Didaktik der Zahlbereiche 4. Die Menge der ganzen Zahlen. Mathematikunterricht in der Jahrgangsstufe 7. Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule

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1 Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule Didaktik der Zahlbereiche 4 Dr. Christian Groß Lehrstuhl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Wintersemester 2006/07 Natürliche Zahlen, : Klasse 5 positive Brüche, + 0: Klassen 5 und 6 negative ganze Zahlen, : Klasse 7 negative Brüche, : Klasse 8 reelle Zahlen (Quadratwurzel): Klasse 9 reelle Zahlen (log, sin, cos): Klasse M10 Dass Wurzeln, sowie die Werte von log, sin und cos meist keine rationalen Zahlen sind, wird in der Hauptschule normalerweise nicht thematisiert. 2 Literatur K. Reiss, G. Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie, Springer-Verlag (2005) Die Menge der ganzen Zahlen Mathematikunterricht in der Jahrgangsstufe 7 3

2 Die Zahlbereichserweiterung von auf Ganze Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, in der eine uneingeschränkte Durchführbarkeit der Subtraktion möglich ist. In ist jede Gleichung der Form a = b + x lösbar. 5 Die Zahlbereichserweiterung von auf Mit der Einführung der negativen ganzen Zahlen erweitert man den Bereich der natürlichen Zahlen bzw. 0 zum Bereich der ganzen Zahlen. Diese Zahlbereichserweiterung bringt neue Begriffe: negative und positive (ganze) Zahlen, Vorzeichen und Betrag einer Zahl, Erweiterung der Regeln für die Verknüpfungen. Um bei den Schülerinnen und Schülern ein sicheres Verständnis für die ganzen Zahlen zu schaffen, muss eine tragfähige Grundvorstellung aufgebaut werden. 6 Konzepte zur Einführung von ganzen Zahlen Skalenwert-Modelle für die ganzen Zahlen Es gibt verschiedene Konzepte zur Einführung von ganzen Zahlen, nämlich die Betrachtung einer ganzen Zahl als Skalenwert (Skalenwertkonzept), [Größe (Größenkonzept),] Lösung einer linearen Gleichung (Gleichungskonzept), Äquivalenzklasse (Äquivalenzklassenkonzept). Für die Schule sind vor allem das Skalenwertkonzept und das Größenkonzept von Bedeutung. 7 Wieder bieten sich Modelle an, die auf die Vorerfahrung der Schüler zurückgreifen. Dies sind: die Temperaturskala, Guthaben und Schulden, z. B. bei einem Bankkonto, Höhen- und Tiefenangaben auf der Landkarte. In den meisten Schulbüchern wird auf die Temperaturskala zurückgegriffen, da diese den Schülerinnen und Schülern am vertrautesten ist. Im Zuge der Anordnung der ganzen Zahlen bzw. der Addition und Subtraktion bietet es sich außerdem an, auf das Modell von Guthaben und Schulden zurückzugreifen. 8

3 Temperaturskala Anhand von Temperaturangaben können die negativen Zahlen leicht entdeckt werden: 5 C über Null entsprechen + 5 C und 5 C unter Null entsprechen - 5 C. Es gibt demnach Zahlen, die kleiner als Null sind und die durch den Alltagsbezug für die Schülerinnen und Schüler leicht einsichtig sind. 9 Gleichungskonzept Nach dem Gleichungskonzept werden ganze Zahlen als Lösungen von linearen Gleichungen aufgefasst, z.b. als Lösung der Gleichung 3 = 4 + x. Alle Gleichungen a = b + x sind in der Menge der ganzen Zahlen lösbar, vgl. Folie 6. Das Gleichungskonzept bietet Vorteile bei der Einführung der Addition und Subtraktion, nicht aber bei der Multiplikation sowie der Anordnung von ganzen Zahlen. 10 Äquivalenzklassenkonzept Äquivalenzklassenkonzept Das Äquivalenzklassenkonzept ist wieder das mathematische Konzept für eine systematische Einführung von ganzen Zahlen im Rahmen der Zahlbereichserweiterungen von über + 0, und bis hin zu und. Die ganzen Zahlen werden wieder allein mit Hilfe bekannter Konzepte, nämlich Mengen und Äquivalenzrelationen sowie der Addition auf, eingeführt. Man braucht also kein zusätzliches neues Wir betrachten Paare (a,b) natürlicher Zahlen (einschließlich 0). Auf der Menge dieser Paare, das ist das kartesische Produkt 0 0, wird die folgende Relation ~ definiert: (a,b) ~ (c,d) : a + d = b + c. Man könnte oben auch nehmen, um auf zu erweitern. Beachten Sie die Ähnlichkeit zum Äquivalenzklassenkonzept für Bruchzahlen: statt steht hier nun +. Das Paar (a,b) soll dabei die ganze Zahl a b darstellen (bzw. die Gleichung a=b+x Gleichungskonzept!). Symbol, wie etwa ein (negatives) Vorzeichen Daher gilt (a,b) ~ (c,d) genau dann, wenn a b = c d gilt.

4 Die Relation ~ ist eine Äquivalenzrelation Die Relation ~ ist eine Äquivalenzrelation Die Relation ~ ist reflexiv: Für alle Paare (a,b) gilt: (a,b) ~ (a,b), denn a + b= b + a. Die Relation ~ ist symmetrisch: Für alle Paare (a,b) und (c,d) gilt: (a,b) ~ (c,d) (c,d) ~ (a,b), denn aus a + d = b + c folgt c + b = d + a. 13 Die Relation ~ ist transitiv: Für alle Paare (a,b), (c,d) und (e,f) gilt: (a,b) ~ (c,d) (c,d) ~ (e,f) (a,b) ~ (e,f), denn aus a + d = b + c und c + f = d + e folgt: a + d + f = b + c + f = b + d + e und hieraus: a + f = b + e. 14 Äquivalenzklassenkonzept Zahlbereichserweiterung Die Relation ~ ist also eine Äquivalenzrelation. Durch diese Äquivalenzrelation wird die Menge 0 0 in Äquivalenzklassen unterteilt. Diese Äquivalenzklassen [(a,b)] ~ sind die ganzen Zahlen, z.b.: [(0,1)] ~ = { (a,b) 0 0 b = 1 + a} = {(0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,5),... }, [(0,3)] ~ = { (a,b) 0 0 b = 3 + a} = { (0,3), (1,4), (2,5), (3,6),... }. 15 Wieso stellt die Menge all dieser Äquivalenzklassen eine Erweiterung des bisherigen Zahlbereichs 0 dar? Weil sich 0 in die Menge dieser Äquivalenzklassen einbetten lässt: - 0 [(0,0)] ~, - 1 [(1,0)] ~, - 2 [(2,0)] ~, - allgemein: n [(n,0)] ~. Wieder definiert man nun die Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation für Äquivalenzklassen so, dass sie auf den Äquivalenzklassen [(n,0)] ~ mit den alten Rechenoperationen auf 0 übereinstimmen. 16

5 Darstellung der Äquivalenzklassen -7 (0,7) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (7,7) (0,6) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (7,6) -6 (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (7,5) -5 (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (7,4) -4 (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) -3 (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) -2 (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) -1 (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0) Gleich gefärbte Paare sind äquivalent. Am Rand sind die ganzen Zahlen angegeben, die jeweils repräsentiert werden. 17 Addition von ganzen Zahlen Wir definieren die Addition von ganzen Zahlen (also von Äquivalenzklassen [(a,b)] ~ und [(c,d)] ~ ) folgendermaßen: [(a,b)] ~ + [(c,d)] ~ := [(a+c,b+d)] ~. Übung: überprüfen Sie: Ist die rechte Seite in 0 0? Ist die Definition unabhängig von den Repräsentanten? Stimmt sie auf 0 mit der alten Addition überein? Gelten die Gesetze der Addition weiterhin? 18 Addition von ganzen Zahlen Wir definieren die Addition von ganzen Zahlen (also von Äquivalenzklassen [(a,b)] ~ und [(c,d)] ~ ) folgendermaßen: [(a,b)] ~ + [(c,d)] ~ := [(a+c,b+d)] ~. Es sind zu überprüfen: Ist die rechte Seite in 0 0? Ist die Definition unabhängig von den Repräsentanten? Stimmt sie auf 0 mit der alten Addition überein? Addition von ganzen Zahlen Ist(a+c,b+d) 0 0? Ja, klar. Ist die Definition unabhängig von den Repräsentanten? Ja, sei z. B. [(a,b)] ~ = [(a 1,b 1 )] ~. Es gilt also (a,b) ~ (a 1,b 1 ), d. h. a + b 1 = b + a 1. Dann folgt [(a 1,b 1 )] ~ + [(c,d)] ~ = [(a 1 +c,b 1 +d)] ~. und wir müssen zeigen: (a 1 +c,b 1 +d) ~ (a+c,b+d), also: a 1 + c + b + d = a + c + b 1 + d. Das ist aber gleichwertig zu a + b 1 = b + a 1. Addition auf 0 : [(m,0)] ~ + [(n,0)] ~ = [(m+n,0)] ~. Gelten die Gesetze der Addition weiterhin? 19 20

