Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek)

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1 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) Gymnasium Unterstrass Zürich Aufnahmeprüfung 2009 Kurzgymnasium (Anschluss 2. Sekundarklasse) Mathematik Name: Die Prüfung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil ergibt jede richtige Lösung einen Punkt. Schreibe die Resultate bitte in die rechte Spalte. Beachte dabei eine Richtzeit von etwa 30 Minuten. Im zweiten Teil ist der Lösungsweg wesentlich. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge, müssen aber alle direkt nach der Aufgabe auf diese Blätter gelöst werden. Der Rechenweg muss in der Darstellung ersichtlich sein. Schreibe bitte Zwischenresultate auf. Zeichne und konstruiere sorgfältig Parallelen und Senkrechten dürfen mit dem Geodreieck gezeichnet werden. Zu den Konstruktionsaufgaben gehört ein Konstruktionsbericht. Bezeichne die Lösungsfigur bitte sorgfältig. Gesamtzeit für beide Teile: 90 Minuten. Teil I II Total Aufgabe Punkte = = = = 4 30 erreicht Teil I (Richtzeit: 30 Minuten) Resultate 1 Wie viele zweistellige Primzahlen, die kleiner sind als 40, gibt es? Anzahl = 2 Berechne den folgenden Ausdruck auf drei Dezimalen genau: 3" 14.3 " 2.72 # ( ) 2 = 3 Vereinfache den Term so weit wie möglich: 8p" 7 16 # 9 20 : 3 5p = =

2 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 2 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) 4 Zwei rechteckige Stoffplanen deren Breiten 6 m und 8 m und deren Längen 12 m und 4 m betragen, müssen zu einer flächengleichen, quadratischen Plane zusammengenäht werden. Wie gross ist die Seite der neuen Plane? (Genauigkeit: zwei Dezimalen) Die Seite ist cm gross. 5 Bestimme den grössten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen 48, 64 und 252. ggt(48,64,252) = 6 Bei einem gleichschenkligen Dreieck sitzen alle drei Eckpunkte auf einem Kreis, wobei eine der Dreiecksseiten den Durchmesser des Kreises bildet. Die Fläche des Dreiecks beträgt 9 cm 2. Wie gross ist der Radius des Kreises? Der Radius r beträgt cm 7 Bestimme die Lösungsmenge bezüglich G = Q. 10x x = 0 L =

3 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 3 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) 8 Berechne die Summe der beiden Winkel α und β in der folgenden Figur. t ist Tangente an den Kreis k. α + β = 9 Bestimme die Lösungsmenge in aufzählender Form bezüglich G = Z. 10 " (2x " 5) + 3x < 20 L = 10 Das Modell eines Uhrwerks hat einen Durchmesser von 30 cm. Der Durchmesser des Uhrwerks in der Realität beträgt 1.2 cm. Wie gross (in cm) ist der Durchmesser eines Uhrwerk- Zahnrädchens im Modell, wenn er in der Realität 0.5 mm beträgt? Gib die Antwort in cm auf drei Dezimalen genau. Der Durchmesser ist cm gross.

4 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 4 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) Teil II (Richtzeit: 60 Minuten) 1 Konstruiere das gleichschenklige Dreieck ABC (AB: Basis) und schreibe einen Konstruktionsbericht. Konstruiere direkt im unteren Feld. M: Mittelpunkt von AC P h b Konstruktion: Skizze: Konstruktionsbericht:

5 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 5 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) 2 Ein Getränkelieferant fährt um 8.50 Uhr bei seinem Depot ab. Er hat geplant, um 9.25 Uhr beim ersten Kunden einzutreffen. a) In welcher Entfernung zum Depot wohnt dieser Kunde, wenn der Lieferant planmässig bei ihm eintrifft und mit einer mittleren Geschwindigkeit von 42 km/h unterwegs war? b) Der zweite Kunde wohnt 15.4 km vom ersten entfernt. Die dortige Lieferung wurde auf punkt Uhr abgemacht. Um 9.40 Uhr fährt der Lieferant beim ersten Kunden ab. Nach 4.9 km Fahrstrecke mit immer noch 42 km/h mittlerer Geschwindigkeit muss er wegen einer Baustelle 4 Minuten lang anhalten. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit müsste er danach weiterfahren können, um immer noch pünktlich beim zweiten Kunden einzutreffen? Gib die Antwort in km/h.

