Lösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis

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1 Prof Dr H Garcke, D Depner SS 09 NWF I - Mathematik Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis Aufgabe Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie den Wert der Reihe in (i (i, (ii ( n + n n 3 n= Beh: Beide Reihen sind konvergent und die Reihe in (i hat den Wert 3 Bew: zu (i: Sei a n = ( n Dann gilt a n+ a n = < für alle n N Daher ist die Reihe b n nach dem Quotientenkriterium konvergent Hier handelt es sich um die geometrische Reihe und wir kennen sogar eine Formel dafür: = = ( = 0 zu (ii: Sei b n = +n b n 3 n ist eine rationale Funktion in n, mit Nennergrad höher ist als der Zählergrad, also ist b n eine Nullfolge Außerdem gilt b n+ b n + (n + (n n n 3 ( + n + n + n 3 ( + n (n 3 + 3n + 3n + n 3 + n + n 4 n 3 + 3n + 3n + + n + 3n 4 + 3n 3 + n 0 n 4 + n 3 + 4n + 3n + Da die letzte Zeile für alle n N eine wahre Aussage ist, ist b n also monoton fallend Nach Leibnizkriterium folgt schließlich, dass die Reihe n= ( n b n konvergent ist Aufgabe (i Sei f : R R Zeigen Sie, dass aus der ε-δ-stetigkeit von f in x 0 die Folgenstetigkeit in x 0 folgt (ii Überprüfen Sie folgende Funktion g : R R auf Stetigkeit in ganz R { x 4 g(x = x, für x, 0, für x = Beh: g ist nicht stetig Bew: zu (i: Die ε-δ-stetigkeit von f in x 0 R lautet: ε > 0 δ > 0 so dass x R mit x x 0 < δ gilt f(x f(x 0 < ε (

2 Die Folgenstetigkeit von f in x 0 R lautet: Für alle Folgen (x n n R mit x n x 0 gilt f(x n f(x 0 ( Zu zeigen ist also ( ( Sei dazu eine Folge (x n n aus R mit x n x 0 gegeben Wir müssen zeigen: ε > 0 N N so dass n > N gilt f(x n f(x 0 < ε Sei also ε > 0 beliebig vorgegeben Wähle zu dem ε das δ aus ( und wähle N N so, dass für alle n > N die Ungleichung x n x 0 < δ gilt Dies ist möglich wegen der Konvergenz x n x 0 Nach ( gilt dann für alle n > N auch f(x n f(x 0 < ε, was noch zu zeigen war zu (ii: Für x berechnen wir mit Hilfe der dritten binomischen Formel (x + (x + (x lim g(x = lim = lim(x + (x + = 4 x x x x Also gilt lim x g(x = 4 0 = g(, daher kann g nach (i in nicht stetig sein Deswegen ist g auch auf R nicht stetig Aufgabe 3 (i Zeigen Sie, dass für eine symmetrische Matrix A M(n n, R die Funktion f : R n R, x (Ax, Ax in x R n differenzierbar ist mit Df(xh = (A x, h für alle h R n (ii Zeigen Sie, dass für symmetrische Matrizen B, C M(n n, R die Funktion g : R n R, x (Bx, Bx (Cx, Cx differenzierbar ist und berechnen Sie Dg(x(h für x, h R n Hierbei bezeichnet (, das euklidische Skalarprodukt im R n Bew: zu (i: Da A symmetrisch ist, gilt f(x = (Ax, Ax = (A T Ax, x = (A x, x Schreibe nun für x, h R n f(x + h f(x = (A (x + h, x + h (A x, x = (A x, h + (A h, x + (A h, h Da mit A auch A symmetrisch ist, gilt (A h, x = (h, A x = (A x, h und wir können mit der linearen Abbildung Lh = (A x, h schreiben: f(x + h = f(x + Lh + (A h, h Wegen A h C h für alle h R n für ein C > 0 gilt mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung (A h, h C h Daraus folgt die Existenz des Grenzwertes f(x + h f(x Lh lim = 0, h 0 h also existiert die Ableitung Df(x mit Df(xh = Lh = (A x, h zu (ii: Die Funktion g besteht aus dem Produkt der zwei Funktionen f (x = (Bx, Bx und f (x = (Cx, Cx, die nach (i differenzierbar sind Also ist g nach der Produktregel differenzierbar und es gilt die Formel Dg(xh = Df (xh f (x + f (x Df (x = (B x, h (Cx, Cx + (Bx, Bx (C x, h

3 Aufgabe 4 Klassifizieren Sie die kritischen Punkte der Funktion f : R 3 R, (x, y, z x + y + 6 z6 xz nach lokalen Minima, Maxima oder Sattelpunkten Beh: f besitzt die kritischen Punkte (0, 0, 0, (0,, 4 und (0,, 4 Bei (0, 0, 0 liegt ein Sattelpunkt vor und bei den anderen beiden jeweils ein lokales Minimum Bew: Berechne den Gradienten von f: f(x, y, z = (x z, y, z x Die kritischen Punkte sind genau die, in denen der Gradient verschwindet, dh (I x z = 0, (II y = 0, (III z x = 0 Aus (II erhält man y = 0 und mit (I sieht man x = z Dies in (III eingesetzt ergibt 0 = (z z = z(z 4 = z(z (z + (z + Also hat man z = 0,, und und erhält die kritischen Punkte (0, 0, 0, (, 0, und (, 0, Das lokale Verhalten von f bei den kritischen Punkten wird beschrieben durch die Hessematrix 0 Hf(x, y, z = z 4 Diese lautet bei den kritischen Punkten 0 0 Hf(0, 0, 0 = 0 0 und Hf(±, 0, ± = Bei (0, 0, 0: Hier sieht man sofort, dass λ = ein Eigenwert zum Eigenvektor e ist Außerdem berechnet man det Hf(0, 0, 0 = < 0 und da die Determinante das Produkt der drei Eigenwerte λ, λ und λ 3 ist, muss wegen λ > 0 ein negativer Eigenwert existieren Also ist Hf(0, 0, 0 indefinit und bei (0, 0, 0 liegt ein Sattelpunkt vor Bei (±, 0, ±: Hier ist wegen > 0, det ( 0 = > 0, und det Hf(±, 0, ± = 0 = 8 > 0 0 nach Hauptachsendeterminantenkriterium die Hessematrix Hf(±, 0, ± positiv definit und bei (±, 0, ± liegt daher jeweils ein lokales Minimum vor Aufgabe Zeigen Sie, dass M := {(x, y, z R 3 x + y + z = }