6 Addition von ganzen Zahlen Das Kommutativgesetz der Addition gilt weiterhin, denn [(a,b)] ~ +[(c,d)] ~ = [(a+c,b+d)] ~ = [(c+a,d+b)] ~ = [(c,d)] ~ +[(a,b)] ~. Das Assoziativgesetz der Addition gilt weiterhin, denn ([(a,b)] ~ + [(c,d)] ~ ) + [(e,f)] ~ = [(a+c,b+d)] ~ + [(e,f)] ~ = [(a+c+e,b+d+f)] ~, was das Gleiche ist wie [(a,b)] ~ + ([(c,d)] ~ + [(e,f)] ~ ) = [(a,b)] ~ + [(c+e,d+f)] ~ = [(a+c+e,b+d+f)] ~. Die Äquivalenzklasse [(0,0)] ~ ist neutrales Element: [(a,b)] ~ + [(0,0)] ~ = [(a + 0, b + 0)] ~ = [(a,b)] ~, [(0,0)] ~ + [(a,b)] ~ = [(0 + a, 0 + b)] ~ = [(a,b)] ~. 21 Subtraktion von ganzen Zahlen Wir definieren die Subtraktion von ganzen Zahlen, also von (beliebigen!) Äquivalenzklassen [(a,b)] ~ und [(c,d)] ~, folgendermaßen: [(a,b)] ~ [(c,d)] ~ := [(a + d, b + c)] ~. Es sind zu überprüfen: Ist die rechte Seite in 0 0? Ist die Definition unabhängig von den Repräsentanten? Ist dies die Umkehroperation zur Addition? Stimmt sie auf 0 mit der alten Subtraktion überein? 22 Gelten die Gesetze der Subtraktion weiterhin? Subtraktion von ganzen Zahlen Ist (a+d,b+c) 0 0? Ja, klar. Ist die Definition unabhängig von den Repräsentanten? Ja, sei z. B. [(a,b)] ~ = [(a 1,b 1 )] ~. Es gilt also (a,b) ~ (a 1,b 1 ), d. h. a + b 1 = b + a 1. Dann folgt [(a 1,b 1 )] ~ [(c,d)] ~ = [(a 1 +d,b 1 +c)] ~ und wir müssen zeigen: (a 1 +d,b 1 +c) ~ (a+d,b+c), also: a 1 + d + b + c= a + d + b 1 + c. Das ist aber gleichwertig zu a + b 1 = b + a 1. Subtraktion auf 0 : Sei m n. Dann gilt: Subtraktion von ganzen Zahlen Die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition: ([(a,b)] ~ [(c,d)] ~ ) + [(c,d)] ~ = [(a+d,b+c)] ~ + [(c,d)] ~ = [(a+d+c,b+c+d)] ~ = [(a,b)] ~, denn es gilt (a+d+c,b+c+d) ~ (a,b). Analog zeigt man ([(a,b)] ~ + [(c,d)] ~ ) [(c,d)] ~ = [(a,b)] ~. Die Äquivalenzklasse [(0,0)] ~ ist neutrales Element nicht nur bei der Addition, sondern auch bei der Subtraktion: [(a,b)] ~ [(0,0)] ~ = [(a + 0, b + 0)] ~ = [(a,b)] ~. Darüber hinaus gibt es nun sogar für jedes Element [(a,b)] ~ ein inverses Element, nämlich [(b,a)] ~ : addiert man beide, so erhält man das neutrale Element. Es gilt also: [(a,b)] ~ + [(b,a)] ~ = [(a+b,b+a)] ~ = [(0,0)] ~ = [(b,a)] ~ + [(a,b)] ~. Die Subtraktion ist auf 0 weder kommutativ noch assoziativ und ist es auch auf nicht. Es gilt aber wie in 0 folgendes abgewandelte Assoziativgesetz (x y) z = x (y + z), hier also: [(a,b)] ~ [(c,d)] ~ ) [(e,f)] ~ = [(a+d,b+c)] ~ [(e,f)] ~ = [(a+d+f,b+c+e)] ~ = [(a,b)] ~ [(c+e,d+f)] ~ = [(a,b)] ~ ([(c,d)] ~ + [(e,f)] ~ ). [(m,0)] [(n,0)] =[(m+0,0+n)] =[(m,n)] =[(m n,0)]. ~ ~ ~ ~ ~ 23 24

