Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 KAPITEL Eigenwerte und Eigenvektoren. Berechnung von Eigenwerten Eigenvektoren Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten Zusammenfassung und Beispiele Ähnliche Matrizen und Diagonalisierung Positiv definite Matrizen Polynomdivision

2 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 7 Lernziele Was sind und wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren charakteristisches Polynom, charakteristische Gleichung Eigenräume, algebraische und geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts, ähnliche Matrizen, Eigenvektorbasis Eigenwerte und Eigenvektoren reeller, symmetrischer Matrizen In der folgenden Übersicht sind einige Anwendungen von Eigenwertproblemen zusammengefasst: Wozu benötigt man Eigenwerte und Eigenvektoren? Diagonalmatrizen sind leicht zu handhaben. Eigenvektoren werden zur Diagonalisierung von Matrizen verwendet. Matrizen repräsentieren lineare Abbildung Drehung, Scherung, Spiegelung. Eigenvektoren geben die Geraden an, die dabei erhalten bleiben. Und Strecken auf diesen Geraden werden um die Eigenwerte gestreckt bzw. gestaucht. Invarianten physikalischer Systeme: Eigenfrequenzen, Eigenmoden Eigenformen und gegebenenfalls auch Dämpfungscharakteristik eines schwingfähigen Systems, Knicklast eines Knickstabs siehe Balkentheorie, Hauptspannungen in der Festigkeitslehre: Lösungen von linearen Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen z.b. in der technischen Mechanik. Beispiel. Lineare Transformationen Jede lineare Transformation kann durch eine Abbildungsmatrix beschrieben werden. Eine Spiegelung an der x-achse im R wird beschrieben durch A =.

3 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 8 Dabei werden die Einheitsvektoren { e, e } auf { e, e } abgebildet, d.h. e und e sind Lösungen der Gleichung für λ = bzw. λ =. A v = λ v, Abbildung.: Spiegelung a Welche Transformation beschreibt a A =? Diese Frage wird mit a a Eigenwerten und Eigenvektoren untersucht. Beispiel. Ein Beispiel ergibt sich aus der technischen Mechanik. Es seien zwei Oszillatoren miteinander und jeweils mit der Wand über Federn gekoppelt. Der Einfachheit halber haben die beiden äußeren Federn dieselbe Federkonstante k, und die Massen m bzw. m. Die innere Feder habe die Federkonstante s. Als Koordinaten nehmen wir die Auslenkungen der beiden Massenpunkte aus der Ruhelage, so dass für x = x = das System ruhe.

4 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 9 Die Bewegungsgleichungen sind dann m ẍ + kx sx x =, m ẍ + kx sx x =, Dieses System ist wegen m,m > äquivalent zu ẍ + k x s x x =, m m ẍ + k x s x x =. m m Das ist äquivalent dazu, dass man das lineare Differentialgleichungssystem schreibt als k+s ẍ + m s m x ẍ m s k+s =. m x x Mit t xt = macht man nun den Ansatz xt = ve iωt, d.h. x t = x t v e iωt und x t = v e iωt, wobei der konstante Vektor v und ω noch zu bestimmen sind. Setzt man diesen Ansatz in die Matrizengleichung ein, dann folgt ω v e iωt k+s ω v e iωt + m s m v e iωt m s k+s m v e iωt = k+s m s k+s m v m s k+s = ω v m s m m v v m s k+s v = ω v, m weil e iωt ist. Dieses Problem ist nun ein typisches Eigenwertproblem. Man bestimme die Eigenwerte ω und die dazugehörigen Eigenvektoren v. Allgemein definiert man

5 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Definition.3 Eine Zahl λ C heißt Eigenwert einer reellen oder komplexen n n- Matrix A, wenn es mindestens einen Spaltenvektor b C n, b, gibt mit A b = λ b. Jeder Vektor b, der diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Bemerkung.4 Der Nullvektor ist niemals ein Eigenvektor. Ergibt Ihre Rechnung den Nullvektor als Eigenvektor, so ist der Wurm drin! Die Zahl Null kann aber ein Eigenwert sein!. Berechnung von Eigenwerten Wenn λ ein Eigenwert der Matrix A ist, dann gibt es einen Spaltenvektor b mit A b = λ b A λe b =.. Folglich besitzt das Gleichungssystem. nichttriviale Lösungen und damit ist die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich Null, also det A λe =. Umgekehrt, ist diese Determinate gleich Null, dann hat das Gleichungssystem nichttriviale Lösungen vgl. Rechenregeln für Determinanten bzw. Cramersche Regel. Insgesamt haben wir damit, λ ist ein

