x e x sin(x) lim oder lim bestimmen lassen.
|
|
- Björn Heinrich
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Es folgt nun noch ein Nachtrag zum Thema Grenzwerte von Funktionen. Wir hatten in Abschnitt 2.6 Beispiele von Funktionen gesehen, bei denen die üblichen Grenzwertregeln nicht weiterhelfen, etwa bei Quotienten von Funktionen, wo Zähler und Nenner für x x 0 beide gegen Null (oder beide gegen unendlich) konvergieren. Mithilfe der Differentiation ist es nun möglich, weitere Grenzwertregeln aufzustellen, mit denen sich etwa bestimmen lassen. sin(x) x 0 x x 3 oder e x 262
2 Regeln von de L Hospital: Seien D = (a,b)\{x 0 } mit a < x 0 < b und f, g : D R differenzierbare Funktion, sowie g (x) 0 auf D. Außerdem gelte oder Dann gilt f(x) = g(x) = 0 (5.2) x x 0 x x0 x x 0 f(x) = ±, x x0 g(x) = ±. (5.3) f (x) x x 0 g (x) = α R f(x) x x 0 g(x) = α. (5.4) f(x) Die gleichen Aussagen gelten auch für Grenzwerte der Form xցx0 g(x), f(x) xրx0 g(x) und x ± f(x) g(x). Man beachte, dass die Implikation (5.4) auch beinhaltet, dass im Falle der Konvergenz von der Grenzwert überhaupt existiert. f (x) f(x) x x0 g (x) x x 0 g(x) Es ist ganz wichtig, dass die Voraussetzungen(5.2) oder(5.3) erfüllt sind. Andernfalls liefert die Implikation (5.4) ein falsches Ergebnis. Das wird in Beispiel illustriert. Wenn (5.2) und (5.3) beide nicht gelten, lässt sich der Grenzwert so- 263
3 wieso direkt bestimmen. Beispiel Seien f(x) = sin(x), g(x) = x und x 0 = 0. Dann ist (5.2) erfüllt und wegen f (x) x 0 g (x) = cosx x 0 sin(x) f(x) ist mit (5.4): = x 0 x x 0 g(x) =. Seien f(x) = x3 und g(x) = e x. Dann ist (5.3) für x erfüllt und iterative Anwendung der Regel von de L Hospital liefert: 2. = x 3 e = f(x) x g(x) = f (x) = f (x) g (x) = = f (3) (x) g (3) (x) = 264 g (x) = 6x e x 6 e x = 0. 3x 2 e x
4 3. Seien f(x) = ex +2 und g(x) = e 2x 2. Dann ist (5.3) für x erfüllt und daher e x +2 e 2x 2 = e x = 2e2x 2e = 0. x 4. 0 Seien f(x) = ln(x), g(x) = x und x 0 = 0. Es soll ln(x)x bestimmt werden. Dies ist zwar kein Quotient, aber durch Umformen erhält man ln(x) ln(x) x = = 5. Seien f(x) = + a x = x x x 2 = ( x) = 0. und g(x) = x. Dann ist ( + x) a x = f(x) g(x) = e ln(f(x)) g(x) = e ln(+a x ) x. 265
5 Nun ist der Exponent für x vom Typ 0 und daher ist wie in 3. (+ ln a ) ( ) ln + a x x = = x Also ist (+ a ) x = e a. x a x 2 + a x x 2 x = 6. 0 Seien f(x) = x+ und g(x) = 2 ln(x). Dann gilt a + a x = a. (x+) ln(x) 2 = f(x) g(x) = e ln(f(x)) g(x) = e ln(x+) 2 ln(x). Der Exponent ist für x vom Typ. Somit ist 2ln(x+) ln(x) = 2 x+ x Also ist (x+) ln(x) 2 = e 2. = x x+ = 2.