7 Multiplikation von ganzen Zahlen Wir definieren die Multiplikation von ganzen Zahlen (also von Äquivalenzklassen [(a,b)] ~ und [(c,d)] ~ ) folgendermaßen: [(a,b)] ~ [(c,d)] ~ := [(a c + b d, a d + b c)] ~. Es sind zu überprüfen: Ist die rechte Seite in 0 0? Ist die Definition unabhängig von den Repräsentanten? Stimmt sie auf 0 mit der alten Multiplikation überein? Multiplikation von ganzen Zahlen Ist (a c + b d, a d + b c) 0 0? Ja, klar. Ist die Definition unabhängig von den Repräsentanten? Ja, Übung! Multiplikation auf 0 : [(m,0)] ~ [(n,0)] ~ = [(m n+0 0,m 0+n 0)] ~ = [(m n,0)] ~. Auf die Formel für die Multiplikation kommt man, wenn man daran denkt, dass [(a,b)] ~ und [(c,d)] ~ für die ganzen Zahlen a b bzw. c d stehen. Also steht [(a,b)] ~ [(c,d)] ~ für die Zahl (a b) (c d) = a c + b d a d b c. Die beiden negativen Terme bilden wieder die 2. Komponente des Paars. Gelten die Gesetze der Multiplikation weiterhin? Multiplikation von ganzen Zahlen Das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt weiterhin, denn [(a,b)] ~ [(c,d)] ~ = [(a c + b d, a d + b c)] ~ = [(c,d)] ~ [(a,b)] ~. Das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt ebenfalls (Übung): ([(a,b)] ~ [(c,d)] ~ ) [(e,f)] ~ = [(a,b)] ~ ([(c,d)] ~ [(e,f)] ~ ), Die Äquivalenzklasse [(1,0)] ~ ist neutrales Element: [(a,b)] ~ [(1,0)] ~ = [(a 1 + b 0, a 0 + b 1)] ~ = [(a,b)] ~, [(1,0)] ~ [(a,b)] ~ = [(1 a + 0 b, 0 a + 1 b)] = [(a,b)] ~ ~. Auch die Distributivgesetze gelten (Übung). 27 Division von ganzen Zahlen Beim Dividieren ganzer Zahlen treten die gleichen oder ähnliche Probleme auf wie beim Dividieren natürlicher Zahlen: Die Division ist nicht für beliebige ganze Zahlen möglich. Normalerweise verbleibt ein Rest, aber hier stellt sich nun sogar die Frage, ob dieser Rest positiv oder negativ sein sollte. Daher macht es keinen Sinn, eine Division für Äquivalenzklassen zu definieren. 28

8 Vergleich von ganzen Zahlen Vergleich von ganzen Zahlen Wir definieren die Ordnungsrelation für ganze Zahlen (also von Äquivalenzklassen [(a,b)] ~ und [(c,d)] ~ ) folgendermaßen: [(a,b)] ~ < [(c,d)] ~ : a + d < b + c. Es sind zu überprüfen: Ist die Definition unabhängig von den Repräsentanten? Ist dies eine Ordnungsrelation? Ist die Definition unabhängig von den Repräsentanten? Ja, sei z. B. [(a,b)] ~ = [(a 1,b 1 )] ~. Es gilt also (a,b) ~ (a 1,b 1 ), d. h. a + b 1 = b + a 1. Nun gilt a + d < b + c genau dann, wenn a + d + b 1 < b + c + b 1 gilt, also wenn b + a 1 + d < b + c + b 1 gilt. Und diese Ungleichung gilt genau dann, wenn a 1 + d < c + b 1 gilt. Analog argumentiert man für [(c,d)] ~ = [(c 1,d 1 )] ~. Entspricht sie auf 29 0 der alten Ordnungsrelation? 30 Vergleich von ganzen Zahlen Definiert [(a,b)] ~ < [(c,d)] ~ : a + d < b + c eine (strenge) Ordnungsrelation? Irreflexivität (es gilt nie x < x): Ist erfüllt, denn [(a,b)] ~ < [(a,b)] ~ gilt genau dann, wenn a + b < b + a gilt, also nie. Trichotomie (für alle x und y gilt entweder x < y oder x=y oder x>y): Ist erfüllt, da für alle a 0, b 0, c 0 und d 0 entweder a + d < b + c oder a + d = b + c oder a + d > b + c gilt. 31 Vergleich von ganzen Zahlen Transitivität (aus x < y und y < z folgt x < z): Ist erfüllt, denn aus [(a,b)] ~ < [(c,d)] ~ (also a + d < b + c) sowie [(c,d)] ~ < [(e,f)] ~ (also c + f < d + e) folgt a + d + f < b + c + f < b + d + e und hieraus a + f < b + e. Letzteres ist aber gleichbedeutend zu [(a,b)] ~ < [(e,f)] ~. Erweiterung der Ordnung auf 0 : [(m,0)] ~ < [(n,0)] ~ : m + 0 < n + 0 m < n. 32

