x e x sin(x) lim oder lim bestimmen lassen.

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1 Es folgt nun noch ein Nachtrag zum Thema Grenzwerte von Funktionen. Wir hatten in Abschnitt 2.6 Beispiele von Funktionen gesehen, bei denen die üblichen Grenzwertregeln nicht weiterhelfen, etwa bei Quotienten von Funktionen, wo Zähler und Nenner für x x 0 beide gegen Null (oder beide gegen unendlich) konvergieren. Mithilfe der Differentiation ist es nun möglich, weitere Grenzwertregeln aufzustellen, mit denen sich etwa bestimmen lassen. sin(x) x 0 x x 3 oder e x 262

2 Regeln von de L Hospital: Seien D = (a,b)\{x 0 } mit a < x 0 < b und f, g : D R differenzierbare Funktion, sowie g (x) 0 auf D. Außerdem gelte oder Dann gilt f(x) = g(x) = 0 (5.2) x x 0 x x0 x x 0 f(x) = ±, x x0 g(x) = ±. (5.3) f (x) x x 0 g (x) = α R f(x) x x 0 g(x) = α. (5.4) f(x) Die gleichen Aussagen gelten auch für Grenzwerte der Form xցx0 g(x), f(x) xրx0 g(x) und x ± f(x) g(x). Man beachte, dass die Implikation (5.4) auch beinhaltet, dass im Falle der Konvergenz von der Grenzwert überhaupt existiert. f (x) f(x) x x0 g (x) x x 0 g(x) Es ist ganz wichtig, dass die Voraussetzungen(5.2) oder(5.3) erfüllt sind. Andernfalls liefert die Implikation (5.4) ein falsches Ergebnis. Das wird in Beispiel illustriert. Wenn (5.2) und (5.3) beide nicht gelten, lässt sich der Grenzwert so- 263

3 wieso direkt bestimmen. Beispiel Seien f(x) = sin(x), g(x) = x und x 0 = 0. Dann ist (5.2) erfüllt und wegen f (x) x 0 g (x) = cosx x 0 sin(x) f(x) ist mit (5.4): = x 0 x x 0 g(x) =. Seien f(x) = x3 und g(x) = e x. Dann ist (5.3) für x erfüllt und iterative Anwendung der Regel von de L Hospital liefert: 2. = x 3 e = f(x) x g(x) = f (x) = f (x) g (x) = = f (3) (x) g (3) (x) = 264 g (x) = 6x e x 6 e x = 0. 3x 2 e x

4 3. Seien f(x) = ex +2 und g(x) = e 2x 2. Dann ist (5.3) für x erfüllt und daher e x +2 e 2x 2 = e x = 2e2x 2e = 0. x 4. 0 Seien f(x) = ln(x), g(x) = x und x 0 = 0. Es soll ln(x)x bestimmt werden. Dies ist zwar kein Quotient, aber durch Umformen erhält man ln(x) ln(x) x = = 5. Seien f(x) = + a x = x x x 2 = ( x) = 0. und g(x) = x. Dann ist ( + x) a x = f(x) g(x) = e ln(f(x)) g(x) = e ln(+a x ) x. 265

5 Nun ist der Exponent für x vom Typ 0 und daher ist wie in 3. (+ ln a ) ( ) ln + a x x = = x Also ist (+ a ) x = e a. x a x 2 + a x x 2 x = 6. 0 Seien f(x) = x+ und g(x) = 2 ln(x). Dann gilt a + a x = a. (x+) ln(x) 2 = f(x) g(x) = e ln(f(x)) g(x) = e ln(x+) 2 ln(x). Der Exponent ist für x vom Typ. Somit ist 2ln(x+) ln(x) = 2 x+ x Also ist (x+) ln(x) 2 = e 2. = x x+ = 2.

6 Für f(x) = x 3 x und g(x) = ln(x) gilt ( ) x3 x ln(x) = f(x) g(x) = e ln(f(x)) g(x) = e ln( x3 x ) 2 ln(x)+xln(3) ln(x) = e ln(x). Der Exponent ist für x ց 0 vom Typ, also 2 ln(x)+xln(3) ln(x) = = 2x +ln(3) ( x ) 2 +xln(3) = 2. ( Damit ist ) x3 x ln(x) = e. 8. Abschließend noch ein Beispiel, das die Notwendigkeit der Voraussetzung(5.2) oder (5.3) zeigt. Betrachte f(x) = e 2x 2 und g(x) = e x +2. Es soll f(x) x g(x) (5.5) 267