6 Für f(x) = x 3 x und g(x) = ln(x) gilt ( ) x3 x ln(x) = f(x) g(x) = e ln(f(x)) g(x) = e ln( x3 x ) 2 ln(x)+xln(3) ln(x) = e ln(x). Der Exponent ist für x ց 0 vom Typ, also 2 ln(x)+xln(3) ln(x) = = 2x +ln(3) ( x ) 2 +xln(3) = 2. ( Damit ist ) x3 x ln(x) = e. 8. Abschließend noch ein Beispiel, das die Notwendigkeit der Voraussetzung(5.2) oder (5.3) zeigt. Betrachte f(x) = e 2x 2 und g(x) = e x +2. Es soll f(x) x g(x) (5.5) 267
7 bestimmt werden. Allein die Regel (5.4) würde wegen f (x) x g (x) = 2e 2x = x e x x 2ex = 0 dengrenzwert0für(5.5)liefern.dasistaberfalsch,dennwegen 0 ist x g(x) = 2, folglich erhalten wir den korrekten Grenzwert f(x) = 2 und x x x ex = f(x) g(x) =. Offensichtlich sind weder (5.2) noch (5.3) erfüllt, deshalb darf man (5.4) nicht anwenden. 5.2 Kurvendiskussion Viele ökonomischen Zusammenhänge werden durch Funktionen beschrieben. Daher ist es wichtig, das Verhalten der Funktionen bestimmen zu können. Hierzu gehören. Definitionsbereich, 2. Nullstellen, 268
8 3. Monotonieverhalten und (lokale) Extremwerte, 4. Krümmungsverhalten und Wendepunkte, 5. Asymptotisches Verhalten, d. h. das Aussehen des Graphen an den Rändern des Definitionsbereichs, 6. Verhalten von f an Sprungstellen, Polstellen und Definitionslücken Dabei ist die Differenzialrechnung ein nützliches Hilfsmittel. An dem folgenden Beispiel (wir nennen es Beispiel A) werden alle Begriffe illustriert. Beispiel A: g(x) = 2x 2 x 2 2x+2 269
9 x Der maximale Definitionsbereich einer gegebenen Funktion und seine Bestimmung wurde bereits in Abschnitt 2.2 behandelt. Beispiel A: Da das Nennerpolynom keine Nullstellen hat, ist D(g) = R. 2. Die Bestimmung der Nullstellen, also der Schnittpunkte des Graphen mit der x-achse, kann ein schwieriges Problem sein. Für Polynome (und folglich 270
10 auch rationale Funtionen) wurde dies in Abschnitt 2.4 diskutiert. Beispiel A: Das Zählerpolynom und damit die Funktion g hat die einzige Nullstelle x 0 =. Im allgemeinen lassen sich graphisch Näherungswerte für die Nullstellen finden. Ein Verfahren zur approximativen Bestimmung der Nullstellen einer gegebenen Funktion ist das Newtonverfahren: Sei f : D R eine differenzierbare Funktion. Wähle einen Wert x D und setze für alle n N x n+ = x n f(x n) (Newtoniteration) f (x n ) Dann gilt: WenndieNewtonfolge(x n ) n N konvergiert,dannistdergrenzwerteinenullstelle von f. Die dieser Methode zugrunde liegende Idee ist wie folgt: Ist x n ein Schätzwert für eine Nullstelle, dann wird in (x n,f(x n )) die Tangente an den Graphen von f 27
11 gelegt. Sie hat die Gleichung y = f (x n )(x x n )+f(x n ). Ihre Nullstelle ist gerade obiger Wert x n+, der dann als neue Schätzung benutzt wird. Die Frage, in welchen Situationen die Newtoniteration (x n ) n N konvergiert, bleibt hier unbehandelt. Beispiel 5.9 Sei f(x) = x 2 a mit a R +. Dann ist die Newtoniteration x n+ = x n x2 n a = ) (x n + axn 2x n 2 Man kann zeigen, dass die Folge gegen a konvergiert, wenn wir mit x > 0 beginnen. Genau so rechnet übrigens ein Computer die Wurzel aus a aus! 3. Monotonieverhalten und lokale Extremwerte Monotonie einer Funktion auf einem Intervall ist bereits in Abschnitt 2.2 definiert worden. Im Falle einer differenzierbaren Funktion lässt sich Monotonie mithilfe der ersten Ableitung klären. 272
12 Monotonieverhalten Sei f : D R eine differenzierbare Funktion, I D ein Intervall. Dann gilt: f ist konstant in I genau dann, wenn f = 0 auf I. f ist monoton wachsend in I genau dann, wenn f (x) 0 für alle x I. f ist monoton fallend in I genau dann, wenn f (x) 0 für alle x I. f ist streng monoton wachsend in I, wenn f (x) > 0 für alle x I. f ist streng monoton fallend in I, wenn f (x) < 0 für alle x I. Beispiel A: Die Ableitung von g ist g (x) = 2(x2 2x+2) (2x 2)(2x 2) (x 2 2x+2) 2 = 2x(2 x) (x 2 2x+2) 2 273