9 Zusammenfassung Ganze Zahlen (Klasse 7) Das Ziel dieser Zahlbereichserweiterung war die Möglichkeit, Äquivalenzklassen [(a,b)] ~ beliebig subtrahieren zu können, also nicht nur kleinere Zahlen von größeren, wie in 0. Das wurde erreicht. Darüber hinaus wurde damit auch eine Struktur (, +) geschaffen, die man eine abelsche Gruppe nennt: die Addition auf ist kommutativ und assoziativ, sie besitzt ein neutrales Element (die Äquivalenzklasse [(0,0)] ~ ), jedes Element [(a,b)] ~ besitzt ein inverses Element [(b,a)] ~ (das Negative dieses Elements). Wie bei der Zahlbereichserweiterung für die Bruchzahlen wurde die Subtraktion mit Hilfe der Umkehroperation (hier also der Addition) eingeführt: man subtrahiert das Element [(c,d)] ~, indem man das inverse Element [(d,c)] ~ addiert: [(a,b)] ~ [(c,d)] ~ := [(a + d, b + c)] ~ =: [(a,b)] ~ + [(d,c)] ~. Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Aber natürlich wieder kein Schulstoff 33 Westermann, (S. 105). Lernziele Ganze Zahlen (Klasse 7) Lerninhalte Ganze Zahlen (Klasse 7) Die Schüler lernen an konkreten Beispielen negative Zahlen kennen. Sie erkennen den Unterschied von Vorzeichen und Rechenzeichen. Mit Hilfe von Darstellungen auf der Zahlengeraden und von einfachen Rechnungen sollen sie eine Vorstellung vom Bereich der ganzen Zahlen gewinnen. Gebunden an die Anschauung entwickeln sie Rechenregeln für die Addition und Subtraktion und lösen einfache Aufgaben. - einfache, anschauliche Situationen mit ganzen Zahlen betrachten - Vorzeichen und Rechenzeichen unterscheiden - Bereich der ganzen Zahlen; negative und positive Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen - Operationen an der Zahlengeraden darstellen - ganze Zahlen addieren und subtrahieren; sachbezogene Aufgaben Bayerischer Lehrplan für die Hauptschule Klasse 7 Bayerischer Lehrplan für die Hauptschule Klasse 7

10 unverzichtbare und lebensbedeutsame Ziele und Inhalte Positive und negative Zahlen: Höhenangaben Zahlzeichen für ganze Zahlen lesen, schreiben und interpretieren negative Zahlen ordnen ganze Zahlen addieren und subtrahieren Bayerischer Lehrplan für die Hauptschule Klasse 7 37 Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 106). 38 Positive und negative Zahlen: Höhenangaben Positive und negative Zahlen: Sportstatistiken Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 107). 39 Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 107). 40

11 Temperaturänderungen Temperaturänderungen Operatorkonzept steigen: + fallen: Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 108). 41 Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 108). 42 Kontoänderungen Kontoänderungen Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 109). 43 Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 110). 44

12 Kontoänderungen Ganze Zahlen ordnen und vergleichen Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 110). 45 Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 111). 46 Ganze Zahlen ordnen und vergleichen Ganze Zahlen addieren und subtrahieren: Kontospiel Mathematik 7. Mathematik 7. Hauptschule Hauptschule Bayern, Bayern, Braunschweig: Braunschweig: Westermann, Westermann, 2006 (S. 113) (S. 112)

13 Ganze Zahlen addieren und subtrahieren: Kontospiel Ganze Zahlen addieren: Kontospiel Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 113). 49 Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 114). 50 Ganze Zahlen addieren: Kontospiel Ganze Zahlen addieren: Zahlenstrahl Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 114). 51 Formel 7. Mathematik für Hauptschulen einschließlich Mittlere-Reife-Zug, Bamberg/Stuttgart: C.C.Buchner/Klett-Verlag, 2004 (S. 50). 52

14 Ganze Zahlen addieren: Ganze Zahlen subtrahieren: Zahlenstrahl Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 115). 53 Formel 7. Mathematik für Hauptschulen einschließlich Mittlere-Reife-Zug, Bamberg/Stuttgart: C.C.Buchner/Klett-Verlag, 2004 (S. 51). 54 Ganze Zahlen subtrahieren: Ganze Zahlen addieren und subtrahieren: Sachaufgaben Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 116) Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 117,120).