6 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Eigenwert der Matrix A genau dann wenn gilt: det A λe =. Zur Berechnung der Eigenwerte einer n n-matrix betrachtet man mit einer Variablen λ das charakteristische Polynom von A χ A λ := det A λe. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix A. Bemerkung.5 Wenn man die Determinante det A λe = χ A λ berechnet und nach Potenzen von λ ordnet, so erhält man χ A λ = λ n + Spur A λ n det A, wobei Spur A = a +a +...+a nn die Summe der Elemente der Hauptdiagonale ist. Da die Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, gilt χ A λ = λ n + Spur A λ n det A = n λ λ k λ λ k λ λ r k r = λ n + k λ + k λ k r λ r λ n λ k λk λk r r mit den algebraischen Vielfachheiten k i, i =,,...,r. Hieraus liest man ab, Spur A = k λ + k λ k r λ r det A = λ k λk λk r r Diese Formeln sind nützlich für Rechenkontrollen, außerdem gestattet insbesondere die. Formel Eigenwerte zu erraten, da die Eigenwerte Teiler des

7 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Absolutgliedes des charakteristischen Polynoms sind. Beispiel.6 Wir betrachten die Matrix A =, es ist A λe = λ λ λ und damit det A λe = λ λ λ + + λ λ = λ λ 3 + λ = λ + λ 3 λ = λλ + λ = und ergibt sich die Nullstelle λ = sowie λ + λ = λ,3 = ± 4 + und die Nullstellen λ = und λ 3 =. Für obige Matrix ist Spur A = + = und det A =, was auch aus dem charakteristischen Polynom ablesbar ist: χ A λ = λ 3 + λ + λ +.. Eigenvektoren Hat man einen Eigenwert der Matrix A bestimmt, so werden dann die zu diesem Eigenwert gehörigen Eigenvektoren berechnet, d.h. man löst das Gleichungssystem A λe b = mit dem bereits ermittelten Eigenwert λ. Da die Determinate der Koeffizientenmatrix gleich Null ist, besitzt das Gleichungssystem nichttriviale Lösungen mit n RangA λe freien Parametern.

8 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 3 Definition.7 Jede Lösung b von A λe b = ist ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. V λ = { x C n : A λe b = } heißt Eigenraum zum Eigenwert λ. Insbesondere ist jeder Basisvektor von V λ ein Eigenvektor zum Eigenwert λ der Matrix A. Als Eigenvektoren von A gibt man deshalb immer eine Basis des Eigenraums an. Beispiel.8 Wir betrachten die Spiegelung an der y-achse mit der Abbildungsmatrix A = dabei sind λ / = ± die Eigenwerte der Matrix. Um die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = zu bestimmen, müssen wir das homogene Gleichungssystem + v A λ E v = v = = + lösen. Wir haben aber nur eine Gleichung zur Bestimmung von zwei Unbekannten, nämlich v und v. Es gibt folglich einen freien Parameter. Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist v = und v R bzw. v = t, t R. v

9 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 4 Der zugehörige Eigenraum ist V = { v R : v = t, t R}. Der Eigenvektor zum Eigenvektor λ = ist eine Basis des Eigenraums V, also z.b. der Vektor v =. Bisher gab bei einer -Matrix immer voneinander verschiedene Eigenwerte. Dies muss aber nicht so sein..3 Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten Das charakteristische Polynom χ A λ = λ n + Spur A λ n det A ist folglich ein Polynom n-ten Grades für eine n n-matrix und hat deshalb n nicht notwendigerweise voneinander verschiedene komplexe Nullstellen λ, λ,...λ n. D.h. wir haben die Nullstelle λ mit der Vielfachheit k, die Nullstelle λ mit der Vielfachheit k,..., die Nullstelle λ r mit der Vielfachheit k r. Dabei kann man die Eigenwerte der Größe nach ordnen λ λ...λ r und es ist k + k k r = n. Definition.9 Man bezeichnet die Vielfachheit k i der Nullstelle λ i als die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ i. Dagegen ist die Dimension des Eigenraumes Dim V λ i die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ i.

