Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme

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1 Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische Informatik nationales Algorithmische Forschungszentrum Methoden in der Helmholtz-Gemeinschaft für schwere Optimierungsprobleme

2 Vorlesung Programm: Randomisiertes Max-SAT Max-SAT mit Metaheuristiken 2 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

3 Wiederholung Rand-Max-SAT Rand-Max-SAT: Werfe faire Münze für Belegung jeder einzelnen Variable Corollary Rand-Max-SAT hat für jede Boolesche (n, m)-formel Φ mit mindestens k 1 Literalen pro Klausel eine erwartete relative Güte von k Beobachtung Gut bei großem k, schlecht bei kleinem k Theorem (Chen, Friesen, Zhang 99) Algorithmus Rand-Max-SAT garantiert für jede Boolesche (n, m)-formel Φ eine erwartete relative Güte von 3/2. 3 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

4 Arithmetisierung von Max-SAT Notation S j : Menge der Variablen, die in C j nicht negiert vorkommen S j : Menge der Variablen, die in C j negiert vorkommen ˆx i : 0 1-Entscheidungsvariable zu x i Ẑ j : 0 1-Entscheidungsvariable zu C j (0 = false, 1 = true) B: max u.d.nb. m j=1 x i S j Ẑ j (1) ˆx i + x i S j (1 ˆx i ) Ẑ j (2) ˆx i, Ẑ j {0, 1} i, j (3) 4 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

5 Arithmetisierung von Max-SAT Notation S j : Menge der Variablen, die in C j nicht negiert vorkommen S j : Menge der Variablen, die in C j negiert vorkommen ˆx i : 0 1-Entscheidungsvariable zu x i Ẑ j : 0 1-Entscheidungsvariable zu C j (0 = false, 1 = true) B rel (Austausch von Bedingungen zur Vereinfachung: Relaxation): max u.d.nb. m j=1 x i S j Ẑ j (1) ˆx i + x i S j (1 ˆx i ) Ẑ j (2) 0 ˆx i, Ẑ j 1 i, j (3) 4 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

6 Superoptimalität des LP Relaxation bewirkt: Lösungsraum wird größer LP-Löser: Standard-Software Annahme: Black Box, rationale Lösung der ˆx i, Ẑ j bekannt Rationale Lösung mind. so gut wie, i.a. besser als die ganzzahlige Beispiel Siehe Tafel! Superoptimalität m j=1 Ẑj = OPT (B rel ) OPT (B) = OPT (Φ) 5 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

7 Randomisiertes Runden Von der rationalen zur ganzzahligen Lösung Wie erhält man wieder eine für Max-SAT zulässige Lösung? Vorschläge? 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

8 Randomisiertes Runden Von der rationalen zur ganzzahligen Lösung Wie erhält man wieder eine für Max-SAT zulässige Lösung? Vorschläge? 1: function RANDOMIZEDROUNDING(π) 2: for i := 1 { to n do true mit Wkt. π( ˆx 3: x i := i ) false mit Wkt. 1 π( ˆx i ) 4: end for 5: end function 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

9 Randomisiertes Runden Von der rationalen zur ganzzahligen Lösung Wie erhält man wieder eine für Max-SAT zulässige Lösung? Vorschläge? 1: function RANDOMIZEDROUNDING(π) 2: for i := 1 { to n do true mit Wkt. π( ˆx 3: x i := i ) false mit Wkt. 1 π( ˆx i ) 4: end for 5: end function Im Folgenden: π(x i ) = x i Diskussion: Warum Randomisierung beim Runden? 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

10 Kompletter Algorithmus für Max-SAT Algorithmus RR-MAX-SAT: 1. Ermittle Lösung π des relaxierten lin. Optimierungsproblems B rel zu Φ 2. Ermittle eine Belegung b mittels RANDOMIZEDROUNDING(π) 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

11 Kompletter Algorithmus für Max-SAT Algorithmus RR-MAX-SAT: 1. Ermittle Lösung π des relaxierten lin. Optimierungsproblems B rel zu Φ 2. Ermittle eine Belegung b mittels RANDOMIZEDROUNDING(π) Beobachtung Es gilt: P[x i = true] = ˆx i Die Lösung des LP ist eng mit den Münzwürfen in 2.) verknüpft Aber: Jeder Münzwurf ist unabhängig von allen anderen! 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

12 Analyse: Güte Lemma Sei k j die Anzahl der Literale in C j. Es gilt: ( ) ) P[C j wird durch RR-MAX-SAT erfüllt] 1 (1 1kj kj Ẑ j 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

13 Analyse: Güte Lemma Sei k j die Anzahl der Literale in C j. Es gilt: ( ) ) P[C j wird durch RR-MAX-SAT erfüllt] 1 (1 1kj kj Ẑ j Theorem Für jede Boolesche Formel Φ in KNF, in der jede Klausel höchstens k Literale hat, ist ( ( E[RR-Max-SAT(Φ)] ) ) k OPT (Φ) k 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

14 Analyse: Güte (2) Theorem Für jede Boolesche Formel Φ in KNF, in der jede Klausel höchstens k Literale hat, ist ( ( E[RR-Max-SAT(Φ)] ) ) k OPT (Φ) k Wegen 1 (1 k 1 )k 1 e 1 für alle k N: 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

15 Analyse: Güte (2) Theorem Für jede Boolesche Formel Φ in KNF, in der jede Klausel höchstens k Literale hat, ist ( ( E[RR-Max-SAT(Φ)] ) ) k OPT (Φ) k Wegen 1 (1 k 1 )k 1 e 1 für alle k N: Corollary (Relative Güte) Algorithmus RR-MAX-SAT erfüllt mindestens (1 e 1 ) OPT (Φ) viele Klauseln. 1 Also hat der Algorithmus eine erw. relative Güte von (1 e 1 ) Andere Rundungswkt.: Relative Güte 4/3 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

16 Zusammenfassung Einfacher randomisierter Algorithmus Rand-Max-SAT: Literale werden unabhängig und gleichverteilt auf true oder false gesetzt Hat gute relative Güte bei langen Klauseln 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

17 Zusammenfassung Einfacher randomisierter Algorithmus Rand-Max-SAT: Literale werden unabhängig und gleichverteilt auf true oder false gesetzt Hat gute relative Güte bei langen Klauseln Algorithmus RR-Max-SAT: Arithmetisierung führt zu ILP Relaxation führt zu LP Lösung des LP wird randomisiert gerundet Hat gute relative Güte bei kurzen Klauseln 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

18 Zusammenfassung Einfacher randomisierter Algorithmus Rand-Max-SAT: Literale werden unabhängig und gleichverteilt auf true oder false gesetzt Hat gute relative Güte bei langen Klauseln Algorithmus RR-Max-SAT: Arithmetisierung führt zu ILP Relaxation führt zu LP Lösung des LP wird randomisiert gerundet Hat gute relative Güte bei kurzen Klauseln Ausblick: Kombination beider Verfahren (Übung!) Metaheuristiken Tabu Search und ILS, angewandt auf SAT 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik