Teilstrukturen

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1 5. Teilstrukturen Die Berechnung von komplexen trukturen lässt sich oft vereinfachen, wenn die truktur in Teilstrukturen unterteilt wird. Die Teilstrukturen hängen an den Anschlusspunkten zusammen. Für jede Teilstruktur wird eine Beziehung zwischen den Kräften und den Verschiebungen an den Anschlusspunkten benötigt. In diese Beziehung können noch weitere verallgemeinerte Koordinaten eingehen. Der Zusammenbau der Teilstrukturen zur Gesamtstruktur ergibt eine Gleichung zur Ermittlung der Verschiebungen an den Anschlusspunkten

2 5. Teilstrukturen eitenleitwerk rechtes Höhenleitwerk Anschlusspunkte rechter Tragflügel linkes Höhenleitwerk linker Tragflügel Rumpf 5.5-2

3 5. Teilstrukturen Gesamtstruktur linker linker Tragflügel eitenleitwerk Rumpf rechter Tragflügel linkes linkes Höhenleitwerk rechtes Höhenleitwerk 5.5-3

4 5. Teilstrukturen 5.1 tatische Reduktion 5.2 Craig-Bampton-Methode 5.3 Praktische Hinweise 5.4 pezielle Anwendungen 5.5-4

5 5.1 tatische Reduktion Partitionierung: Die Verschiebungen der Teilstruktur werden unterteilt in die Verschiebungen an den Anschlusspunkten und die Verschiebungen im Inneren der Teilstruktur. Die Verschiebungsfreiheitsgrade an den Anschlusspunkten sind Koppelfreiheitsgrade. Die Verschiebungsfreiheitsgrade an den inneren Punkten sind lokale Freiheitsgrade. Die Koppelfreiheitsgrade werden mit dem Index C und die lokalen Freiheitsgrade mit dem Index L bezeichnet. Zusätzlich zu den Punkten, an denen die Teilstruktur mit anderen Teilstrukturen verbunden ist, können weitere Punkte als Anschlusspunkte gewählt werden

6 5.1 tatische Reduktion Die Bewegungsgleichung für eine freigeschnittene Teilstruktur lautet: [ [ M L L ] [ M L C ] ]][ [ü L ] ]] ]][ [ M L C ] T [ M C C [ü C [ D L C ] T [ D +[ C C [ K L L ] [ K L C ] ]][ ]] [ K L C ] T [ K C C [u C + [ [ D L L ] [ D L C ] [ u L ] [ u C ]] [ u L ] = [ [ l L ] [l C ]] Die Lasten [l L ] an den lokalen Freiheitsgraden sind bekannt, während die Lasten [l C ] an den Koppelfreiheitsgraden unbekannt sind

7 5.1 tatische Reduktion Reduktion: Bei der statischen Reduktion wird angenommen, dass die Teilstruktur quasistatisch auf Verschiebungen der Anschlusspunkte antwortet. Für die quasistatische Antwort auf vorgegebene Verschiebungen an den Koppelfreiheitsgraden gilt: [ K L L ] [u L ]+ [ K L C ] [u C ]=[ 0 ] [u L ]= [ K L L ] 1 [ K L C ] [u C ] Mit der Transformationsmatrix [T L C ]= [ K L L ] 1 [ K L C ] folgt: [u L ]=[T L C ] [u C ] 5.5-7

8 5.1 tatische Reduktion Für die gesamten Verschiebungen der Teilstruktur gilt: [ [ u L ] ]] [u = [ [ T L C ] ] C [ I C C ] [ ]=[ u C ]=[T C ] [u C ] mit [T [ T L C ] ] C [I C C ] Dabei ist [I C C ] eine Einheitsmatrix, deren Dimension der Anzahl der Koppelfreiheitsgrade entspricht. Für die virtuellen Geschwindigkeiten wird der gleiche Ansatz verwendet. Dann ergibt sich die reduzierte Bewegungsgleichung durch eine Kongruenztransformation: [m CC [k CC ]=[T C ] T [ M ] [T C ], [d CC ]=[T C ] T [ K ] [T C ], [l C ]=[T C ] T [l ] ]=[T C ] T [ D ] [T C ] Index : ubstruktur 5.5-8

9 5.1 tatische Reduktion Die reduzierte Massenmatrix berechnet sich zu [m CC [ T L C ] ] [ I C C ] =[ [T L C ] T [ I C C ] ] [ [M L L ] [T L C ]+[ M L C ] ]] [M L C ] T [T L C ]+[ M C C =[T L C ] T [ M L L ] [T L C ]+[T L C ] T [ M L C ]+[ M L C ] T [T L C ]+[ M C C ] ]=[ [T L C ] T [ I C C ]] [ [ M L L ] [M L C ] [M L C ] T [ M C C ]][ Genauso folgt für die reduzierte Dämpfungsmatrix: [d CC ]=[T L C ] T [ D L L ] [T L C ]+[T L C ] T [ D L C ]+[ D L C ] T [ D L C ]+[ D C C ] 5.5-9

