Inhalt K apitel I Grundlagen 1 Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen 2 D ie Vollständigkeit von IR, konvergente Folgen

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1 Inhalt Kapitel I Grundlagen 1 Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen 1 Vorläufiges über Mengen und Aussagen Vorläufiges über die reellen Zahlen Rechengesetze für reelle Zahlen Das Rechnen in Q, Z und I N Die Anordnung der reellen Z ahlen Vollständige In d u k tio n Intervalle Beschränkte Mengen, obere und untere Schranke Maximum und M inim um Archimedische Anordnung von Q Die Abzählbarkeit von Q Zur Lückenhaftigkeit von Q Die Vollständigkeit von IR, konvergente Folgen 1 Supremum und In fim u m Folgerungen aus dem Supremumsaxiom Folgen, Rekursion, Teilfolgen Nullfolgen Sätze über Nullfolgen Grenzwerte von F o lg en Existenz der m-ten Wurzel, rationale Potenzen Intervallschachtelungen Grenzwertfreie Konvergenzkriterien Elementare Funktionen 1 Die Folge ((l + * )n) Die Exponentialfunktion Funktionen, Abbildungen Die Logarithmusfunktion Die allgemeine Potenz und der Zehnerlogarithmus Zusammengesetzte Funktionen Polynome und rationale Funktionen Die trigonometrischen Funktionen Mengen und Wahrscheinlichkeit 1 Einfache Mengenalgebra Exkurs über logisches Schließen und Beweistechnik Notwendige und hinreichende Bedingungen Beliebige Vereinigungen und Durchschnitte... 80

2 5 Beispiele zur Wahrscheinlichkeit Das mathematische Modell endlicher Zufallsexperimente Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Kombinatorische Grundformeln (Teil I ) Binomialkoeffizienten und Binomialverteilung Kombinatorische Grundformeln (Teil II) K apitel II V ektorrechnung im EU1 5 V ektorrechnung im IR2, kom plexe Zahlen 1 Vektorielle Größen in der Physik Vektoren in der ebenen Geometrie Koordinatendarstellung von Punkten und V ektoren Punkte und V ektoren Geraden und Strecken, Schnitt zweier G eraden Lineare 2 x 2-Gleichungssysteme Abstand, Norm, Winkel, ebene D rehungen Komplexe Z a h le n Die komplexe Exponentialfunktion Der Fundamentalsatz der Algebra, B eispiele Drehungen und Spiegelungen in komplexer Schreibweise V ektorrechnung im IRn 1 Der Vektorraum R n Skalarprodukt, Längen, Winkel Das Vektorprodukt im R Entwicklung nach Orthonormalsystemen, Orthonormalbasen Aufgaben K apitel III Analysis einer V eränderlichen 7 U nendliche R eihen 1 Reihen im R eellen Konvergenzkriterien für Reihen Komplexe Folgen, Vollständigkeit von Reihen mit komplexen G lied ern Cauchy-Kriterium und Majorantenkriterium Umordnung von R eihen Das C auchy-produkt G renzw erte von F unktionen und S tetigkeit 1 Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen Die Hauptsätze über stetige Funktionen Die Stetigkeit der Umkehrfunktion...172

3 6 Der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit D ifferentialrechnung 1 Vorbemerkungen Differenzierbarkeit und A bleitung Differentiation zusammengesetzter Funktionen Mittel wertsätze und Folgerungen Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion und Beispiele Höhere Ableitungen und Cn-F u n k tio n en Taylorentwicklung Lokale Minima und M ax im a Bestimmung von Grenzwerten nach de VHospital R eihenentw icklungen und Schwingungen 1 Taylorreihen Potenzreihen Gliedweise Differenzierbarkeit und Identitätssatz Theorie der Schwingungsgleichung Lösung der Schwingungsgleichung durch komplexen A nsatz Integralrechnung 1 Treppenfunktionen und ihr In teg ral Der gleichmäßige Abstand zweier beschränkter Funktionen Integrierbare Funktionen und Eigenschaften des Integrals Zwei wichtige Klassen integrierbarer Funktionen Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Partielle Integration Die Substitutionsregel Integration rationaler Funktionen Integrale mit Potenzen von yj.x2 + ax 4* ß Übergang zum halben W in k e l Schlussbemerkungen V ertauschung von G renzprozessen, uneigentliche Integrale 1 Problemstellungen, Beispiele Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und R e ih e n Vertauschung von Grenzübergängen Uneigentliche In teg rale Substitution und partielle Integration, Gamma-Funktion E lem entar integrierbare Differentialgleichungen 1 Die lineare Differentialgleichung y' a(x)y + b(x) Zwei aufschlussreiche Beispiele Die separierte Differentialgleichung y' = a(x) b ( y ) Zurückführung auf getrennte Variable Wegweiser: Differentialgleichungen in Band 1 und Band