10 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 5 Algebraische und geometrische Vielfachheit sind i. Allg. nicht gleich!.4 Zusammenfassung und Beispiele Vorgehensweise bei Eigenwertproblemen Gegeben sei die reellwertige n n-matrix A. Man bestimme die Eigenwerte λ indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt, d.h. man löst det A λe =.. Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ ist gleich der Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms. 3. Man bestimme die zu den Eigenwerten λ gehörigen Eigenvektoren b als Lösung des homogenen Gleichungssystems A λe b =. 4. Die Dimension des Eigenraums zum Eigenvektor λ ist gleich n RangA λe, sie ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ.

11 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 6 Beispiel. Reelle -Matrizen Gegeben sei a b A = R. c d Es werden zunächst die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt: a λ χ A λ = c b d λ = a λd λ cb = λ a + dλ + ad bc = Anschließend wird für jeden Eigenwert λ i, i =,, der Eigenraum und eine Basis des Eigenraums bestimmt. Dazu löst man das Gleichungssystem a λ i c b d λ i Im Fall n = gibt es somit 4 verschiedene Fälle:. λ, λ R, λ λ, algebraische Vielfachh. = geometrischer Vielfachheit =.. λ = λ R, algebraische = geometrische Vielfachheit =, 3. λ = λ R algebraische Vielfachh.= geometrische Vielfachh. =, b b 4. ein Paar konjugiert komplexer Zahlen λ = λ C,λ R. =.

12 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 7 Es seien konkrete Zahlenbeispiele für alle 4 Fälle angegeben: Beispiel. voneinander verschiedene reelle Eigenwerte Fall : λ, λ R, λ λ, Es sei Wir bestimmen die Eigenwerte: hat die Nullstellen: χ A λ = det A λe = A =. λ λ = λ 4 = λ + λ 4 = λ λ 3 = λ, = ± 3 = ±. Folglich hat A die beiden Eigenwerte λ = und λ = 3. Die algebraische Vielfachheit von λ = und λ = 3 ist. Wir bestimmen nun die Eigenräume: Für λ = : x x A λ E = = y y ergibt die Lösung y = t und x = t, d.h. { } t V λ = V = = t, t R. t Eine Basis für den Eigenraum V ist der Vektor und die Dimension des Eigenraumes ist damit. Folglich hat der Eigenwert λ = die geometrische Vielfachheit.

13 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 8 Nun für λ = 3 : x x A λ E = = y y ergibt die Lösung y = t und x = t, d.h. { } t V λ = V 3 = = t, t R. t Eine Basis für den Eigenraum V 3 ist der Vektor und die Dimension des Eigenraumes ist damit. Folglich hat der Eigenwert λ = 3 die geometrische Vielfachheit. Beispiel. Zwei gleiche reelle Eigenwerte Fall : λ = λ R algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit =, Es sei Wir bestimmen die Eigenwerte hat die Nullstelle: A = χ A λ = det A λe = λ λ, = 3. 3 λ = 3 λ = Folglich hat A die beiden Eigenwerte λ = λ = λ = 3. Die algebraische Vielfachheit von λ = 3 ist. Wir bestimmen nun den Eigenraum: Für λ = 3 : x x A λe = = y y ist erfüllt für alle x, y T R, d.h. V 3 = R und der Eigenraum hat die

