Teil 6. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher

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1 Teil 6 Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher 95

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3 6.1 Topologie von Mengen Umgebung ε-umgebung eines Punktes x R n : B ε (x) = {y : y x < ε} Umgebung U von x: Menge, die eine ε-umgebung von x enthält Offene Menge D offen jeder Punkt in D besitzt eine Umgebung in D Komplement von D abgeschlossen Inneres D einer (beliebigen) Menge D: alle Punkte in D mit einer Umgebung in D Abgeschlossene Menge D abgeschlossen jede konvergente Folge von Punkten in D besitzt einen Grenzwert in D Komplement von D offen Abschluss D einer (beliebigen) Menge D: Menge aller Grenzwerte von Folgen in D Rand einer Menge D = D \ D Punkte, die keine Umgebung besitzen, die ganz in D oder im Komplement von D liegt Kompakte Menge kompakt beschränkt und abgeschlossen äquivalente Charakterisierungen Jede Folge in D besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in D. Jede Überdeckung von D mit offenen Mengen besitzt eine endliche Teilüberdeckung. 97

4 6.2 Funktionen Multivariate Funktionen f : R n D R m, x f(x) skalar- (m = 1) oder vektorwertig (m > 1) Graph: {(x, f(x)) : x D} Niveauflächen: {x D : f(x) = c} Multivariate Polynome p(x) = α a α x α, x α = x α 1 1 x αn n, α i N 0 totaler Grad m: α m, Dimension ( ) m+n n maximaler Grad m: max k α k m, Dimension (m + 1) n homogen vom Grad m: α = m, Dimension ( m+n 1 n 1 Stetigkeit multivariater Funktionen ) Extremwerte stetiger Funktionen D x k x = lim k f(x k ) = f(x) Existenz von Minimum und Maximum auf einer kompakten Menge Äquivalenz von Vektornormen c 1 x x c 2 x x R n Lipschitz-Stetigkeit f(x) f(y) c x y x, y D für konvexe Mengen kontrahierend: c < 1 c sup f (x) x D 98

5 6.3 Konvergenz Konvergenz einer Vektor-Folge lim x k = x bzw. x k x für k k ε > 0 k ε : x k x < ε für k > k ε Konvergenz aller Komponenten Cauchy-Kriterium für Vektor-Folgen ε > 0 k ε : x l x k < ε für l, k > k ε Cauchy-Konvergenz aller Komponenten Kontrahierende Abbildung mit Kontraktionskonstante c < 1 g : D D, g(x) g(y) c x y x, y D für konvexe Mengen mit g der Jacobi-Matrix c sup g (x) x D Banachscher Fixpunktsatz g: kontrahierende Selbstabbildung einer nichtleeren abgeschlossenen Menge D R n, d.h. D = D x D = g(x) D g(x) g(y) c x y x, y D mit c < 1 = Existenz eines eindeutigen Fixpunktes x = g(x ) D lineare Konvergenz einer Iterationsfolge (x l ) x x l cl 1 c x 1 x 0 99

6 6.4 Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen i f = f xi = f x i, i f(x) = lim h 0 f(..., x i + h,...) f(..., x i,...) h Ableitung der univariaten Funktion x i f(x 1,..., x i,..., x n ), bei der die Variablen x j, j i, als Konstanten betrachtet werden Mehrfache partielle Ableitungen Multiindex-Notation i j f = f xj x i = 2 f x i x j α f = α 1 1 αn n f, α = (α 1,..., α n ), α i N 0 i j f = j i für glatte Funktionen f Vertauschbarkeit partieller Ableitungen Sind die ersten und zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f stetig, so gilt i j f = j i f. Für hinreichend glatte Funktionen ist also die Reihenfolge partieller Ableitungen vertauschbar. Insbesondere rechtfertigt dies die Multiindex-Schreibweise. Totale Ableitung und Jacobi-Matrix f(x + h) = f(x) + f (x)h + o( h ), h 0 Jacobi-Matrix f = J f = (f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ) = ( 1f,..., n f) = 1 f 1... n f f m... n f m Differential df = f x 1 dx f x n dx n 100