10 5.1 tatische Reduktion Die reduzierte teifigkeitsmatrix berechnet sich zu [k CC ]=[T L C ] T [ K L L ] [T L C ]+[T L C ] T [ K L C ]+[ K L C ] T [T L C ]+[ K C C ] =[ K L C ] T [ K L L ] 1 [K L C ] 2 [ K L C ] T [ K L L ] 1 [K L C ]+[ K C C ] =[ K C C ] [ K L C ] T [ K L L ] 1 [K L C ] Für die Lastmatrix folgt: [l C ]=[T L C ] T [l L ]+[l C ] Rechenaufwand: Da die Matrix [T L C ] in der Regel voll besetzt ist, sind die Rechenoperationen mit dieser Matrix sehr aufwändig, wenn die Anzahl der Koppelfreiheitsgrade groß ist

11 5.1 tatische Reduktion Die Anzahl der Koppelfreiheitsgrade sollte daher so klein wie möglich gehalten werden. Genauigkeit: Die statische Reduktion liefert brauchbare Ergebnisse, wenn die erste Eigenfrequenz der an den Koppelfreiheitsgraden festgehaltenen Teilstruktur mindestens um den Faktor 3 größer ist als die Frequenz, mit der die Anschlusspunkte schwingen. Werden zusätzlich zu den Freiheitsgraden der Anschlusspunkte weitere Koppelfreiheitsgrade gewählt, so steigt die erste Eigenfrequenz der festgehaltenen Teilstruktur und damit die Genauigkeit

12 5.1 tatische Reduktion Insbesondere sollten Freiheitsgrade von Punkten im Inneren der Teilstruktur, an denen schwere Massen angebunden sind, als Koppelfreiheitsgrade gewählt werden. Durch die Erhöhung der Anzahl der Koppelfreiheitsgrade steigt jedoch der Rechenaufwand stark an. Bemerkungen: Mit der statischen Reduktion lassen sich lokale chwingungen eliminieren. Die statische Reduktion geht auf R. J. Guyan zurück (AIAA Journal, 1965) und wird daher im Englischen als Guyan Reduction bezeichnet

13 5.2 Craig-Bampton-Methode Zielsetzung: Die Genauigkeit der statischen Reduktion soll verbessert werden, ohne die Anzahl der Koppelfreiheitsgrade zu erhöhen. Methode: Die Verschiebungen relativ zur quasistatischen Antwort werden durch eine Überlagerung von Eigenvektoren approximiert. Bei der Berechnung der Eigenvektoren wird die Teilstruktur an den Koppelfreiheitsgraden festgehalten. Werden alle Eigenvektoren verwendet, so ist die Methode exakt

14 5.2 Craig-Bampton-Methode Die Methode ist identisch mit der Methode der modalen Reduktion bei Bewegungsanregung. Dabei entsprechen die Koppelfreiheitsgrade den Freiheitsgraden mit vorgeschriebener Bewegung. Für die Verschiebungen an den lokalen Freiheitsgraden gilt [u L ]=[T L C ] [u C ]+ [ X ] [ q ] mit [ X ]=[ [ x 1 ] [ x p ] ], [ q ]=[ q 1 q p ] T 2 [ K L L ] [ x n ]=ω n [ M L L ] [ x n ], n=1,, p

15 5.2 Craig-Bampton-Methode Als zusätzliche Freiheitsgrade treten die modalen Freiheitsgrade [q] auf, die zu den Koppelfreiheitsgraden hinzugenommen werden. ie werden mit dem Index q gekennzeichnet. Die Koppelfreiheitsgrade bilden zusammen mit den modalen Freiheitsgraden die externen Freiheitsgrade, die mit dem Index E gekennzeichnet werden. Dann gilt: [ [ u L ] ]] [u = [ [ T L C ] [ X ] ]][ [ u C ]] C [ I C C ] [ 0 C q [ q ] = [T E ] [u E ] mit [T E ]=[ [ T L C ] [ X ] ]] [ I C C ] [0, ]=[ [u [ u C ]] E C q [ q ]

16 5.2 Craig-Bampton-Methode Kongruenztransformation: Transformation der Massenmatrix: [m EE ]=[ [ T L C ] T [I C C ] [ X ] T [0 C q ] T ][ =[ [ T L C ] T [ I C C ] [ X L ] T [0 C q ] T ][ [ M L L ] [ M L C ] ]][ [ M L C ] T [ M C C [ T L C ] [ X ] [ M C C ] [T L C ]+[M L C ] [M L L ] [ X ] [ I C C ] [0 C q ]] [ M L C ] T [T L C ]+[M C C ] [ M L C ] T [ X ]] =[ [m CC ] ( [T L C ] T [ M L L ]+[ M L C ] T ) [X ] ] [ X ] T ([ M L L ] [T L C ]+[M L C ] ) [ I qq ] mit [ X L ] T [ M L L ] [ X L ]=[ I qq ] (Massennormierung)

17 5.2 Craig-Bampton-Methode Transformation der teifigkeitsmatrix: [k EE ]=[ [k CC ] ( [T L C ] T [ K L L ]+ [ K L C ] T ) [ X ] ] [ X ] T ( [ K L L ] [T L C ]+[K L C ] ) [ X ] T [ K L L ] [ X ] ] [0 C q ] ] [0 C q ] 2] [ 0 C q ] T [Ω qq ] =[ [ k CC [0 C q ] T [ X ] T [ K L L ] [ X ]] = [ [ k CC mit [Ω qq ]= [ ω ω p], [ K L L ] [T L C ]+[K L C ]=[0 ]

18 5.2 Craig-Bampton-Methode Die Dämpfungsmatrix transformiert sich wie die Massenmatrix: [d EE ]=[ [d CC ] ( [T L C ] T [ D L L ]+[D L C ] T ) [ X ] ] [ X ] T ( [ D L L ] [T L C ]+ [ D L C ] ) [ X ] T [ D L L ] [ X ] Transformation der Lastmatrix: [l E ]=[ [ T L C ] T [ I C C ] [ X ] T [0 C q ] T ][ [ l L ] ]] [l = [ C [l C ] ]] [ X ] T [l L

19 5.2 Craig-Bampton-Methode Reduzierte Bewegungsgleichung der Teilstruktur: Mit ]=( [T L C ] T [M L L ]+[M L C ] T ) [ X ], [d qq ]=[ X ] T [ D L L ] [ X ], ]=( [T L C ] T [ D L L ]+[ D L C ] T ) [ X ] und [l q ]=[ X ] T [l L ] [m Cq [d Cq lautet die reduzierte Bewegungsgleichung der Teilstruktur: [ [ m CC ] [ m Cq [ m Cq ] ] T [ I qq ] ][ [ü C ] ] [ q ] + [ [ d CC [d Cq ] [d Cq ] ]][ ] T [ d qq ] [ q ] + [ [ k EE [ u C ] ] [0 ] [ 0 ] [Ω qq ]] ] [l q 2][ [ u C ]] ] [q ] = [ [ l C Die Kopplung zwischen Koppelfreiheitsgraden und modalen Freiheitsgraden erfolgt im Wesentlichen über die Matrix [m Cq ], d. h. über die Trägheitskräfte infolge der quasistatischen Beschleunigungen

20 5.2 Craig-Bampton-Methode Die lokalen chwingungen der Teilstruktur werden durch die durch die quasistatische Bewegung verursachten Trägheitskräfte und durch die im Innern der Teilstruktur angreifenden äußeren Kräfte angeregt. Wenn die Anschlusspunkte eine tarrkörperbewegung ausführen, dann ist die quasistatische Bewegung der gesamten Teilstruktur eine tarrkörperbewegung. Anzahl der Eigenvektoren: Bei der Reduktion sollten alle Eigenvektoren berücksichtigt werden, deren Eigenfrequenz unterhalb des Dreifachen der höchsten Erregerfrequenz liegen

21 5.2 Craig-Bampton-Methode Erweiterte Reduktion: Die Genauigkeit der Craig-Bampton-Methode lässt sich verbessern, wenn zusätzliche Vektoren verwendet werden, die die quasistatische Antwort auf die Trägheitskräfte infolge einer tarrkörperbewegung sowie auf äußere Lasten im Inneren der Teilstruktur beschreiben. Fehlerabschätzung: Wenn die Anschlusspunkte im Wesentlichen eine tarrkörperbewegung ausführen, kann der Fehler in der Formänderungsenergie mithilfe der modalen effektiven Massen abgeschätzt werden

22 5.2 Craig-Bampton-Methode Bemerkungen: Die Craig-Bampton-Methode geht auf R. R. Craig und M. C. C. Bampton zurück (AIAA Journal, 1968). ie ist die tandardmethode für die dynamische Reduktion von Teilstrukturen

23 5.3 Praktische Hinweise Vorteile von Teilstrukturen: Die Berechnung komplexer trukturen lässt sich modularisieren, d. h. die Berechnungsmodelle der Teilstrukturen können separat erstellt, getestet und durch Vergleich mit Messungen validiert werden. Berechnungsmodelle der Teilstrukturen können von Zulieferern erstellt oder an Zulieferer weitergegeben werden. Bei konstruktiven Änderungen müssen nur die betroffenen Teilstrukturen und die Gesamtstruktur neu berechnet werden. Das lässt sich insbesondere bei der Optimierung ausnutzen

24 5.3 Praktische Hinweise Enthält eine truktur mehrere identische Teilstrukturen, so muss die Reduktion nur für eine dieser Teilstrukturen durchgeführt werden und kann für die anderen übernommen werden. Enthält eine truktur lokale Nichtlinearitäten oder lokale frequenzabhängige teifigkeiten oder Dämpfungen, wird die Gesamtstruktur so in Teilstrukturen zerlegt, dass diese Effekte erst bei der Berechnung der Gesamtstruktur berücksichtigt werden müssen. Die aufwändigen Berechnungen müssen dann nur mit einem relativ kleinen Berechnungsmodell durchgeführt werden

25 5.3 Praktische Hinweise Nachteile von Teilstrukturen: Durch die Reduktion der Teilstrukturen werden weitere Näherungen eingeführt. Der Rechenaufwand für die Reduktion der Teilstrukturen kann sehr groß werden, wenn die Teilstrukturen viele Anschlusspunkte haben. Der Rechenaufwand für eine einzige Rechnung ist daher bei Verwendung von Teilstrukturen deutlich höher als bei einer Rechnung ohne Teilstrukturen

26 5.3 Praktische Hinweise Überprüfung der reduzierten Teilstruktur: Wenn die Anschlusspunkte im Wesentlichen eine tarrkörperbewegung durchführen, können die modalen effektiven Massen verwendet werden. Die umme der bezogenen modalen effektiven Massen für die tarrkörperbewegung, die die Anschlusspunkte durchführen, sollte nahe bei eins liegen. Im allgemeinen Fall kann die modale Reduktion der Teilstruktur anhand der chwingungen der ungelagerten Teilstruktur bewertet werden. Dazu werden diese chwingungen einmal ohne und einmal mit Reduktion berechnet und verglichen

27 5.4 pezielle Anwendungen Diskrete Dämpfer: Mithilfe von Teilstrukturen lassen sich trukturen mit einzelnen diskreten Dämpfern, deren Kennwerte auch von der Erregerfrequenz abhängen können, effizient berechnen. Dazu wird die truktur ohne die Dämpfer zu einer Teilstruktur zusammengefasst. Die Dämpfung der Teilstrukturschwingungen kann z. B. durch eine Rayleigh-Dämpfung oder durch modale Lehrsche Dämpfungsmaße beschrieben werden. Die diskreten Dämpfer werden erst in der Gesamtstruktur hinzugefügt

28 5.4 pezielle Anwendungen Durch die Reduktion der Teilstruktur wird die Anzahl der Freiheitsgrade, die die Gesamtstruktur noch hat, gegenüber einer Rechnung ohne Teilstruktur stark verringert. Die Antwort der Gesamtstruktur kann daher mithilfe einer direkten Frequenzganganalyse berechnet werden. Beispiel: Bei einem PKW kann die Karosserie als Teilstruktur betrachtet werden, an die die diskreten Dämpfer des Fahrwerks angeschlossen sind. Die Dämpfung der Karosserieschwingungen kann durch modale Lehrsche Dämpfungsmaße beschrieben werden

29 5.4 pezielle Anwendungen Mehrkörper-imulation mit elastischen Körpern: Die linearen elastischen Körper sind Teilstrukturen, deren dynamisches Verhalten relativ zu einem mitbewegten Koordinatensystem durch Craig-Bampton-Matrizen beschrieben wird. Die Bewegung des Koordinatensystems selbst ergibt sich als Lösung der nichtlinearen Bewegungsgleichungen des Mehrkörper-ystems. Beispiel: PKW: Das Verhalten der Karosserie ist linear, während das Verhalten des Fahrwerks nichtlinear ist

30 5.4 pezielle Anwendungen Eisenbahnwaggon: Das Verhalten des Wagenkasten ist linear, das Verhalten der Drehgestelle ist nichtlinear. Flugzeug: Die truktur des Flugzeugs verhält sich linear, aber die Gleichungen für die räumliche Bewegung des starren Flugzeugs (chwerpunktsatz und Drallsatz) sind nichtlinear