14 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 9 Dimension. D.h. der Eigenwert λ = 3 hat die algebraische und geometrische Vielfachheit. Beispiel.3 Fall 3: λ = λ R algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit = Es sei Wir bestimmen die Eigenwerte hat die Nullstelle: χ A λ = det A λe = A =. λ λ, =. λ = λ = Folglich hat A die beiden Eigenwerte λ = λ = λ =. Die algebraische Vielfachheit von λ = ist. Wir bestimmen nun den Eigenraum: Für λ = : x x A λe = = y y und der Eigenraum ist { } t V λ = V = = t, t R. Eine Basis für den Eigenraum V ist der Vektor und die Dimension des Eigenraumes ist damit. Folglich hat der Eigenwert λ = die geometrische Vielfachheit. Beispiel.4 Fall 4: Ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen

15 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 3 Es sei Bestimmung der Eigenwerte: A = cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ χ A λ = det A λe = det cosϕ λ sinϕ sinϕ cosϕ λ = cosϕ λ + sin ϕ = cos ϕ + sin ϕ λcosϕ + λ = λcosϕ + λ = für λ, = cosϕ ± cos ϕ = cosϕ ± i sinϕ, da sin ϕ + cos ϕ =. Falls ϕ kπ, k Z gibt es keine reellen Eigenwerte und damit auch keine reellen Eigenvektoren. Die komplexen Eigenräume sind: Für λ = cosϕ + i sinϕ : cx A λ E = y cosϕ cosϕ i sinϕ sinϕ sinϕ cosϕ cosϕ i sinϕ i x = sinϕ = i y und hat die Lösung y = t und x = i t, und der Eigenraum ist V λ = V cosϕ + i sinϕ = { i t t = t i, t C Eine Basis für den Eigenraum V cosϕ+i sinϕ ist der Vektor x } i. y. Analog

16 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 3 erhält man für λ = cosϕ i sinϕ : x A λ E = y cosϕ cosϕ + i sinϕ sinϕ sinϕ cosϕ cosϕ + i sinϕ i x = sinϕ = i y x y und hat die Lösung y = t und x = i t, und der Eigenraum ist { } V λ = V cosϕ + i sinϕ = i t i = t t, t C. Eine Basis für den Eigenraum V cosϕ i sinϕ ist der Vektor i. Beispiel.5 Es sei Bestimmung der Eigenwerte A = λ 7 7 deta λe = 4 3 λ 4 4 λ = 5 λ 3 λ λ λ + 45 λ + 8 λ = 5 λ + λ λ λ = 3 4λ + λ + 5λ + λ λ λ = λ 3 + 4λ + 7λ =. Wir müssen den ersten Eigenwert erraten, da es sich um ein Polynom

17 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 3 mit ganzzahligen Koeffizienten handelt geht das relativ einfach siehe auch Abschnitt.7. Man findet schnell, dass λ = ein Eigenwert ist, die übrigen Eigenwerte findet man durch abdividieren: λ 3 + 4λ + 7λ : λ = λ + 3λ + λ 3 + λ 3λ + 7λ 3λ 3λ λ λ Folglich ergeben sich die beiden anderen Eigenwerte aus λ 3λ + = zu λ,3 = 3 ± = 3 ± 7, also λ = 5 und λ 3 =. Die dazugehörigen Eigenvektoren und Eigenräume sind für λ = : A λ E x = z z 3 z z Damit ist x 3 = x = t und x = 4 t t =. Der Eigenraum zum Eigenvektor λ = ist V λ = V = t = t, t R. t

18 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 33 Für λ = 5 : A λ E x = z z Damit ist x 3 = x = t und x = 4 t +3t = t. Der Eigenraum zum Eigenvektor λ = 5 ist t V λ = V 5 = t = t, t R. t Für λ 3 = : A λ 3 E x = z z Damit ist x =, x = t und x 3 = t. Der Eigenraum zum Eigenvektor λ 3 = ist t V λ 3 = V = = t, t R. t Alle Eigenwerte λ, λ, λ 3 haben die algebraische und die geometrische Vielfachheit.