7 6.5 Ableitungsregeln Multivariate Kettenregel h = g f : x y = f(x) z = g(y) Hintereinanderschaltung Multiplikation der Jacobi-Matrizen h (x) = g (y)f (x), z i x k = j z i y j y j x k Richtungsableitung v f(x) = lim h 0 f(x + hv) f(x) h = ( ) d f(x + tv) = f (x)v dt t=0 bei skalarer Funktion: Anstieg von f in Richtung v, maximal für v grad f 101

8 6.6 Lineare Approximation und Taylor-Entwicklung Tangente Kurve C : t f(t) f (t 0 ) 0 berührende Gerade g : f(t 0 ) + f (t 0 )(t t 0 ), t R f (t 0 ) = 0 abrupte Änderung der Tangentenrichtung möglich Tangentialebene implizit definierte Fläche grad f(p) 0 Tangentialebene S : f (x 1,..., x n ) = c E : (grad f(p)) t (x p) = 0 Tangentialebene für den Graph einer Funktion x y = g (x 1,..., x n 1 ) n 1 E : y g(q) = i g(q) (x i q i ) Multivariate Taylor-Approximation i=1 mit α! = α 1! α m! Restglied für ein θ [0, 1] f(x) = R = α n α =n+1 1 α! α f(a)(x a) α + R, x a < r, 1 α! α f(u)(x a) α, u = a + θ(x a), Hesse-Matrix quadratische Taylor-Approximation einer skalaren Funktion f f(x 1,..., x n ) = f(a) + (grad f(a)) t (x a) (x a)t H f(a)(x a) + mit H f(a) = 1 1 f(a) 1 n f(a).. n 1 f(a) n n f(a) 102

9 6.7 Anwendungen Umkehrfunktion f : R n R n, f (x ) invertierbar = f in Umgebung U von x bijektiv, y = f(x) x = g(y), und g (y) = f (x) 1, x U Implizite Funktionen f : R n R m R n, f(x, y ) = 0 mit det f x (x, y ) 0 = Gleichungen f k (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0, k = 1,..., n, lokal nach x auflösbar: x = ϕ(y), y y Jacobi-Matrix ϕ = (f x ) 1 f y Fehlerfortpflanzung bei multivariaten Funktionen absoluter Fehler y = f(x + x) f(x) f x1 (x) x f xn (x) x n relativer Fehler mit den Konditionszahlen y y c x 1 1 x c x n n x n c i = y x i x i y Steilster Abstieg iterative Minimierung multivariater Funktionen x y : f(y) = min f(x + td), t 0 Konvergenz gegen kritische Punkte: grad f(x ) = 0 d = grad f(x) Multivariates Newton-Verfahren nichtlineares Gleichungssystem f 1 (x ) = = f n (x ) = 0, x R n iterative Approximation der Lösung x x neu = x alt x, f (x alt ) x = f(x alt ) det f (x ) 0 = lokal quadratische Konvergenz x neu x c x alt x 2 103

10 6.8 Extremwerte Kritischer Punkt grad f(x ) = 0, Typbestimmung mit Eigenwerten λ k der Hesse-Matrix Hf(x ) Flachpunkt: λ k = 0 elliptischer Punkt: λ k 0, gleiches Vorzeichen hyperbolischer Punkt: λ k mit verschiedenem Vorzeichen parabolischer Punkt: λ k gleiches Vorzeichen, mindestens ein λ k null Extrema multivariater Funktionen innerer Punkt: x lokales Extremum = grad f(x ) = 0 Minimum (Maximum), falls Eigenwerte der Hesse-Matrix H positiv (negativ) bei zwei Variablen: det H > 0 und Spur H > 0 (< 0) Randpunkt: Richtungsableitung v f(x ) > 0 (< 0) für jede ins Innere zeigende Richtung v Lagrange-Multiplikatoren x lokale Extremstelle von f unter den Nebenbedingungen g k (x) = 0, Rang g (x ) maximal = Lagrange-Multiplikatoren λ k mit f (x ) = λ t g (x ) Kuhn-Tucker-Bedingung x lokales Minimum von f unter den Nebenbedingungen g i (x) 0, Gradienten der aktiven Gleichungen linear unabhängig = Lagrange-Multiplikatoren λ k 0 mit grad f(x ) = k λ k grad g k (x ) k λ k g k (x ) = 0 (λ k 0 bei lokalem Maximum) 104