6 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 6 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) 3 a) Ein quaderförmiger Öltank steht in einer prismaförmigen Wanne, deren Grundfläche ein gleichschenkliges Trapez ist (siehe Zeichnung), damit allenfalls auslaufendes Öl darin aufgefangen wird. Der Tank ist 5.20 m lang, 3.80 m breit und 6.10 m hoch. Ist die Wanne genügend gross, um das Öl des vollgefüllten Tanks auffangen zu können? b) Berechne Umfang und Fläche des Vierecks ABCD: (M ist der Kreismittelpunkt.)

7 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 7 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) 4 Für den rechteckigen, 10.8 m x 30.0 m messenden kleinen Innenhof eines Neubaus sind quadratische Bodenplatten vorgesehen. a) Wie viele Platten braucht es, wenn sie maximal gross sein sollen, der Hof damit vollständig gefüllt und keine Platten aufgeschnitten werden sollen? b) Bei einer zweiten (gänzlich andersartigen) Planungsvariante sind die Masse des Hofes zu bestimmen. Länge und Breite sollen sich verhalten wie 16 : 9 und seine Fläche soll gleich gross sein wie bei der ersten Variante.

8 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 8 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) 5 Fällt ein Ball aus der Höhe h (in m) auf einen glatten Hartboden, so erreicht er nach jedem Aufprall das 0.9-fache der vorherigen Höhe. Nimm an, dass die Anfangshöhe h = 2 m ist. a) Welche Höhe erreicht der Ball nach dem 1. Aufprall, 2. Aufprall, 3. Aufprall, 4. Aufprall, n- ten Aufprall? Trage die entsprechenden Werte in die Tabelle ein. h (Anfangshöhe) h 1 (nach 1. h 2 (nach 2. h 3 (nach 3. h 4 (nach 4. usw. h n (nach dem n-ten Höhe im m 2 usw. b) Trage die entsprechenden Werte als Punkte in das unterstehende Koordinatensystem ein. c) Macht es Sinn die Punkte aus b) mit einer Linie zu verbinden? Begründe deine Antwort

9 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (3. Sek) Gymnasium Unterstrass Zürich Aufnahmeprüfung 2009 Kurzgymnasium (Anschluss 3. Sekundarklasse) Mathematik Name: Die Prüfung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil ergibt jede richtige Lösung einen Punkt. Schreibe die Resultate bitte in die rechte Spalte. Beachte dabei eine Richtzeit von etwa 30 Minuten. Im zweiten Teil ist der Lösungsweg wesentlich. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge, müssen aber alle direkt nach der Aufgabe auf diese Blätter gelöst werden. Der Rechenweg muss in der Darstellung ersichtlich sein. Schreibe bitte Zwischenresultate auf. Zeichne und konstruiere sorgfältig Parallelen und Senkrechten dürfen mit dem Geodreieck gezeichnet werden. Zu den Konstruktionsaufgaben gehört ein Konstruktionsbericht. Bezeichne die Lösungsfigur bitte sorgfältig. Gesamtzeit für beide Teile: 90 Minuten. Teil I II Total Aufgabe Punkte = = = = 4 30 erreicht Teil I (Richtzeit: 30 Minuten) Resultate 1 Wie viele zweistellige Primzahlen, die kleiner sind als 40, gibt es? Anzahl = 2 Berechne den folgenden Ausdruck auf drei Dezimalen genau: 3" 14.3 " 2.72 # ( ) 2 = 3 Vereinfache den Term so weit wie möglich: 7 8p" 16s # 9 20 : 3s 5p = =

10 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 2 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (3. Sek) 4 Aus einem rechteckigen Stück Papier muss ein kleineres Rechteck ausgeschnitten werden, dessen Seitenlängen jeweils 1 der ursprünglichen Längen betragen. 3 Welcher Anteil des ursprünglichen Papiers bleibt übrig? Notiere diesen Anteil als Bruch:. 5 Bestimme den grössten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen 48, 64 und 252. ggt(48,64,252) = 6 Bei einem gleichschenkligen Dreieck sitzen alle drei Eckpunkte auf einem Kreis, wobei eine der Dreiecksseiten den Durchmesser des Kreises bildet. Die Fläche des Dreiecks beträgt 9 cm 2. Wie gross ist der Radius des Kreises? Der Radius r beträgt cm 7 Bestimme die Lösungsmenge bezüglich G = Q. 2x " 4 x " 3 3 = 5 L =