7 bestimmt werden. Allein die Regel (5.4) würde wegen f (x) x g (x) = 2e 2x = x e x x 2ex = 0 dengrenzwert0für(5.5)liefern.dasistaberfalsch,dennwegen 0 ist x g(x) = 2, folglich erhalten wir den korrekten Grenzwert f(x) = 2 und x x x ex = f(x) g(x) =. Offensichtlich sind weder (5.2) noch (5.3) erfüllt, deshalb darf man (5.4) nicht anwenden. 5.2 Kurvendiskussion Viele ökonomischen Zusammenhänge werden durch Funktionen beschrieben. Daher ist es wichtig, das Verhalten der Funktionen bestimmen zu können. Hierzu gehören. Definitionsbereich, 2. Nullstellen, 268

8 3. Monotonieverhalten und (lokale) Extremwerte, 4. Krümmungsverhalten und Wendepunkte, 5. Asymptotisches Verhalten, d. h. das Aussehen des Graphen an den Rändern des Definitionsbereichs, 6. Verhalten von f an Sprungstellen, Polstellen und Definitionslücken Dabei ist die Differenzialrechnung ein nützliches Hilfsmittel. An dem folgenden Beispiel (wir nennen es Beispiel A) werden alle Begriffe illustriert. Beispiel A: g(x) = 2x 2 x 2 2x+2 269

9 x Der maximale Definitionsbereich einer gegebenen Funktion und seine Bestimmung wurde bereits in Abschnitt 2.2 behandelt. Beispiel A: Da das Nennerpolynom keine Nullstellen hat, ist D(g) = R. 2. Die Bestimmung der Nullstellen, also der Schnittpunkte des Graphen mit der x-achse, kann ein schwieriges Problem sein. Für Polynome (und folglich 270

10 auch rationale Funtionen) wurde dies in Abschnitt 2.4 diskutiert. Beispiel A: Das Zählerpolynom und damit die Funktion g hat die einzige Nullstelle x 0 =. Im allgemeinen lassen sich graphisch Näherungswerte für die Nullstellen finden. Ein Verfahren zur approximativen Bestimmung der Nullstellen einer gegebenen Funktion ist das Newtonverfahren: Sei f : D R eine differenzierbare Funktion. Wähle einen Wert x D und setze für alle n N x n+ = x n f(x n) (Newtoniteration) f (x n ) Dann gilt: WenndieNewtonfolge(x n ) n N konvergiert,dannistdergrenzwerteinenullstelle von f. Die dieser Methode zugrunde liegende Idee ist wie folgt: Ist x n ein Schätzwert für eine Nullstelle, dann wird in (x n,f(x n )) die Tangente an den Graphen von f 27

11 gelegt. Sie hat die Gleichung y = f (x n )(x x n )+f(x n ). Ihre Nullstelle ist gerade obiger Wert x n+, der dann als neue Schätzung benutzt wird. Die Frage, in welchen Situationen die Newtoniteration (x n ) n N konvergiert, bleibt hier unbehandelt. Beispiel 5.9 Sei f(x) = x 2 a mit a R +. Dann ist die Newtoniteration x n+ = x n x2 n a = ) (x n + axn 2x n 2 Man kann zeigen, dass die Folge gegen a konvergiert, wenn wir mit x > 0 beginnen. Genau so rechnet übrigens ein Computer die Wurzel aus a aus! 3. Monotonieverhalten und lokale Extremwerte Monotonie einer Funktion auf einem Intervall ist bereits in Abschnitt 2.2 definiert worden. Im Falle einer differenzierbaren Funktion lässt sich Monotonie mithilfe der ersten Ableitung klären. 272

12 Monotonieverhalten Sei f : D R eine differenzierbare Funktion, I D ein Intervall. Dann gilt: f ist konstant in I genau dann, wenn f = 0 auf I. f ist monoton wachsend in I genau dann, wenn f (x) 0 für alle x I. f ist monoton fallend in I genau dann, wenn f (x) 0 für alle x I. f ist streng monoton wachsend in I, wenn f (x) > 0 für alle x I. f ist streng monoton fallend in I, wenn f (x) < 0 für alle x I. Beispiel A: Die Ableitung von g ist g (x) = 2(x2 2x+2) (2x 2)(2x 2) (x 2 2x+2) 2 = 2x(2 x) (x 2 2x+2) 2 273

13 Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2 Also ist g auf (0,2) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (2, ) strengmonotonfallend.außerdemistg (0) = 0 = g (2)unddiessinddieeinzigen Nullstellen von g (x). An dieser Stelle ist Vorsicht geboten, denn es gibt Funktionen, die auf einem Intervall streng monoton wachsend sind, obwohl die Ableitung dort nicht überall positiv ist. Beispiel 5.0 Die Funktion f(x) = x 3 ist streng monoton wachsend auf R, aber die Ableitung f (x) = 3x 2 ist nicht überall positiv. Wenn eine Funktion von wachsend in fallend übergeht, so liegt dort ein lokales Maximum vor. 274