19 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 34.5 Ähnliche Matrizen und Diagonalisierung Definition.6 Zwei n n-matrizen A und C heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare n n-matrix B gibt, so dass gilt C = B AB. Satz.7 Es sei A eine reelle oder komplexe n n-matrix. Dann gilt:. A und die transponierte Matrix A T haben dasselbe charakteristische Polynom, deshalb besitzen sie dieselben Eigenwerte aber im Allg. andere Eigenräume.. Die ähnlichen Matrizen A und B AB haben dasselbe charakteristische Polynom und deshalb auch dieselben Eigenwerte; b ist ein Eigenvektor zu A genau dann wenn B b Eigenvektor von B AB ist. 3. Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn alle Eigenwerte sind. Ist λ ein Eigenwert von A mit dem Eigenvektor b, dann ist λ Eigenwert von A mit demselben Eigenvektor b. Beweis zu : Es gilt A λe T = A T λe T = A T λe und det A λe = det A λe T = det A T λe. Beide Polynome sind also identisch und haben damit dieselben Nullstellen = Eigenwerte.

20 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 35 zu : Es gilt det A λe = det B det A λe det B = det B A λeb = det B AB λe. Damit sind beide charakteristische Polynome identisch und haben dieselben Nullstelle = Eigenwerte. Weiterhin gilt A b = λ b ABB b = λbb b = BλB b B ABB b = λb b. zu 3: Gemäß Bemerkung.5 gilt det A = λ k λk λk r r für alle i =,,...,r. Außerdem ist λ i A b = λ b b = λa b A b = b. λ Bemerkung.8 Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms χ A λ sind Invarianten der n n-matrix A, bzw. Invarianten der zugehörigen linearen Abbildung x A x, da sie sich bei einem Basiswechsel nicht ändern. Satz.9 Eigenvektoren b, b,..., b r zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. Beweis: Aus α b + α b α r br = folgt nach Anwendung von A : α A b + α A b α r A b r = α λ b + α λ b α r λ r br =

21 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 36 und nach Subtraktion von erhält man λ α b + α b α r br = λ λ α b + λ λ r... + α r br =. Wendet man auf diese Gleichung wiederum A an und subtrahiert das λ -fache dieser Gleichung, so folgt: λ λ 3 λ λ r α 3 b λ λ r λ λ r α r br =. Sukzessive Fortsetzung ergibt λ λ r λ λ r λ r λ r α r br = woraus α r = folgt. Dies ergibt rückwärts eingesetzt α r =... = α = α =. Definition. Eine n n Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine zu A ähnliche Diagonalmatrix D gibt. D.h. wenn es eine invertierbare n n Matrix B gibt mit d... B AB = d =: D.... d n Besonders günstig ist der Fall, wenn man eine Basis aus Eigenvektoren bilden kann: Satz. Besitzt eine reelle oder komplexe n n-matrix n linear unabhängige Eigenvektoren b, b,..., b n mit A b i = λ i bi, zu den nicht notwendiger

22 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 37 Weise verschiedenen Eigenwerten λ i, dann bringt die Transformationsmatrix B = b b... bn mit den Eigenvektoren als Spalten die Matrix A auf Diagonalform, d.h., es gilt, wenn die Reihenfolge der λ i mit den der b i übereinstimmt, λ... B λ... AB = =: D λ n Beweis: AB = A b A b... A b n = λ b λ b... λ n bn = BD.# Bemerkung. Das Problem ist, dass eine n n-matrix nicht n linear unabhängige Eigenvektoren besitzen muss. Ist aber die Summe aller geometrischen Vielfachheiten gleich n, d.h. wenn für alle Eigenwerte die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist dann ist die Matrix A diagonalisierbar. Beispiel.3 Es sei A =

23 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 38 Man berechne A. Es ist von sehr großem Nutzen, wenn es gelingt A durch eine entsprechende Transformation auf Diagonalgestalt zu bringen, denn dann gilt: A k = BDB k = BDB BDB BDB BDB λ k... = BD k B λ k... = B B λ k n

24 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 39 Man berechne A der n n-matrix A mittels Diagonalisierung. Vorgehensweise:. Man prüfe, ob die Matrix A n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, dies kann durch direkte Berechnung geschehen oder auch durch theoretische Überlegungen. Gibt es keine n linear unabhängigen Eigenvektoren, so können wir die Matrix nicht diagonalisieren.. Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren b, b,..., b n der Matrix A. 3. Sind die Eigenvektoren linear unabhängig? Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig. Bei gleichem Eigenwert nehme man eine Basis des Eigenraums. 4. Bilde die Matrix B = b b... b n und berechne B. 5. Dann ist A = BD B mit λ... λ... D = λ n. Dabei gehört der Eigenwert λ j zum Eigenvektor b j. Wir wenden die Vorgehensweise auf unser Beispiel an:

25 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 4. Wir bestimmen die Eigenwerte von A : λ 8 det A λe = 4 λ 4 λ = λ4 λ λ + 8 λ = λ + λ λ = λλ λ = und wir erhalten die Eigenwerte λ =, λ =, λ 3 =.. Wir bestimmen die Eigenvektoren: zu lösen ist das lineare Gleichungssystem A λ i E b = : für λ = : t V λ = V = t 4 4 = t, t R, b =. für λ = : V λ = V = 4t t = t 4, t R, b = 4.

26 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 4 für λ 3 = : t V λ = V = t = t, t R, b =. 3. Diagonalisierung: B = 4 4 Wir bestimmen B : Damit ist B =

27 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 4 und A = BD B 4 4 = 4 = 4 = 99. Satz.4 Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen Für jede reelle symmetrische n n-matrix A gilt:. Alle Eigenwerte von A sind reell.. Algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes sind gleich. 3. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von A sind orthogonal. 4. A ist diagonalisierbar. 5. Es gibt eine orthogonale Basis des R n aus Eigenvektoren von A. Beweis: Wir beweisen nur die erste Eigenschaft. Ist λ C ein Eigenwert und b C n ein Eigenvektor von A, so folgt A b = λ b und durch komplexe

28 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 43 Konjugation A b = λ b A b = λ b A b = λ b, da A reell ist. Damit erhält man λ b T b = A b T b T = b T A T b = b T λ b = λ b T b und wegen n n b T b = b i b i = b i > i= i= ergibt sich λ = λ und folglich ist λ eine reelle Zahl. # Fibonacci-Zahlen Definition.5 Eine lineare Rekursion der Länge k ist eine Gleichung der Form a n = t a n +... t k a n k+ + t k a n k mit konstanten Koeffizienten t, t,..., t k, den Anfangswerten a, a,..., a k und den Unbekannten a n, n = k,k +,... Beispiel.6 Geometrische Folge a n = q a n, a =, q R. Es gilt a n = q n, n =,,... Beispiel.7 Arithmetische Folge a n = a n + d, a = a, d R. Es gilt a n = a + nd,n =,,...

29 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 44 Beispiel.8 Fibonacci-Zahlen Dieses Beispiel zeigt, dass Eigenvektoren eine Rolle bei rekursiv definierten Folgen. Die Fibonacci-Zahlen ergeben sich jeweils aus der Summe der beiden vorherigen Zahlen: a n = a n + a n, a =, a =.. Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist damit a =, a =, a =, a 3 =, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8, a 7 = 3,... Wir bestimmen eine allgemeine Formel für a n. Dazu bilden wir den Vektor x n und die Matrix A: x n = a n a n und A = Mit Hilfe der Rekursionsformel. ergibt sich damit x n+ = A x n = A x n =... = A n x, x = a Durch Diagonalisierung B AB = D mit B = b d b und D =, d wobei die Eigenvektoren b und b zueinander orthogonale Eigenvektoren zum Eigenwert d bzw. d zur Matrix A sind. Wir bestimmen nun die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. Es ist λ det A λe = λ = λ λ = a. =. mit den Lösungen λ / = ± 4 + = ± 5.

