritte Ableitung f an diesen Stellen: f x) = 24x2 8 ) f x) = 48x ) 24x 2 8 ) ) 2 2x ) 6 4 = 96x + 96x ) 4 ) f = ) ) f = ) ) ) Die Punkte W und W 2 sind Wendepunkte der Funktion f. Zur Untersuchung der Funktion f auf Symmetrie bestimmt man f x): f x) = 4 x) 2 + = 4 = fx) Die Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-achse. 4

5 Das Verhalten im Unendlichen ergibt sich aus dem Grenzwert lim fx): x ± lim x ± 4 = 0 b) Für den Flächeninhalt A eines solchen Rechtecks ergibt sich: Ax) = 2x fx) = 2x 4 = 8x x > 0) Durch Untersuchung der ersten Ableitung A der Zielfunktion auf Nullstellen ermittelt man die Extrema: Ax) = 8x A x) = 8 ) 8x 2x ) 2 = 8x2 + 8 ) 2 0 = 8x x = x 2 = x 2 entfällt siehe Definitionsbereich). 5

6 Um die Art des Extremums zu bestimmen, wird die zweite Ableitung A an dieser Stelle untersucht: A x) = 8x2 + 8 ) 2 A x) = 6x ) 2 + 8x 2 8 ) 2 x 2 + ) 2x ) 4 = 6x 48x ) A 6 48 ) = + ) = 4 < 0 Zum Nachweis, dass das lokale Maximum auch ein globales ist, bestimmt man den Grenzwert lim x Ax): lim x 8x = lim x 8 x + x = 0 Das Rechteck mit dem Eckpunkt P 2) hat ein maximalen Flächeninhalt. Es handelt sich um ein Quadrat mit der Seitenlänge 2. c) Um das Volumen von Rotationskörpern, die durch Rotation der Funktion fx) um die y-achse entstehen, zu bestimmen, muss man über das Quadrat der Umkehrfunktion gy) integrieren. Es gilt: y2 [ ] 2 V = π gy) dy y 6

7 Somit berechnet man das Teilvolumen V des Rotationskörpers, der bei Rotation dieser Fläche um die y-achse entsteht: Das untere Teilvolumen V 2 entspricht dem eines Zylinders. Die Umkehrfunktion ergibt sich durch Umstellen der Funktion f nach x: y = 4 = 4 y 4 gy) = x = y Die neuen Grenzen sind y = f) = 0, 4 und y 2 = f0) = 4. Es gilt für das Teilvolumen V : 4 V = π = π 0,4 4 0,4 [ = π 4 ln y y = π 7, 6 ) 2 4 y dy ) 4 y dy ] 4 0,4 4 ln ln 0, 4 + 0, 4 ) 7

8 Das zweite Teilvolumen V 2 ergibt sich aus der Volumenformel des Zylinders: V 2 = π r 2 h = π 9 0, 4, Das Volumen des Rotationskörpers beträgt V 28, 9. d) Der Kreis berührt die Funktion f im Schnittpunkt vom Graph von f und ihrer Normalen, die durch den Punkt W 0 0) geht. Zur Bestimmung der Normalengleichung nutzt man die Beziehung zwischen den Anstiegen von orthogonalen Geraden m t m n =. Der Anstieg der Tangente ergibt sich aus der ersten Ableitung f : m t = f x) = m n = m t = 8x ) 2 ) 2 8x Setzt man nun den Punkt W 0 0) in die allgemeine Geradengleichung y = mx + n, erkennt man, dass n = 0. Es ergibt sich für die Gleichung der Normalen: ) 2 ) 2 y = x = 8x 8 Um den Schnittpunkt der Normalen mit Funktion f zu ermitteln setzt man die beiden gleich: ) 2 = 4 8 ) = 2 x = 2 y = 4 = 2 2 x 2 = 2 y 2 = 4 = 2 2 Die Punkte P ) 2 2 und P 2 2 ) 2 Berührungspunkte des Kreises mit der Funktion f. sind die gesuchten 8

9 e) Die Geraden haben an den Berührungspunkten den selben Anstieg m g, wie die Funktion f a. Über die erste Ableitung f a lässt sich dieser bestimmen: f a x) = m g = f ax) = a a 2x ) 2 Setzt man nun den Punkt S0 a) und den Anstieg in die allgemeine Geradengleichung y = mx + n ein, erkennt man, dass n = a. Nun setzt man den Punkt P x f a x)) in die Gleichung ein und ermittelt x: a = a 2x ) 2 x + a = 2x 2 + ) 4 = 2x 2 + x = x 2 + x 4 x = 0 0 = x 2 x 2 = x = x entspricht der Stelle des Punktes S. Die Punkte B 2 a ) und B a ) sind 2 2 die Berührungspunkte zwischen den Geraden und der Funktion f. Mit der ersten Ableitung an den Stellen x 2 = und x = werden die Anstiege der Geraden ermittelt: m 2 = f ) = a 2 m = f ) = a 2 Daraus ergeben sich die Geradengleichungen: g : y = a 2 x + a g 2 : y = a 2 x + a 9

10 Die Nullstellen der Geraden sind x = 2 und x 2 = 2. Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: A = 2 g h = 2 0 = 2a a = 5 x a = 2 2) 2 a = 2a Für a = 5 ist der Flächeninhalt des Dreiecks A = 0. 0