positive Zahlen (z.b. 216 / 1,2 / ) negative Zahlen (z.b. 216 / 1,2 / )

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1 3.1. Zahlengerade (1.1.) Seite 9 Mit dem Zahlenstrahl können wir die positiven Zahlen darstellen. Die Zahlengerade ermöglicht uns, auch die negativen Zahlen darzustellen. Auf dieser Zahlengeraden gibt es weder eine kleinste noch eine grösste Zahl. Rechts von der Null liegen die positiven Zahlen, links der Null liegen die negativen Zahlen. e 0 negative Zahlen positive Zahlen Beispiele positive Zahlen (z.b. 216 / 1,2 / ) negative Zahlen (z.b. 216 / 1,2 / ) 3.2. Gegenzahl, Betrag Seite 11 Unterscheiden sich zwei Zahlen nur durch ihr Vorzeichen ( (-7), (+7) ), sprechen wir von Gegenzahlen. Sie liegen spiegelbildlich zur Zahl Null. Mit dem Betrag einer Zahl, bezeichnen wir den Abstand einer Zahl vom Nullpunkt. Demnach ist der Betrag zweier Gegenzahlen gleich. Der Betrag ist immer eine positive Zahl. Beispiele Die Gegenzahl von (-5) ist (+5). Die Gegenzahl von (-a) ist (+a) a a Der Betrag von (-5) ist 5-5 = 5 Der Betrag von (+7) ist = 7-3 / a -

2 3.3. Zahlenmengen (2.20.) Seite 11 N = die Menge der natürlichen Zahlen ( 1 / 2 / 3 /...) N 0 = die Menge der natürlichen Zahlen und 0 ( 0 / 1 / 2 / 3 /...) Z = die Menge der ganzen Zahlen (.. / -2 / -1 / 0 / 1 / 2 /...) Z + = die Menge der positiven ganzen Zahen Z - = die Menge der negativen ganzen Zahlen Q = die Menge der rationalen Zahlen z.b. ( / / 5,371 ) Q + = die Menge der positiven rationalen Zahlen Q - = die Menge der negativen rationalen Zahlen N No Z Q 3.4. Koordinatensystem (1.18.) Seite 16 So wie wir den Zahlenstrahl ausgebaut haben, ergänzen wir das Koorinatensystem in den Bereich der negativen Zahlen. Wir erhalten 4 Winkelfelder, welche wir mit Quadranten bezeichnen. Alle Punkte eines Quadranten haben dieselben Vorzeichen. II. Quadrant (- / +) I. Quadrant (+ / +) III. Quadrant (- / -) IV. Quadrant (+ / -) - 3 / b -

3 3.5. Operationen der I. Stufe in Q Seite 20 (+a) (-b) Unter einer positiven Zahl stellen wir uns ein Vermögen oder einen Gutschein vor. Eine negative Zahl stellt eine Schuld dar (Schuldschein / Rechnung). Addition Wenn wir zwei Gutscheine erhalten, so entspricht der Gesamtbetrag der Summe der beiden Gutscheine. (+20) + (+10) = +30 = Gutschein 1 Gutschein 2 Wenn wir ein Vermögen besitzen und eine Rechnung bezahlen müssen (eine Rechnung erhalten), haben wir ein geringeres Vermögen. (+100) + (-20) = +80 = Vermögen Rechnung neues Vermögen Subtraktion Wenn wir von zwei Gutscheinen einen beim Kauf eines Gegenstandes verwenden, haben wir ein geringeres Vermögen (in Form von Gutscheinen). (+30) - (+10) = +20 = Summe aus +20 & +10 Rechnung neues Vermögen Wenn wir einen Gutschein und eine Rechnung besitzen, die Rechnung aber jemandem abgeben können, haben wir zum Schluss ein grösseres Vermögen. (+80) - (-20) = +100 = Summe aus +100 & -20 neues Vermögen 3.6. Klammern bei Operationen der I. Stufe in Q Seite 27 Algebraische Summen Wir können jede Differenz als Summe verstehen: Summenterme mit Klammern a - b = a + (- b) Zu 2w ist die Summe 3x + 4y - 5z zu addieren. Schreiben wir die Aufgabe als Term erhalten wir: 2w + (3x + 4y - 5z) Jedes Glied der eingeklammerten Summe muss addiert werden: Nach unseren Kenntnissen ergibt das: Es gilt also: 2w + (+3x) + (+4y) + (-5z) 2w + 3x + 4y - 5z 2w + (3x + 4y - 5z) = 2w + 3x + 4y - 5z Beim Auflösen von Plusklammern beibt das Vorzeichen der Summanden in der Klammer unverändert. - 3 / c -

4 Von 2w ist die Summe 3x + 4y - 5z zu subtrahieren. Schreiben wir die Aufgabe als Term, erhalten wir: 2w - (3x + 4y - 5z) Jedes Glied der eingeklammerten Summe muss subtrahiert werden: Nach unseren Kenntnissen ergibt das: Es gilt also: 2w - (+3x) - (+4y) - (-5z) 2w - 3x - 4y + 5z 2w - (3x + 4y - 5z) = 2w - 3x - 4y + 5z Beim Auflösen von Minusklammern werden alle Vorzeichen der Summanden in der Klammer verändert, aus plus wird minus und aus minus wird plus. Verschachtelte Klammerausdrücke werden immer von innen nach aussen aufgelöst. Beispiel a + { b - [ c + ( d - e ) ] + f } = a + { b - [ c + d - e ] + f } = a + { b - c - d + e + f } = a + b - c - d + e + f = 3.7. Operationen der II. Stufe in Q Seite 32 Es gilt: 3 5? Verfünffache die Zahl 3. Es gilt weiter: 3 (- 5)? Verfünffache die Zahl 3 und bilde die Gegenzahl. Daraus folgt: 3 5 = 15 3 (-5) = -15 Es folgt weiter: (-3) (-3) (- 5) 5? (-3) (-5) = 15? (-3) 5 = -15 Schlussfolgerung (gilt auch für die Division) (+) (+) = (+) (+) : (+) = (+) (+) (-) = (-) (+) : (-) = (-) (-) (+) = (-) (-) : (+) = (-) (-) (-) = (+) (-) : (-) = (+) - 3 / d -

5 3.8. Potenzen mit negativen Exponenten (2.2.) Seite 37 a m : a n = a m n Beispiele a 5 : a 3 = a a a / a / a / a / a / a / = a2 1 = a 2 = a 5 3 a 3 : a 5 = a / a / a / a a a / a / a / = 1 a 2 = a 2 = a 3 5 a 2 : a 2 = a / a / a / a / = 1 1 = a0 = a 2 2 = Multiplikation von Summen und Differenzen (1.27./1.28.) Seite 41 a ( b + c d ) = ab + ac ad Prioritäten bei Operationen verschiedener Stufen (1.34.) Seite div. Operationen der höheren Stufe binden stärker! vor vor vor Klammer Potenz Punkt Strich Beispiel ( ) 2 = ( ) 2 = ( ) 2 = 3 2 = 9-3 / e -

6 3.11. Gleichungen (1.16.) Seite 54 Grundeinsichten Aussage Wenn wir bei einem Gebilde (Term) entscheiden können, ob es wahr oder falsch ist, handelt es sich um eine Aussage = 10 (w) = 20 (f) Aussageform Enthält ein Gebilde (Term) eine oder mehrere Variablen, und hat es die Form einer Aussage, nennen wir es eine Aussageform. Sie wird beim Ersetzen der Variablen durch einen Zahlwert in eine Aussage übergeführt. 2 x + 5 = 9 x = = 9 (w) x = = 9 (f) Lösungsmenge Zahlen, welche beim Einsetzen in eine Aussageform wahre Aussagen erzeugen, nennt man Lösungen der Aussageform. Sie gehören zur Lösungsmenge (L) der Aussageform. Grundmenge In der Grundmenge (G) werden die Elemente bestimmt, welche in der Lösungsmenge zugelassen sind. Lösen von Gleichungen Eine Gleichung kann mit einer Balkenwaage verglichen werden. Gleiche, gleichzeitige Aktionen auf beiden Seiten verändern demnach das Gleichgewicht nicht. Man darf auf beiden Seiten - den gleichen Term addieren - den gleichen Term subtrahieren Beide Seiten dürfen: - mit dem gleichen Term multipliziert werden (ausser 0) - durch den gleichen Term dividiert werden (ausser 0) - 3 / f -

7 Lösungsverfahren 1. Separieren in Werte mit der Variablen und reinen Zahlwerten (je eine Seite des Gleichheitszeichens 2. Zusammenfassen 3. x = (x ist immer positiv) 4. Lösungsmenge abhängig von der Grundmenge bestimmen Darstellung G = Z 3 x + 6 = x = 9 :3 x = 3 L = { 3 } Ungleichungen (3.11.) Seite 59 Mit einer Ausnahme gelten alle Bemerkungen, welche für Gleichungen Gültigkeit haben! Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert (durch eine negative Zahl dividiert) werden, wird das Ungleichungszeichen umgekehrt! Beispiele 5 > 1 (-2) -10 < -2 6 > 2 : (-2) -3 < -1-3 / g -

8 3.13. Abstand (1.21.) Seite 129 Punkt - Punkt Der Abstand zwischen zwei Punkten P und Q ist die Länge der Verbindungsstrecke PQ auf der Geraden PQ. Q PQ Abs tand = PQ P Punkt - Kreis Der Abstand eines Punktes P von einem Kreis entspricht der Länge der Verbindungsstrecke vom Punkt P bis zur Kreislinie k auf der Geraden PM. k M PM A Abs tand = AP P Kreis - Kreis Der Abstand zweier Kreise entspricht dem kürzesten Abstand der beiden Kreislinien auf der Geraden M 1 M 2. k 1 B M 2 Abs tand = AB A k 2 M 1 M 1 M 2-3 / h -

9 3.14. Ortslinien Seite 134 Unter Ortslinien verstehen wir Mengen von Punkten, welche eine bestimmte Lagebedingung erfüllen. Kreis Alle Punkte, welche von einem gegebenen Punkt M den gleichen Abstand r haben, liegen auf der Kreislinie k um M mit dem Radius r. k x M r Mittelsenkrechte m Alle Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten A und B je den gleichen Abstand haben, liegen auf der Mittelsenkrechten m der Strecke AB. x A x B Parallele Alle Punkte, welche von einer gegebenen Geraden g den gleichen Abstand d haben, liegen auf den Parallelen p 1 und p 2 zu g, mit Abstand d (2 Lösungen). d d p 1 g p 2 Mittelparallele Alle Punkte, welche von zwei gegeben Parallelen g und h den gleichen Abstand d haben, liegen auf der Mittelparallelen m. d d g m h Winkelhalbierende Alle Punkte, welche von zwei sich schneidenden Geraden g und h je den gleichen Abstand haben, liegen auf den Winkelhalbierenden w 1 und w 2 (2 Lösungen). g w 1 h w 2-3 / i -

10 3.15. Translation (Parallelverschiebung) Seite 145 Definition Eine Strecke mit einer bestimmten Richtung heisst Pfeil Abbildungsvorschriften für eine Translation r v oder Vektor - Verschiebungsrichtung (Richtung des Pfeiles - des Vektors) - Verschiebungsbetrag (Länge des Pfeiles - des Vektors) Eigenschaften einer Translation - Alle Verschiebungspfeile einer Translation sind gleich lang und gleichsinnig parallel. - Urbild und Abbildung sind kongruent. - Der Umlaufsinn der Figuren bleibt erhalten. r v. - 3 / j -

11 3.16. Rotation (Drehung) Seite 149 Abbildungsvorschriften für eine Rotation Lage des Drehzentrums D Winkelweite des Drehwinkels α Drehsinn - positiv - negativ gegen den Uhrzeigersinn im Uhrzeigersinn DP,+120 heisst: Rotation um P mit 120 im Gegenuhrzeigersinn Eigenschaften einer Rotation Urbild und Abbildung sind kongruent. Der Umlaufsinn der Figuren bleibt erhalten. - 3 / k -

12 3.17. Punktspiegelung (3.16.) Seite 153 Abbildungsvorschrift Lage des Symmetriezentrums Z (DZ) Eigenschaften einer Punktspiegelung Die Punktspiegelung ist ein Spezialfall der Rotation DZ, 180 Die Bildstrecke ist zur Originalstrecke parallel. (AB / / A B ) Urbild und Abbildung sind kongruent. Der Umlaufsinn der Figuren bleibt erhalten. Z ist Mittelpunkt von A A - 3 / l -

13 3.18. Streifenschar Seite 157 Parallelen im gleichen Abstand erzeugen eine Streifenschar. Sie schneiden aus einer beliebigen Geraden jeweils gleich lange Abschnitte. PA = AB = BC = CD PQ = QR = RS = ST Anwendung Teile die Strecke AB = 10cm in 3 gleich lange Strecken. LW 1. AB 2. Strahl s von A in beliebiger Richtung (mit Vorteil ein spitzer Winkel) 3. trage auf s 3-mal y ab P 1, P 2, P 3 (3-mal y mit Vorteil ähnlich lang wie AB) 4. P 3 B 5. // zu P 3 B durch P 1 (P 2 ) mit AB Q 1, Q 2 AQ 1 = Q 1 Q 2 = Q 2 B y P 1 y P 2 y P 3 s A Q 1 Q 2 B - 3 / m -

14 3.19. Fixpunkt / Fixgerade Seite 158 Fixpunkt Punkte, welche bei einer Abbildung auf sich selber abgebildet werden, heissen Fixpunkte (F). g C C F 1 = F 1 A A B B F 2 = F 2 Fixgerade Geraden, welche bei einer Abbildung auf sich selber abgebildet werden, heissen Fixgeraden (f). g f = f - 3 / n -

15 3.20. Eigenschaften von Abbildungen / Kongruenz Seite 159 Definitionen Längentreu Winkeltreu Orientierungstreu Kongruenz Bei einer Abbildung werden die Strecken gleich lang abgebildet. Bei einer Abbildung werden Winkel gleich gross (gleiche Weite) abgebildet. Bei einer Abbildung bleibt der Orientierungssinn erhalten. Abbildungen, welche längentreu sind, nennen wir Kongruenzabbildungen. Figuren, welche sich durch Kongruenzabbildungen zur Deckung bringen lassen, nennen wir kongruent. - 3 / o -

16 3.21. Symmetrien (2.15. / ) Seite 161 Ebensymmetrisch heisst ein Körper, der bei einer Spiege- lung an einer Ebenen E auf sich selber ab- gebildet wird. Achsensymmetrisch heisst eine Figur, welche bei einer Spiegelung an einer Geraden auf sich selber abgebildet wird. Drehsymmetrisch heisst eine Figur, welche bei einer Drehung ( δ < 360 ) auf sich selber abgebildet wird. Punktsymmetrisch heisst eine Figur, welche bei einer Spiegelung an einem Punkt P auf sich selber abgebildet wird (Spezialfall der Drehsymmetrie δ = 180 ). Verschiebungssymmetrisch heisst eine Figur, welche bei einer Verschiebung um den Verschiebungspfeil (Vektor) v r auf sich selber abgebildet wird. - 3 / p -

17 3.22. Winkelsätze (2.11.) Seite 168 Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind gleich gross. α = χ β = δ Nebenwinkel Nebenwinkel betragen zusammen 180. α + β = χ + δ = Stufenwinkel Stufenwinkel sind gleich gross. Wechselwinkel Wechselwinkel sind gleich gross. - 3 / q -

18 3.23. Winkel im Dreieck Seite 172 / 179 / 181 Innenwinkel Die Summe aller Innenwinkel beträgt 180. α + β + χ = Aussenwinkel Der Aussenwinkel entspricht der Summe der nicht anliegenden Innenwinkel. α + β = χ 1 = χ 2 (χ ) Thaleskreis Ist eine Seite des Dreiecks der Durchmesser eines Kreises und liegt die dritte Ecke auf der Kreislinie, so ist das Dreieck rechtwinklig. α = χ 1 (gleichschenklig) β = χ 2 (gleichschenklig) α + χ 1 + χ 2 + β = 180 α + α + β + β = α + 2 β = (α + β) = 180 : 2 α + β = 90 χ = 90-3 / r -

19 3.24. Dreiecksformen Seite 173 Einteilung der Dreiecke in Abhängigkeit der Seiteneigenschaften Allgemeines Dreieck Alle Seiten des Dreiecks sind verschieden lang. a b, a c, b c Gleichschenkliges Dreieck Genau zwei Seiten (Schenkel) sind gleich lang. a = b Gleichseitiges Dreieck Alle Seiten des Dreiecks sind gleich lang. a = b = c b C a Spitze Winkel an der Spitze b Symmetrieachse C Schenkel a b C a A c B A Basis c B Basiswinkel A c B Einteilung der Dreiecke in Abhängigkeit der Winkeleigenschaften Stumpfwinkliges Dreieck Ein Innenwinkel ist ein stumpfer Winkel. χ > 90 Ein Innenwinkel ist ein rechter Winkel. χ = 90 Rechtwinkliges Dreieck Spitzwinkliges Dreieck Alle Innenwinkel sind spitze Winkel. α < 90, β < 90, χ < 90 A α C χ β B A Katheten α Hypotenuse χ β C B A α C χ β B - 3 / s -

20 3.25. Winkel im Vieleck Seite 176 Allgemeines Vieleck Die Winkelsumme der Innenwinkel im n-eck beträgt (n-2) 180. Begründung: χ α β α + β + χ = Eck ====>> Regelmässiges Vieleck Das regelmässige Vieleck hat einen Umkreis. Seine Seiten sind alle gleich lang. Innenwinkelsumme = (n 2) 180 ε = 360 n α = 180 ε - 3 / t -

21 3.26. Zuverlässige Ziffern / Runden (1.11. / 2.1.) Seite 70 Zuverlässige Ziffern (Gültige Ziffern) Bei einem Näherungswert heissen alle Ziffern, welche mit jenen des genauen Wertes übereinstimmen, zuverlässige Ziffern. Eine letzte Ziffer gilt auch dann als zuverlässig, wenn sie durch Runden des genauen Wertes auf diese Stelle bestätigt würde. genauer Wert 3, ,87 0,0456 2, 0043 gerundet er Wert 3, { { 0,05{ 2,00 { zuverlässige Ziffern zz zz zz Runden bei Addition und Subtraktion Das Ergebnis kann nicht genauer sein, als das ungenauste Berechnungsglied. Beispiele I. 4,3 m + 23,27 m + 0,794 m = 28,364 m 28,4 m 4,3 m ist der ungenauste Wert (gerundet auf 10 cm). Aus diesem Grund muss auch das Schlussresultat auf 10 cm gerundet werden. II. 450 m + 57 m m = 1658 m Je nach Situation sind zwei verschiedene Lösungen möglich: m sind auf 10 m gerundet >>> m sind auf 1 m gerundet >>> 1660 m 1658 m Runden bei Multiplikation und Division Beispiele Das Ergebnis kann nicht mehr zuverlässige Ziffern haben als das ungenauste Berechnungsglied. I. II. III. 4,3 { m 23, m 0,789 { m = 78, m 3 78 m 3 2 zz 4 zz 3 zz 7,5 9,5 m = 71,25 m 71,3 m Beispiel II. lässt sich auf eine Addition zurückführen! 9,5 m + 9,5 m + 9,5 m + Entsprechend gilt die Additionsregel (7,5 ist eine Zahl, keine Grösse). 6 2,1 { m { 2,34 m = 29,484 m2 29 m 2 2 zz 3 zz Multiplikation von zwei Messwerten! - 3 / u -

22 3.27. Proportionalitätsfaktor (2.28.) Seite 76 Gehört bei einer Zuordnung zum Doppelten / Dreifachen / der ersten Grösse das Doppelte / Dreifache / der zweiten Grösse, so nennt man diese Zuordnung eine proportionale Zuordnung. Gewicht Kosten Beispiel 2 1 kg 4 Fr 2 2 kg 8 Fr 3 6 kg 24 Fr 3 Bei Berechnungen dieser Art ist jeweils ein Grössenpaar mit zwei einander zugeordneten Werten gegeben. Von einem zweiten oder dritten Grössenpaar ist dann nur eine Grösse gegeben, die zweite muss berechnet werden. Beispiel 1 kg Trauben kostet 4 Fr. Wie teuer sind 2 kg / 6 kg? Gewicht, kg Kosten, Fr Fr 1 kg Waagrechter Operator oder Proportionalitätsfaktor Bisher wurde für die Berechnung von proportionalen Grössen der Dreisatz verwendet. Dabei war der Proportionalitätsfaktor bereits Bestandteil der Berechnung. Beispiel 2 kg Äpfel kosten 4 Fr. Wie teuer sind 5 kg? 2 kg 1 kg 5 kg = 10 Fr Proportionalitätsfaktor Neue Darstellung Der verwendete Operator bedeutet in diesem Beispiel Preis. In anderen Beispielen kann er km = Geschwindigkeit (v) oder h g = Dichte (ρ) bedeuten. 3 cm kg Fr 2 kg Fr 4 gesuchte Grösse Preis - 3 / v -

23 3.28. Verhältnisse Seite 81 Beispiel Mit Verhältnissen können wir zwei verschiedene Grössen vergleichen. Dabei bilden wir den Quotienten dieser beiden Grössen. In einem Betrieb arbeiten 12 Frauen und 8 Männer. Das Verhältnis Frauen zu Männer beträgt 12 zu 8 und wird als 12 : 8 geschrieben. Verhältnisse können durch Erweitern und Kürzen umgeformt werden. 12 : 8 3 : 2 Der Wert eines Verhältnisses entspricht der Zahl, welche durch Division entsteht. 12 : 8 = 1, Kreisberechnungen Seite 87 Der Wert des Verhältnisses Umfang : Durchmesser ist für alle Kreise gleich. Es gilt: u : d = π = 3, π (Pi) ist ein nicht abbrechender, nicht periodischer Dezimalbruch. Kreisfläche A = πr 2 Kreisumfang u = 2πr = πd Sektor mit Zentriwinkel x Sektorfläche (x ) A S = πr 2 x 360 r Bogenlänge (x ) b = 2πr x 360 b x - 3 / w -

24 3.30. Zylinder Seite 99 Volumen = Grundfläche Höhe V = G h h = m Oberfäche = 2 Grundfläche + Mantel O = 2 G + M G G G = Grundfläche M = Mantel h = Höhe m = Mantellinie u = Kreisumfang M u h = m G Ausmultiplizieren, Faktorisieren, Binomische Formel Seite 105 ff Produkt ausmultiplizieren faktorisieren Summe Beispiele (2a + b)(3c 4d) 6ac 8ad + 3bc 4bd (b 7)(b + 3) b 2 4b 21 Binomische Formeln I a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 II a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 III a 2 b 2 = (a + b)(a b) - 3 / x -

25 3.32. Kreis und Gerade (2.12.) Seite 184 Sekante Sind A und B verschiedene Punkte einer Kreislinie, so heisst die Gerade AB Sekante. 0 < a < r g 0, g 1, g 2 Zentrale Eine Gerade durch den Mittelpunkt heisst Zentrale a = 0 g 0 Tangente Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt B gemeinsam hat, heisst Tangente. a = r g 3 Passante Eine Gerade, die mit einem Kreis keinen Punkt gemeinsam hat, heisst Passante. a > r g 4 Grundkonstruktionen Gegeben: LW: P k Gegeben: zu PM durch P t 1 LW: Q ausserhalb k 1. Thales über MQ k B 1, B 2 P M k t 1 2. QB 1, QB 2 B 1 k M Thaleskreis Q t 1 B 2 t 2-3 / y -

26 3.33 Tangenten an zwei Kreise (3.32.) Seite / z -

27 3.34. Kongruenzsätze bei Dreiecken (3.24.) Seite 187 ff sss C Wenn Dreiecke in den Längen entsprechender Seiten übereinstimmen, dann sind sie kongruent. A b c a B sws C Wenn Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, dann sind sie kongruent. A b α c B wsw / sww C Wenn Dreiecke in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen, dann sind sie kongruent. (Der dritte Winkel kann berechnet werden). A α c β B C χ A α c B Ssw C Wenn Dreiecke in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der grösseren gegebenen Seite übereinstimmen, dann sind sie kongruent. A b α a B - 3 / aa -

28 3.35. Die Höhen im Dreieck (2.36.) Seite 192 Die Höhen im Dreieck schneiden sich im Höhenschnittpunkt H. Achtung: Beachte die Lage von H bei speziellen Dreiecken! Die Mittelparallelen im Dreieck Seite 194 Die Mittelparallele M a M b ist halb so lang wie die dazugehörige Seite AB. - 3 / ab -

29 3.37. Die Mittelsenkrechten im Dreieck (3.35.) Seite 196 Umkreis / Thaleskreis Die Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten schneiden einander in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt M. Der Radius des Umkreises heisst r. C r Achtung: Beachte die Lage von M bei speziellen Dreiecken! Die Winkelhalbierenden im Dreieck (3.37.) Seite 196 Inkreis Die Winkelhalbierenden im Dreick schneiden sich in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt O. Der Radius des Inkreises heisst ϕ (Rho). ϕ - 3 / ac -

30 3.39. Die Seitenhalbierenden im Dreieck (3.38) Seite 201 Schwerlinien, Schwerpunkt Die drei Seitenhalbierenden (Schwerlinien) im Dreieck schneiden einander in einem Punkt, dem Schwerpunkt S. Die Seitenhalbierenden werden durch S im Verhältnis 2 : 1 geteilt. - 3 / ad -

31 3.40. Linien im Dreieck / Zusammenfassung - 3 / ae -

32 3.41. Viereck / Trapez (1.22.) Seite 205 Bezeichnungen Trapez Im Trapez verlaufen zwei Seiten parallel. Der Flächeninhalt des Trapezes A = m h = a + c 2 h - 3 / af -