30 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 45 Den Eigenvektor zum Eigenwert λ = + 5 berechnet sich nun mit Dabei ist = =. 5 5 Damit ist der Eigenvektor zum Eigenwert λ der Vektor v = + 5 Analog ergibt sich Eigenvektor zum Eigenwert λ = 5 aus Dabei ist = =

31 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 46 Damit ist der Eigenvektor zum Eigenwert λ der Vektor v = 5. Daraus ergibt sich Matrix B = v v = Man kann nachrechnen, dass die inverse Matrix zu B gerade 5 B = ist. Damit folgt B AB = D A = BDB und A n = BD n B mit der Diagonalmatrix d + 5 D = = d. 5 Nun sind wir in der Lage A n x zu bestimmen, es ist A n x = BD n B x = = n n n n

32 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 47 = = n n 5 n n+ 5 5 n n bzw. a n = + n 5 n 5, n =,,, Positiv definite Matrizen Wir beginnen mit der Definition. Definition.9 Eine n n quadratische Matrix A heißt positiv definit negativ definit, wenn für x stets A x x = x T A x > A x x = x T A x < gilt. Die n n Matrix A heißt indefinit, wenn A x x = x T A x sowohl positive als auch negative Werte annimmt. Sie heißt positiv negativ semidefinit, wenn stets gilt. x T A x x T A x Bemerkung.3 Positiv/negativ definite Matrizen haben viele verschiedene Anwendungen, z.b. bei

33 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 48 Minimierungsproblemen: Für zweimal stetig differenzierbare Funktionenen liegt an der Stelle x = a ein lokales Minimum vor, wenn f a > gilt. Für Funktionen mehrerer Veränderlicher gilt dies, wenn die Hesse- Matrix an der Stelle x = a positiv definit ist. FEM: Wenn z.b. in einem linearen Gleichungssytem mit einem elstostatischen Finite-Element-Methode beschrieben wird, die Matrix A nicht positiv definit ist, dann beschreibt die Matrix kein sinnvolles mechanisches System. In diesem Fall erfolgt vom FEM-Programm die Ausschrift Koeffizientenmatrix ist nicht positiv definit. Bemerkung.3 Interpretation der positiven Definitheit: Ist a > eine positive reelle Zahl, dann gilt natürlich auch xax = ax > für alle x R\{}. Geometrische Interpretation: Der Winkel zwischen dem Vektor x und A x liegt in π, π. Satz.3 Notwendige Bedingung Wenn die symmetrische Matrix A positiv definit ist, so müssen alle Hauptdiagonalelemente positiv sein. Beweis: Ist die Matrix A positiv definit, so muss insbesondere für die Einheitsvektoren e i gelten e T i A e i = a ii >. # Beispiel.33 Die Matrix ist nicht positiv definit. A =

34 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 49 Satz.34 Positivität reeller symmetrischer Matrizen. D = diagα, α,..., α n ist genau dann positiv definit, wenn alle α i positiv sind.. Die reelle symmetrische Matrix A also A = A T ist genau dann positiv definit, wenn W T AW für irgend eine invertierbare n n Matrix W positiv definit ist. 3. Die relle symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn sämtliche Eigenwerte von A positiv sind. Beweis: zu q x = x T D x = n i= α i x i > für alle x alle α i >. zu A positiv definit, dann gilt x T W T AW x = xw T AW x > für alle x, ist dagegen W T AW positiv definit, so folgt W T W T AW W = A ist positiv definit. 3 folgt aus und mit einer orthogonalen Basis von Eigenvektoren W, die für reelle, symmetrische Matrizen existiert. Bemerkung.35 Analog kann man zeigen, dass eine reelle symmetrische Matrix genau dann negativ definit ist, wenn alle ihre Eigenwerte negativ sind. Beispiel.36 Die Matrix A = ist positiv definit mit den Eigenwerten λ =, λ = 5+ 4 und λ 3 = 5 4.