11 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 3 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (3. Sek) 8 Berechne die Summe der beiden Winkel α und β in der folgenden Figur. t ist Tangente an den Kreis k. α + β = 9 Bestimme die Lösungsmenge in aufzählender Form bezüglich G = Z. "(2x " 5) + 5x < 2x +10 L = 10 Das Modell eines Uhrwerks hat einen Durchmesser von 30 cm. Der Durchmesser des Uhrwerks in der Realität beträgt 1.2 cm. Wie gross (in cm) ist der Durchmesser eines Uhrwerk- Zahnrädchens im Modell, wenn er in der Realität 0.5 mm beträgt? Gib die Antwort in cm auf drei Dezimalen genau. Der Durchmesser ist cm gross.

12 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 4 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (3. Sek) Teil II (Richtzeit: 60 Minuten) 1 Konstruiere das gleichschenklige Dreieck ABC (AB: Basis) und schreibe einen Konstruktionsbericht. Konstruiere direkt im unteren Feld. M: Mittelpunkt von AC P h b Konstruktion: Skizze: Konstruktionsbericht:

13 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 5 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (3. Sek) 2 Ein Getränkelieferant fährt um 8.50 Uhr bei seinem Depot ab. Er hat geplant, um 9.25 Uhr beim ersten Kunden einzutreffen. a) In welcher Entfernung zum Depot wohnt dieser Kunde, wenn der Lieferant planmässig bei ihm eintrifft und mit einer mittleren Geschwindigkeit von 42 km/h unterwegs war? b) Der zweite Kunde wohnt 15.4 km vom ersten entfernt. Die dortige Lieferung wurde auf punkt Uhr abgemacht. Um 9.40 Uhr fährt der Lieferant beim ersten Kunden ab. Nach 4.9 km Fahrstrecke mit immer noch 42 km/h mittlerer Geschwindigkeit muss er wegen einer Baustelle 4 Minuten lang anhalten. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit müsste er danach weiterfahren können, um immer noch pünktlich beim zweiten Kunden einzutreffen? Gib die Antwort in km/h.

14 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 6 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (3. Sek) 3 a) Ein quaderförmiger Öltank steht in einer prismaförmigen Wanne, deren Grundfläche ein gleichschenkliges Trapez ist (siehe Zeichnung), damit allenfalls auslaufendes Öl darin aufgefangen wird. Der Tank ist 5.20 m lang, 3.80 m breit und 6.10 m hoch. Dummerweise hat nach dem vollständigen Füllen des Tankes jemand einen Hahn geöffnet, der das Öl des Tanks in die Wanne auslaufen lässt. Wie hoch wird die Wanne mit Öl gefüllt, wenn der Hahn auf einer Höhe von 1.60 angebracht ist? (Genauigkeit: 2 Dezimalen) b) Gegeben ist ein Kreissektor mit dem Radius r = 14 cm und dem Mittelpunktswinkel von 60. DC ist parallel zu AB. Die Strecke MD ist 8 cm lang. α) Wie lang ist der in der Zeichnung fett gedruckte Streckenzug MDCBA in cm? (" = 22 7) β) Wie gross ist der Inhalt der weissen Fläche DCBA in cm 2? (Genauigkeit: 2 Dezimalen)

15 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 7 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (3. Sek) 4 Franz hat für seine physikalischen Versuche drei verschiedene Fadenpendel gebaut: (Unter einem Fadenpendel versteht man ein Stück Schnur mit einer bestimmten Länge, an welchem unten ein Gewicht angebunden wird Abbildung). Das kürzeste Pendel braucht pro Schwingung (= einmaliges Hin- und Herschwingen) eine Zeit von 1.8s, das mittlere 2.4s und beim längsten Pendel dauert die Schwingung 4.2s. a) Die drei Pendel werden gleichzeitig aus der Startposition losgelassen. Wie lange dauert es, bis sie zum ersten Mal wieder alle gleichzeitig die Startposition erreichen? b) Welche maximale Schwingungsdauer darf ein viertes Fadenpendel aufweisen, wenn es immer dann in der Startposition vorbeikommen soll, wenn eines der drei anderen Pendel seine Startposition erreicht? c) Franz hat bereits festgestellt, dass die Dauer einer Schwingung bei Fadenpendeln alleine durch die Schnurlänge bestimmt wird. Er vermutet weiter, dass die Schwingungsdauer proportional zur Schnurlänge ist. Was sagst du zu Franz Vermutung, wenn bei seinen zwei kürzeren Pendeln die Längen 82cm und 146cm betragen?

16 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 8 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (3. Sek) 5 Fällt ein Ball aus der Höhe h (in m) auf einen glatten Hartboden, so erreicht er nach jedem Aufprall das 0.9-fache der vorherigen Höhe. Nimm an, dass die Anfangshöhe h = 2 m ist. a) Welche Höhe erreicht der Ball nach dem 1. Aufprall, 2. Aufprall, 3. Aufprall, 4. Aufprall, n- ten Aufprall? Trage die entsprechenden Werte in die Tabelle ein. h (Anfangshöhe) h 1 (nach 1. h 2 (nach 2. h 3 (nach 3. h 4 (nach 4. usw. h n (nach dem n- ten Höhe im m 2 usw. b) Trage die entsprechenden Werte als Punkte in das unterstehende Koordinatensystem ein. c) Macht es Sinn die Punkte aus b) mit einer Linie zu verbinden? Begründe deine Antwort

17 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik Lösungen 2. Sek: TEIL p cm cm , 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, cm TEIL 2 1 Konstruktionsbericht: - AM verlängern und von M aus nochmals AM abtragen C - Von P aus das Lot auf AC fällen F (= Höhenfusspunkt) - FP verlängern - k(c, AC) " FP B 2 a) 24.5 km b) 70 km/h 3 a) Trapez: h = 8.25m A = 92.36, resp m 2 Tank: V = = m 3 Tankgrundfläche: A = = m 2 Restfläche = Trapezfläche Tankgrundfläche = = m 2 b) Höhe des Öls (, wenn alles auslaufen würde): Die Wanne ist genügend gross. AC = 89 " 9.43 A = " AD = 53 " a) 1.2 m, b) Länge = 24 m, Breite = 13.5 m 5 a) h = V Tank A Re st = =1.66 m U = " h (Anfangshöhe) h 1 (nach 1. h 2 (nach 2. h 3 (nach 3. h 4 (nach 4. usw. h n (nach dem n-ten Höhe im m usw. 2 ( 0.9) n )

18 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 2 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik b). y x c). Nein, es macht keinen Sinn, da die Höhe sich nicht kontinuierlich, sondern nur nach einem Aufprall verändert.

19 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 3 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik Lösungen 3. Sek: TEIL p 4s cm , 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, cm TEIL 2 1 Siehe 2. Sek 2 Siehe 2. Sek 3 a) Trapez: h = 8.25m A = 92.36, resp m 2 Tankvolumen oberhalb des Hahns: V = ( ) = m 3 Tankgrundfläche: A = = m 2 Restfläche = Trapezfläche Tankgrundfläche = = m 2 Höhe des Öls (, wenn alles oberhalb des Hahns auslaufen würde): b) α) β) 4 a) 50.4s h = V Tank A Re st = =1.22 m "22"14 7"6 = cm = cm A = 22 " " 60 # 8"8" "2 = #16" 3 $ # 27.71= cm b) 0.6s c) nicht proportional, denn: 82:1.8= =146:2.4 5 Siehe 2. Sek Bewertung von Teil I: Aufgabe 1.2 Richtige Antwort: 1 P., bei falscher Anzahl Dezimalen 0.5 P.; Aufgabe 1.4 Richtige Antwort: 1 P., bei falscher Anzahl Dezimalen 0.5 P.; Aufgabe 1.5 Korrigiere bitte die Antwort, die richtige Antwort ist 4.; Aufgabe 1.9 Richtige Antwort: 1 P., Antwort ohne negative Zahlen: 0.5 P.; Aufgabe 1.10 Richtige Antwort: 1 P., bei falscher Anzahl Dezimalen 0.5 P..