13 Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2 Also ist g auf (0,2) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (2, ) strengmonotonfallend.außerdemistg (0) = 0 = g (2)unddiessinddieeinzigen Nullstellen von g (x). An dieser Stelle ist Vorsicht geboten, denn es gibt Funktionen, die auf einem Intervall streng monoton wachsend sind, obwohl die Ableitung dort nicht überall positiv ist. Beispiel 5.0 Die Funktion f(x) = x 3 ist streng monoton wachsend auf R, aber die Ableitung f (x) = 3x 2 ist nicht überall positiv. Wenn eine Funktion von wachsend in fallend übergeht, so liegt dort ein lokales Maximum vor. 274
Ableitungen höherer Ordnung: Sei f : D R eine differenzierbare Funktion. Ist die Ableitung f : D R ihrerseits in jedem Punkt x D differenzierbar, dann
Ableitungen höherer Ordnung: Sei f : D R eine differenzierbare Funktion. Ist die Ableitung f : D R ihrerseits in jedem Punkt x D differenzierbar, dann heißt f (x) = (f ) (x) die zweite Ableitung von f
Mehrbestimmt werden. Allein die Regel (5.4) würde wegen g(x) = 2, folglich erhalten wir den korrekten lim
bestimmt werden. Allein die Regel (5.4) würde wegen f (x) lim x g (x) = lim 2e 2x = lim x e x x 2ex = 0 dengrenzwert0für(5.5)liefern.dasistaberfalsch,dennwegen lim 0 ist lim x g(x) = 2, folglich erhalten
Mehr5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen Wachstumsprozess,
Mehr2 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
2 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen Wachstumsprozess,
MehrKapitel 5. Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
Kapitel 5. Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen
MehrDa der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2
Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 x( x) > 0 0 < x < g (x) < 0 x( x) < 0 x < 0 oder x > Also ist g auf (0,) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (, ) strengmonotonfallend.außerdemistg
MehrUnter Kurvendiskussion versteht man die Untersuchung einer gegebenen Funktion auf bestimmte Merkmale und Eigenschaften:
1 KURVENDISKUSSION Unter Kurvendiskussion versteht man die Untersuchung einer gegebenen Funktion auf bestimmte Merkmale und Eigenschaften: 1.1 Definitionsbereich Zuerst bestimmt man den maximalen Definitionsbereich
MehrKurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4
Mag. Mone Denninger 10. Oktober 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionsmenge 2 1.1 Verhalten am Rand und an den Lücken des Definitionsbereichs............................ 2 2 Nullstellen 2 3 Extremwerte
MehrÜbungsaufgaben zur Kurvendiskussion
SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium
Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet b.hallouet@mx.uni-saarland.de SS 2017 Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS 2017 1 / 25 Vorlesung 7 (Lecture 7) Differentialrechnung differential
MehrGF MA Differentialrechnung A2
Kurvendiskussion Nullstellen: Für die Nullstellen x i ( i! ) einer Funktion f gilt: Steigen bzw. Fallen: f ( x i ) = 0 f '( x) > 0 im Intervall I f ist streng monoton wachsend in I f '( x) < 0 im Intervall
Mehrstreng monoton steigend. streng monoton fallend. Ist f eine in einem Intervall stetige und im Innern des Intervalls differenzierbare Funktion mit
3. Anwendungen ================================================================= 3.1 Monotonie Eine Funktion f heißt in ihrem Definitionsbereich D monoton steigend, wenn für alle x 1, x 2 D mit x 1 < x
MehrI. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen:
I. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen: 1. Definitionslücken bestimmen: Nenner wird gleich 0 gesetzt! 2. Prüfung ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt: Eine hebbare Definitionslücke liegt
Mehr6.2 Die Regeln von de l Hospital. Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert. Beispiel: Sei f(x) = x 2 und g(x) = x. Dann gilt. lim.