4 Kapitel IV Lineare Algebra 14 Vektorräume 1 Wovon handelt lineare Algebra? Vektorräume Teilräume Linearkombinationen, lineare Hülle, Erzeugendensystem Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Vektorräume mit B a s is Lineare Abbildungen und Matrizen 1 Beispiele linearer Abbildungen Die Dimensionsformel Verknüpfung linearer Abbildungen Lineare Abbildungen und M atrizen Matrizenrechnung Invertierbare lineare Abbildungen und reguläre M atrizen Basiswechsel und Koordinatentransformation Lineare Gleichungen 1 Problemstellungen und Beispiele Allgemeines zur Lösbarkeit und zur Lösungsmenge Rangbedingungen Das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme Interpolation und numerische Q u a d ra tu r Die Methode der kleinsten Quadrate Determ inanten 1 B eispiele Definition der D eterm inante Eigenschaften der Determ inante Das Volumen von Parallelflachen Orientierung und D eterm inante Eigenwerte und Eigenvektoren 1 Diagonalisierbarkeit und Eigenwertproblem Eigenwerte und Eigenvektoren Das charakteristische Polynom Diagonalisierbarkeit von Operatoren Entkopplung von Systemen linearer Differentialgleichungen Skalarprodukte, Orthonormalsysteme und unitäre Gruppen 1 Skalarprodukträume Orthonormalsysteme und orthogonale Projektionen Das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Unitäre Abbildungen und M atrizen Matrix- und Transformationsgruppen

5 20 Symmetrische Operatoren und quadratische Formen 1 Quadratische F orm en Symmetrische Operatoren und quadratische Form en Diagonalisierbarkeit symmetrischer Operatoren Hauptachsentransformation Gekoppelte Systeme von M assenpunkten Kapitel V Analysis mehrerer Variabler 21 Topologische Begriffe in normierten Räumen 1 Normierte R äu m e Konvergente F olgen Offene und abgeschlossene Mengen Inneres, Äußeres, Abschluss und Rand einer M en g e Vollständigkeit Kompakte Mengen Stetige Funktionen Stetige Funktionen auf kompakten M engen Zusammenhang, G e b ie te Differentialrechnung im ]Rn 1 Differenzierbarkeit und A bleitung Rechenregeln für differenzier bare Funktionen Gradient, Richtungsableitung und H auptsatz Der Satz von Taylor Der Umkehrsatz und der Satz über implizite F unktionen Lokale Extrema unter Nebenbedingungen Integralrechnung im IRn 1 Das Integral für Treppenfunktionen Integration stetiger Funktionen über kompakte Q u a d e r Das Volumen von Rotationskörpern Das Integral stetiger Funktionen über offene M en g e n Parameterintegrale über offene M engen Sukzessive Integration Das n-dimensionale Volumen Der Transformationssatz und A nwendungen Kapitel VI Vektoranalysis 24 Kurvenintegrale 1 Kurvenstücke Länge und B ogenlänge Skalare Kurvenintegrale Vektorielle Kurvenintegrale Konservative Vektorfelder und Potentiale...480

6 6 Kurvenintegrale und Potentiale in der Thermodynamik Divergenz, Laplace-Operator, Rotation, Vektorpotentiale Oberflächenintegrale 1 Flächenstücke im R Der Flächeninhalt von Flächenstücken Oberflächenintegrale Die Integralsätze von Stokes, Gauß und Green 1 Übersicht Der Integralsatz von Stokes Der Stokessche Integralsatz in der E b e n e Der Integralsatz von G a u ß Anwendungen des Gaußschen Satzes, Greensche Form eln Anwendungen der Integralsätze in der Physik Kapitel VII Einführung in die Funktionentheorie 27 D ie Hauptsätze der Funktionentheorie 1 Holomorphie, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen Komplexe Kurvenintegrale und Stammfunktionen Analytische Funktionen Der Cauchysche Integralsatz Die Cauchysche Integralformel und ihre K onsequenzen Ganze Funktionen und Satz von Liouville Der Satz von Morera und Folgerungen Zusammenfassung der H auptsätze Isolierte Singularitäten, Laurent Reihen und Residuensatz 1 Einteilung isolierter Singularitäten Laurent-Entwicklung Charakterisierung isolierter S ingularitäten Der Residuenkalkül Der R esiduensatz Berechnung von Reihen mit Hilfe des Residuensatzes Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes Namen und L e b en sd a ten Literaturverzeichnis Symbole und A bkürzungen I n d e x