35 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 5.7 Polynomdivision Insbesondere zur Bestimmmung der Nullstellen eines Polynoms 3. oder auch höheren Grades verwenden wir die Polynomdivision. Hintergrund ist dabei, dass es für das Lösen einer quadratischen Gleichung die p-q-formel gibt, weitere Nullstellen müssen zunächst gefunden, erraten werden. Der Hauptsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom mit komplexwertigen Koeffizienten mindestens eine komplexe Nullstelle besitzen muss. Folglich lässt sich jedes komplexe Polynom in Linearfaktoren zerlegen: Pz = c n z n +c n z n +...c z +c = c z z n z z n z z, c n und besitzt deshalb n komplexwertige Nullstellen. Für Polynome mit reellen Koeffizienten gilt ebenfalls, dass sie n komplexwertige Nullstellen besitzen, allerdings sind die Nullstellen entweder reell oder aber ein Paar konjugiert komplexer Zahlen, da jedes Polynom ungeraden Grades mit reellwertigen Koeffizienten mindestens eine reellwertige Lösung besitzt. Polynome mit reellwertigen Koeffizienten sind stetige Funktionen und der Wertebereich ist die gesamte reelle Achse, deshalb muss es mindestens einen Schnittpunkt mit der x-achse geben und dies ergibt auch die reelle Nullstelle. Weiterhin ergeben Teilbarkeitseigenschaften den folgenden Satz über Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten Satz.37 Ein Polynom n-ten Grades der Gestalt P n x = x n + a n x n + a n x n a x + a ein solches Polynom wird auch normiert genannt, da der Koeffizient vor x n gerade gleich Eins ist, mit ganzzahligen Koeffizienten a, a,..., a n Z, dann besitzt das Polynom P n x nur ganzzahlige oder irrationale reelle Nullstellen.

36 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 5 Zunächst stellen wir fest, dass ein solches Polynom überhaupt keine reellen Nullstellen haben muss, wenn es ein Polynom geraden Grades ist: Beispiel.38 Paare komplexer Nullstellen x + 4 = x / = ±i, x + 4x + 9 = x 4 + 3x + 36 = x / = ±i, x 3/4 = ±3i. Wenn es aber mindestens eine reelle Nullstelle gibt, dann nehmen wir an, dass es eine rationale Nullstelle wäre, d.h. x = m mit teilerfremden m und k. k Man kann den Bruch nicht weiter kürzen und k. Dann gilt aber auch x n + a n x n + a n x n a x + a = m n m n m + an a + a = k k k m n + a n m n k a m k n + a k n = m n = a n m n k... a m k n a k n Da m nicht durch k teilbar ist laut Voraussetzung teilerfremd und die rechte Seite der Gleichung aber durch k teilbar ist, muss entweder k = sein und die Nullstelle ganzzahlig oder aber die Nullstelle ist irrational. Aus dem Satz von Vieta seiner Verallgemeinerung oder einfach der Überlegung, dass das Absolutglied a gerade das Produkt aller Nullstellen ist ergibt sich, dass im Falle ganzzahliger Nullstellen, diese Nullstellen Teiler des Absolutglieds sein müssen es können auch und sein. Beispiel.39 ganzzahlige Nullst., Paar konjugiert komplexer Nullstellen Das Polynom 3. Grades x 3 + x 7x 3 ist normiert, d.h. der Koeffizient vor der höchsten Potenz ist, die Koeffizienten sind ganzzahlig. Das es 3. Grades und damit von ungeradem Grad ist, muss es eine reellwertige Nullstelle besitzen. Falls diese nicht irrational ist, muss sie Teiler von 3 sein. Damit ergeben sich als Kandidaten 3,, und 3. Durch Einsetzen stellt man fest, dass, und auch 3 keine Nullstellen

37 KAPITEL. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 5 sind, aber x = 3 ist Nullstelle, da = =. Durch Polynomdivision kann man nun den Term x x = x 3 = x + 3 abspalten: x 3 + x 7x 3 : x + 3 = x x x 3 + 3x x 7x x 6x x 3 x 3 Man beachte, dass beim schriftlichen Dividieren die unterstrichene Zeile von der Zeile darüber zu subtrahieren ist. Die beiden weiteren Nullstellen ergeben sich aus der p-q-formel: x x = x / = ± = ±. Diese beiden weiteren Nullstellen sind irrational. Beispiel.4 reelle und komplexe Nullstellen x 3x + 4 = x 3 3x + 4x = für x = 3 ganzzahlige Nullstelle und x / = ±i Paar konjugiert komplexer Nullstellen. Beispiel.4 nur irrationale Nullstellen Das Polynom 3. Grades x 3 5x + x + besitzt nur irrationale Nullstellen, da weder noch Nullstellen des Polynoms sind. Es sind sogar 3 irrationale Nullstellen mit x,35, x,6 und x 3 4,74.