6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert falls g(x), beide Funktionen gegen Null konvergieren, d.h. = g(x) = 0 beide Funktionen gegen Unendlich konvergieren, d.h.
MehrDa die Restschuld und damit die Zinsen im Laufe der Zeit sinken, wird bei der Annuitätentilgung von Jahr zu Jahr ein größerer Betrag getilgt.
Tilgung, Annuität: Werden Schulden in Teilbeträgen, den sogenannten Raten zurückgezahlt, so spricht man von einer Tilgung, bei der die Schulden auf eine Restschuld vermindert werden. Die in einem Zeitabschnitt
MehrSkripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x.
Skripten für die Oberstufe Kurvendiskussion x 3 f (x) x f (x)dx = e x H. Drothler 0 www.drothler.net Kurvendiskussion Zusammenfassung Seite Um Funktionsgraphen möglichst genau zeichnen zu können, werden
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 6. (n+1)!. Daraus folgt, dass e 1/x < (n+
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 6 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Für alle ganzen Zahlen n 1 gilt... (a) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (b) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (c)
MehrTeil I Auswahlfragen
UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Dominik Faas Grundlagen der Analysis Sommersemester 010 Klausur vom 07.09.010 Teil I Auswahlfragen Name: Hinweise: Bei den folgenden Auswahlfragen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
MehrLÖSUNGEN Kurvendiskussion
M. Sc.Petra Clauÿ Wintersemester 2015/16 Mathematische Grundlagen und Analysis 24. November 2015 LÖSUNGEN Kurvendiskussion Aufgabe 1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen folgender Funktionen
MehrÜbersicht. 1. Motivation. 2. Grundlagen
Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen 3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler
Mehr( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )
64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den
MehrAbitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 211 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I Teilaufgabe 1 (3 BE) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x (e x 2) (x 3 2x ) mit Definitionsbereich
MehrMathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2017/18. Grundlagentutorium 4 Lösungen
Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 207/8 Grundlagentutorium 4 Lösungen Sebastian Groß Termin Mittwochs 5:45 7:45 Großer Hörsaal Biozentrum (B00.09) E-Mail gross@bio.lmu.de Sprechzeiten
MehrDifferenzialrechnung
Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =
MehrMathematik für Sicherheitsingenieure I A
Priv.-Doz. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal, 9.0.08 Dr. T. Pawlaschyk Mathematik für Sicherheitsingenieure I A Aufgabe. (5+5+6+4 Punkte) a) Geben Sie für jede der folgenden Aussagen an, ob sie WAHR oder FALSCH
MehrMathe- Multiple-Choice-Test für Wirtschaftsinformatiker
REELLE FUNKTIONEN 1 Was muss aufgeführt werden, wenn man eine reelle Funktion angibt? a) Ihre Funktionsvorschrift und ihren Wertebereich. Ihre Funktionsvorschrift und ihren Definitionsbereich. c) Den Wertebereich
MehrKurvendiskussion von Polynomfunktionen
Kurvendiskussion von Polynomfunktionen Theorie: Für die weiteren Berechnungen benötigen wie die 1. f (x) und 2. f (x) Ableitung der zu untersuchenden Funktion f (x). Wir werden viele Gleichungen lösen
MehrBasistext Kurvendiskussion
Basistext Kurvendiskussion In einer Kurvendiskussion sollen zu einer vorgegebenen Funktion (bzw. Funktionsschar) Aussagen über ihrem Verlauf gemacht werden. Im Nachfolgenden werden die einzelnen Untersuchungspunkte
MehrDifferential- und Integralrechnung
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 7 Anwendungen der Differentialrechnung 7.1 Maxima und Minima einer Funktion................. 141 7.2 Mittelwertsatz............................ 144 7.3 Kurvendiskussion..........................
MehrHöhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 11. Übung
TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 06. Dezember 06 Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur. Übung In
Mehr6 Die Bedeutung der Ableitung
6 Die Bedeutung der Ableitung 24 6 Die Bedeutung der Ableitung Wir wollen in diesem Kapitel diskutieren, inwieweit man aus der Kenntnis der Ableitung Rückschlüsse über die Funktion f ziehen kann Zunächst
MehrAnalysis 1 für Informatiker (An1I)
Hochschule für Technik Rapperswil Analysis 1 für Informatiker (An1I) Stand: 2012-11-13 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen 3 1.1 Gerade, ungerade und periodische Funktionen..................... 3 1.2 Injektive,
MehrHöhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 11. und 12. Übung
TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, WS 017/18 Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 11. und 1. Übung
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 5. x 1 2x 3 = lim 6x
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 5. MC-Aufgaben Online-Abgabe. Durch zweifache Anwendung der Regel von Bernoulli-de l Hôpital folgt Stimmt diese Überlegung? lim x x 3 +
MehrTutorium Mathematik I M WM Lösungen
Tutorium Mathematik I M WM Lösungen 3... Durch mehrmaliges Anwenden der Regel von de l Hospital ergibt sich: e e sin() e cos()e sin() sin() cos() e + sin()e sin() cos ()e sin() sin() e + cos()e sin() +
MehrStetigkeit von Funktionen
Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte
MehrHöhere Mathematik 1 Übung 9
Aufgaben, die in der Präsenzübung nicht besprochen wurden, können in der darauf folgenden übung beim jeweiligen übungsleiter bzw. bei der jeweiligen übungsleiterin abgegeben werden. Diese Abgabe ist freiwillig
Mehr2015, MNZ. Jürgen Schmidt. Vorkurs. Mathematik. Ableiten. Tag WS 2015/16
Vorkurs 4. Mathematik Ableiten WS 2015/16 Tag Einführendes Beispiel Vernachlässigen wir den Luftwiderstand, so können wir in hinreichender Näherung für den freien Fall eines Körpers s(t) = 5t 2 als Weg-Zeit-Abhängigkeit
MehrMathematik für Wirtschaftsinformatiker
UNIVERSITÄT SIEGEN Prof. Dr. Alfred Müller 12. Februar 2009 Klausuraufgaben Mathematik für Wirtschaftsinformatiker Beachten Sie folgende Hinweise: (1) Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Die
MehrAufgaben zur e- und ln-funktion
Aufgaben zur e- und ln-funktion 1.0 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x2 2 mit D. Ihr Graph sei G f. (Abitur 2008 AI) e x f =! 1.1 Geben Sie die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen an. 1.2 Untersuchen
Mehr5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation
5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation Aufgabe : Verschiebung und Streckung trigonometrischer Funktionen (5) a) Bestimmen Sie die Periode p sowie die Nullstellen der Funktion
MehrDiskussion einzelner Funktionen
Diskussion einzelner Funktionen. Wir betrachten die Funktion f mit f() = cos sin (a) Berechne f() für { π, π, π, π, } 5π und zeichne den Grafen von f im - Intervall [ π, ] 5π. Einheiten: cm auf der y-achse,
MehrAufgabe 1. Multiple Choice (4 Punkte). Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an.
Analysis I, WiSe 2013/14, 04.02.2014 (Iske), Version A 1 Aufgabe 1. Multiple Choice (4 Punkte). Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an. a) Welche der folgenden Aussagen über Folgen sind sinnvoll und
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung
Mathematik I Herbstsemester 2018 Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 55 4. Anwendungen der Differentialrechnung Monotonie Krümmung Linearisierung einer Funktion Extremwerte
MehrDierentialrechnung mit einer Veränderlichen
Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben
MehrAnalysis. Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente. Gymnasium Klasse 10
Analysis Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente Gymnasium Klasse 1 Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner Alexander Schwarz März 18 1
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=
MehrR. Brinkmann Seite
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 1.08.016 Kurvendiskussion Vorbetrachtungen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, ist es erforderlich einiges über markante Punkte
Mehr13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben
MehrFolgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit
Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen
MehrFH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz.
FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Funktionen Einige elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Eine Funktion f
MehrAnalysis 5.
Analysis 5 www.schulmathe.npage.de Aufgaben Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = 2 e 2 x 2 (x D f ) a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion
MehrAufgabe 1 : a) Die gegebene Funktion ist eine Polynomfunktion mit grösstmöglichem Definitionsbereich D = R. Wir berechnen die erste Ableitung:
MAE Mathematik: Analysis für Ingenieure Herbstsemester 07 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lösung 3 Aufgabe : a) Die gegebene Funktion ist eine Polynomfunktion mit grösstmöglichem Definitionsbereich
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
Mehrg(x) := (x 2 + 2x + 4) sin(x) für z 1 := 1 + 3i und z 2 := 1 + i. Geben Sie das Ergebnis jeweils
. Aufgabe Punkte a Berechnen Sie den Grenzwert n + n + 3n. b Leiten Sie die folgenden Funktionen ab. Dabei ist a R eine Konstante. fx : lnx e a, gx : x + x + 4 sinx c Berechnen Sie z z und z z in der Form
MehrAbitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 212 Mathematik Infinitesimalrechnung I Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion
MehrHTWD, FB Informatik/Mathematik. Mathematik für Bauingenieure. Wiederholungsaufgaben: Mathematik I
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik I Wiederholung Mathematik für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben: Mathematik I Aufgabe : Für die Aussagenverbindung T = (A B) ( A) gebe man
MehrAufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt
Aufgaben für Analysis in der Oberstufe Robert Rothhardt 14. Juni 2011 2 Inhaltsverzeichnis 1 Modellierungsaufgaben 5 1.1 Musterabitur S60................................ 5 1.2 Musterabitur 3.1.4 B / S61..........................
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................
MehrLMU MÜNCHEN. Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2016/17. GRUNDLAGENTUTORIUM 5 - Lösungen. Anmerkung
LMU MÜNCHEN Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2016/17 GRUNDLAGENTUTORIUM 5 - Lösungen Anmerkung Es handelt sich hierbei um eine Musterlösung so wie es von Ihnen in einer Klausur erwartet
MehrIm Falle einer zweimal differenzierbaren Funktion lässt sich das Krümmungsverhalten anhand der zweiten Ableitung feststellen.
Konvex, Konkav, Wendepunkt: Sei f : D R eine Funktion und sei I D ein Intervall. Gilt für alle x 1,x 2 I f ( x1 +x ) 2 2 f(x 1)+f(x 2 ), 2 dann heißt f konvex (linksgekrümmt) in I. Gilt für alle x 1,x
Mehrg(x) = lim 6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert Beispiel: Seif(x) = x 2 undg(x) = x.
6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert falls x x 0 g(x), beide Funktionen gegen Null konvergieren, d.h. x x 0 = x x 0 g(x) = 0 beide Funktionen gegen Unendlich
MehrStandards Differentialrechnung (Vorschlag erarbeitet von Melanie Schönauer im Rahmen einer FBA/ 0809; Betreuung der FBA durch Dr.
Standards Differentialrechnung (Vorschlag erarbeitet von Melanie Schönauer im Rahmen einer FBA/ 0809; Betreuung der FBA durch Dr. Walter Mayer) 1. Der Punkt P(1/y) liegt auf dem Graphen der Funktion f(x)
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 2015/16 Universität Leipzig. Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien 1-10
Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 05/6 Universität Leipzig Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien -0 Inhaltsverzeichnis Serie Serie 5 3 Serie 8 4 Serie 9 5 Serie 3 6 Serie 6 7
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
MehrNEXTLEVEL im WiSe 2011/12
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani NEXTLEVEL im WiSe 2011/12 Vorlesung 5, Teil 2 Linearisierung, einige Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Die ins Netz gestellten Kopien
Mehr7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen In diesem Kapitel sei stets D R, und I R ein Intervall. 7. Das unbestimmte Integral (Stammfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbare
MehrAnalysis I. Teil 1. Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik Bayern Abitur Mathematik: Musterlösung. D f =] 3; + [ x = 1
Abitur Mathematik: Bayern 2012 Teil 1 Aufgabe 1 a) DEFINITIONSMENGE f(x) = ln(x + 3) x + 3 > 0 x > 3 D f =] 3; + [ ABLEITUNG Kettenregel liefert f (x) = 1 x + 3 1 = 1 x + 3 b) DEFINITIONSMENGE 3 g(x) =
MehrFormelsammlung Analysis
Formelsammlung Analysis http://www.fersch.de Klemens Fersch. August 0 Inhaltsverzeichnis Analysis. Grenzwert - Stetigkeit.............................................. Grenzwert von f(x) für x gegen x0...................................
MehrLösung Semesterendprüfung
MAE Mathematik: Analysis für Ingenieure Herbstsemester 07 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Aufgabe : Aufgabe : Lösung Semesterendprüfung a) Wir verwenden die Def. 4 der Vorlesung für die Implikation,
MehrMathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Übungsaufgaben Serie 5: Folgen Funktionen Dierentialrechnung Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 206/207 Bestimmen Sie die Grenzwerte der nachstehenden
Mehr8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren
09.2.202 8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren Beispiel: + 2 e Diese Gleichung kann nicht nach aufgelöst werden, da die beiden nicht zusammengefasst werden können. e - - 2 0 Die gesuchten
Mehr2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!
Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist
MehrMusterlösung zur Klausur Analysis I für Lehramt Gymnasium Wintersemester 2017/18, am
Musterlösung zur Klausur Analysis I für Lehramt Gymnasium Wintersemester 07/8, am 9.3.08 Aufgabe : Zeigen Sie, dass für alle n N gilt: n n+ n ( ) (8 Punte) Beweis mittels vollständiger Indution n : ( )
Mehr1. Aufgabe 8 Punkte. f (x) = (x 2 + 1) e x2. Es gilt. f (x) = 2xe x2 + ( x ) e x2 ( 2x) = 2x 3 e x2.
1. Aufgabe 8 Punkte Geben Sie die Bereiche, auf denen die Funktion f : R R mit f (x) = (x + 1) e x monoton wachsend oder fallend ist, an, und untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Extrema.
Mehr4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion.
4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion. Definition 4.3. Es sei f : R D R eine auf D erklarte Funktion. Die Funktion f hat in a D eine globales oder
Mehr9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sven Herrmann Dipl.-Math. Susanne Pape 9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Wintersemester 2009/2010 8./9. Dezember 2009 Gruppenübung
MehrVorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker
Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Übungsblatt Musterlösung Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Wintersemester 06/7 Aufgabe (Definitionsbereiche) Bestimme
MehrVorlesung Analysis I WS 07/08
Vorlesung Analysis I WS 07/08 Erich Ossa Vorläufige Version 07/12/04 Ausdruck 8. Januar 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Elementare Logik.................................. 1 1.1.A Aussagenlogik................................
MehrNumerische Ableitung
Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:
MehrMathematik n 1
Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 0 Mathematik + Übung 6 Besprechung der Aufgaben ) - ) des Übungsblatts am jeweils ersten Übungstermin zwischen Montag, 7..0 und Donnerstag,
MehrKapitel 5: Differentialrechnung
Kapitel 5: Differentialrechnung Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 1 / 23 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen
MehrD-BAUG Analysis I HS 2015 Dr. Meike Akveld. Clicker Fragen
D-BAUG Analysis I HS 05 Dr. Meike Akveld Clicker Fragen Frage Der Satz: Dieser Satz ist falsch ist wahr ist richtig weiss ich nicht Es handelt hier um eine sogenannte Paradoxie. Die Paradoxie dieses Satzes
Mehrf(f 1 (w)) = w f 1 (f(z)) = z Abbildung 21: Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion
Mathematik für Naturwissenschaftler I 2.8 2.8 Umkehrfunktionen 2.8. Definition Sei f eine Funktion. Eine Funktion f heißt Umkehrfunktion, wenn f (w) = z für w = f(z). f darf nicht mit f(z) = (f(z)) verwechselt
MehrKapitel 7. Differentialrechnung. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f x = f (x 0 + x) f (x 0 ) x = f (x)
MehrMathematik IT 3 (Analysis) Probeklausur
Mathematik IT (Analysis) Probeklausur Datum: 08..0, Zeit: :5 5:5 Name: Matrikelnummer: Vorname: Geburtsdatum: Studiengang: Aufgabe Nr. 5 Σ Punkte Soll 5 9 7 Punkte Ist Lösungen ohne begründeten Lösungsweg
MehrVorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2018/2019 Übung 7
Prof. Dr. J. Pannek Dynamics in Logistics Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 018/019 Übung 7 Aufgabe 1 : Etremwerte Der Ellipse + y = 1 ist ein Rechteck mit Seitenlängen p, q, dessen Seiten parallel
MehrVorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2015/2016 Übung 6
Prof. Dr. J. Pannek Dynamics in Logistics Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 015/016 Übung 6 Aufgabe 1 : Differentialrechnung (a Berechnen Sie die Ableitung nachstehender Funktionen an der Stelle 0 und
Mehr6 Di erentialrechnung, die Exponentialfunktion
6 Di erentialrechnung, die Exonentialfunktion 6. Exonentialfunktion Wir führen die Exonentialfunktion ein, die eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften ist: ex(x + y) =ex(x)ex(y) (8) ex(0) =,
MehrLösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 3 MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Es sei die Funktion f : [0, ) [0, ) definiert durch f(x) = ln(x + 1), wobei der Logarithmus ln zur Basis
Mehr1 Höhere Ableitungen 2. 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3. 3 Konvexe und konkave Funktionen 5. 4 Lokale und globale Extremalstellen 7
Universität Basel 4 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematik 1 Dr. Thomas Zehrt Kurvendiskussionen Inhaltsverzeichnis 1 Höhere Ableitungen 2 2 Mittelwertsatz und
MehrPrüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 1
Studiengang: Matrikelnummer: 3 4 5 6 Z Bonus Punkte Note Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure.. 7, 3. - 6. Uhr Zugelassene Hilfsmittel: A4-Blätter eigene, handschriftliche Ausarbeitungen
Mehr