Funktionenreihen. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

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1 Fuktioereihe Erst durch Newto wurde die Theorie uedlicher Reihe zu eiem eigestädige Forschugsgebiet i der Mathematik, das da i Britaie besodere Beachtug ud weitere Etwicklug durch Brook Taylor ud Coli Maclauri fad. Has Wußig, 6000 Jahre Mathematik 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

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3 Fuktioereihe Die wichtigste, i de Aweduge auftretede Fuktioe lasse sich als Potezreihe der Form = 0 x x 0 de sog. Taylorreihe darstelle. Diese Etwicklug liefert eie Möglichkeit, um Fuktioe wie z.b. e x, si x, cos x, x, l x explizit zu bereche, idem ur die Grudrecheoperatioe (+,,, /) agewedet werde. Dies wird oft agewadt, um für gegebee oder komplizierte Fuktioe Näherugsformel zu erhalte. 1-1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

4 Fuktioswerte mit eiem Tascherecher Ei Tascherecher bietet ebe de Grudrechearte auch weitere Fuktioe a, z.b. die Berechug des Kosius oder des Sius. Die Bestimmug solcher Fuktioswerte wird icht exakt, soder durch Näheruge auf geüged viele Dezimalstelle durchgeführt. 1-2 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

5 Fuktioereihe Defiitio: Fuktioereihe wird eie Reihe geat, dere Glieder Fuktioe eier uabhägige Variable x sid: f x = f 1 x f 2 x... f x... Partialsumme heißt die Summe der erste Glieder dieser Reihe: S x = k =1 f k x = f 1 x f 2 x... f x 2-1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

6 Fuktioereihe Die wichtigste Fuktioereihe sid die Potezreihe der Gestalt P ( x) = =0 P ( x) = =0 x = a 0 + a 1 x + a 2 x x +... ( x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) ( x x 0 ) +... wobei die Koeffiziete ud die Etwicklugsstelle x 0 kostate Zahle sid. Beispiele: P ( x) = = 0 x = =0 x = 1 + x + x x +..., = 1 P ( x) = = 0 x = =0 x! = 1 + x 1! + x 2 2! x! +..., = 1! 2-2 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

7 Kovergezverhalte eier Potezreihe Bei eier Potezreihe P x = =0 x hägt der Wert eies jede Gliedes ud damit der Summewert vom Wert der uabhägige Variable x ab. Im Folgede utersuche wir das Kovergezverhalte eier Potezreihe. Defiitio: Die Mege aller x-werte, für die eie Potezreihe kovergiert, heißt Kovergezbereich der Potezreihe. 3-1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

8 Kovergezverhalte eier Potezreihe 3-2 Abb. 1: Kovergezbereich eier Potezreihe Für x = 0 kovergiert jede Potezreihe x ud besitzt dort de Summewert P 0 = a 0. Es gibt Potezreihe, die ur für x = 0 kovergiere ud solche, die für alle x kovergiere. = 0 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

9 Kovergezverhalte eier Potezreihe Zu jeder Potezreihe = 0 x, die icht überall kovergiert, gibt es eie positive Zahl r, Kovergezradius geat, mit de folgede Eigeschafte: 1. Die Potezreihe kovergiert überall im Iterval x < r. 2. Die Potezreihe divergiert für x > r. 3. Ma setzt r = 0, falls eie Potezreihe ur a der Stelle x = 0 kovergiert. 4. Über das Kovergezverhalte der Potezreihe i de Radpukte - r ud r lasse sich keie allgemeigültige Aussage mache. Der Kovergezradius ka mittels r 1 berechet werde. 3-3 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

10 Kovergezverhalte eier Potezreihe Wir bestimme de Kovergezradius r eier Potezreihe x. Nach dem Quotietekriterium vo d'alembert kovergiert die Reihe, we sie die Bedigug = 0 = 0 b erfüllt. lim b = x, b 1 b 1 b 1 = 1 x 1 lim b +1 b +1 x x x = x < lim a + 1 x = x lim < 1 = r (alle 0) 3-4 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

11 Kovergezradius: Aufgabe r +1 4-A1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

12 Kovergezradius eier Potezreihe: Aufgabe 1-5 Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede Potezreihe Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: P ( x) = =0 P ( x) = =1 P ( x) = =0 P ( x) = =1 P ( x) = =1 ( x! 1 (x + 2) x 3 x ) 2 1 x 4-A2 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

13 Kovergezradius eier Potezreihe: Lösug 1 P x = =0 x = =0 x! = 1 x 1! x2 2!... x! x 1 1!... r = lim +1 = 1!, +1 = 1 (+1)! r +1 (+1)!!!(+1)! (+1) = Die Reihe kovergiert überall. 4-1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

14 Kovergezradius eier Potezreihe: Lösug 2 P x = 1 x 2 = 1 x x x lim b 1 b 1 b 1 = 1 1 x 2 1, b = 1 x 2 lim b 1 b x 2 1 x 2 1 = lim 1 x 2 = 1 x 2 = 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 3 x 2 1 x 1 4-2a Ma 2 Lubov Vassilevskaya

15 Kovergezradius eier Potezreihe: Lösug 2 Abb. L2: Illustratio des Kovergezradius 4-2b Ma 2 Lubov Vassilevskaya

16 Kovergezradius eier Potezreihe: Lösug 2 Wir utersuche das Kovergezverhalte der Potezreihe i de Radpukte x = 3 ud x = 1 x = 3 : P x = 1 x 2 1 Diese alterierede harmoische Reihe kovergiert. Der Radpukt x = 3 gehört zum Kovergezbereich der Reihe. x = 1 : P x = 1 x 2 1 Wir habe scho gezeigt, dass die harmoische Reihe divergiert. Der Radpukt x = 1 gehört icht zum Kovergezbereich. Der Kovergezbereich der Reihe ist x (, 3 ] 1, 4-2c Ma 2 Lubov Vassilevskaya

17 Kovergezradius eier Potezreihe: Lösug 3 P x = =0 r x 3 = 1 x 3 x x , = 1 3 = 3 Wir utersuche das Kovergezverhalte der Potezreihe i de Radpukte x = 3 ud x = 3. x = 3 : P x = =0 x P x = 3 =0 3 3 = =0 1 Die Reihe divergiert im Pukt x = 3. x = 3 : P x = =0 x P x = 3 =0 3 3 = =0 1 Die Reihe divergiert im Pukt x = 3. Der Kovergezbereich der Reihe ist x 3, Ma 2 Lubov Vassilevskaya

18 Kovergezradius eier Potezreihe: Lösug 4 P x = r x 2 = x 2 x x , = = 2 Wir utersuche das Kovergezverhalte der Potezreihe i de Radpukte x = - 2 ud x = 2 : x = 2 : P x = x 2 P x = 2 2 = 1 Die harmoische Reihe divergiert. x = 2 : P x = x 2 P x = 2 2 = 1 Diese alterierede harmoische Potezreihe kovergiert. Die Reihe kovergiert im Itervall x [ 2, 2 ). 4-4 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

19 Kovergezradius eier Potezreihe: Lösug 5 P x = x = x x x 3... r = = = 4 Ma ka zeige, dass die Radpukte x = 4 ud x = 4 icht zum Kovergezbereich gehöre. Die Potezreihe kovergiert im Itervall x 4, Ma 2 Lubov Vassilevskaya

20 4-5 Ma 2 Lubov Vassilevskaya