4 eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des R 3 ist und dass für den Tangentialraum in (0, 0, M gilt: T (0,0, M = R {0} Bew: Setze f : R 3 R durch f(x, y, z = x +y +z Dann ist Df(x, y, z = (x, y, 0 R 3 für alle (x, y, z R 3, also hat Df insbesondere bei allen Punkten (x, y, z mit f(x, y, z = 0 vollen Rang und ist surjektiv Damit können wir den Satz vom regulären Wert anwenden, der besagt, dass M = f ({0} eine (3 = -dimensionale Untermannigfaltigkeit des R 3 ist Außerdem gilt für den Tangentialraum von M an der Stelle (0, 0, : T (0,0, M = ker(df(0, 0, = { ξ R 3 Df(0, 0, ξ = 0 } = { ξ R 3 (0, 0, ξ = 0 } = { ξ R 3 ξ 3 = 0 } = R {0} Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Lösung des folgenden homogenen Differentialgleichungssystems { y (t = y (t + 4y (t, y (t = y (t + 0y (t mit der Anfangsbedingung y (0 = ( 0 und y (0 = ( Beh: Die Lösung lautet y(t = et Bew: Wir schreiben das System für y = (y, y als y (t = Ay(t, y(0 = (0,, wobei ( 4 A = 0 Zunächst berechnen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren von A ( λ 4 det(λid A = det = (λ (λ 0 0 = λ λ 0λ λ 0 Bei λ = 0: Bei λ = : = λ(λ ( 4 ker(0id A = ker = R 0 ker(id A = ker ( 0 4 = R ( Also besitzt A Eigenwerte λ = 0 und λ = mit zugehörigen Eigenvektoren v = (, und v = (, Damit kann man nach Vorlesung für die Lösung y des obigen Differentialgleichungssystems ansetzen: y(t = a e 0t ( ( + b e t = a ( ( + b e t ( für Konstanten a, b R Diese Konstanten bestimmt man nun mit Hilfe der Anfangsbedingungen ( ( 0 a + b y(0 = = a + b Aus der ersten Zeile erhält man b = a, dies in die zweite Zeile eingesetzt ergibt a + a =, also a = 6 und b = 6 Damit hat man die Lösung y(t = ( + ( 6 6 et

5 Name: Fragen: jeweils mit Begründung beantworten, bzw den Text richtig ergänzen Sie dürfen auch zusätzliche Blätter verwenden Punkte pro Frage Ist die komplexe Folge ( e ( inπ eine Cauchyfolge in C? n N Nein, denn e ( inπ = e e inπ = e (cos( nπ + i sin( nπ = }{{} =0 { e, n gerade, e, n ungerade Also konvergiert die Folge nicht und ist somit auch keine Cauchyfolge, da in C Konvergenz und Cauchykonvergenz äquivalent sind Zeigen Sie, dass die Funktion f : [0, ] [0, ], f(x = 00 sin(πx + x + einen Fixpunkt im Intervall [0, ] besitzt Definiere die Hilfsfunktion h(x := f(x x Dann ist h stetig und wegen h(0 = > 0 und h( = + = 3 0 < 0 besitzt h nach dem Zwischenwertsatz im Intervall [0, ] eine Nullstelle Diese ist dann Fixpunkt von f 3 Berechnen Sie das Integral 0 4xex dx Wegen d dx ex = xe x sieht man eine Stammfunktion des Integranden und erhält 4xe x dx = [e x] = (e 0 4 Ist die Menge (0, [0, ] R kompakt bezüglich der Standardtopologie? Nein, denn sie ist nicht abgeschlossen Gibt es eine Funktion f C (R, so dass f x (x, y = y und f y (x, y = x für alle (x, y R gilt? Falls ja, so müssten nach Satz von Schwarz die zweiten partiellen Ableitungen f y x (x, y = y und f (x, y = x x y für alle (x, y R gleich sein, was aber zb für x = 0 und y = nicht richtig ist 6 Läßt sich die Gleichung x + y = sin(x y lokal um (0, 0 eindeutig nach y auflösen? Ja, denn für f(x, y = sin(x y x y gilt y f(x, y = cos(x y x y und damit y f(0, 0 = 0, also lassen sich die Nullstellen von f nach dem Satz über implizite Funktionen schreiben als 0 = f(x, y(x, zumindest lokal um (0, 0 7 Geben Sie für die eindimensionale Untermannigfaltigkeit M := {(x, x 3 x R} R einen Tangentialvektor im Punkt (, M an, der ungleich (0, 0 ist Für die Kurve γ : R R, γ(t := (t +, (t + 3 gilt γ(0 = (0, 0 und γ(t M Also ist nach Definition der Vektor γ (0 = (, 3 ein Tangentialvektor in (0, 0 an M 8 f C (R 3 besitze ein Minimum in a R n unter der Nebenbedingung g(x = 0 für g = (g, g C (R n, R mit linear unabhängigen Gradienten grad g (a, grad g (a Welche Beziehung besteht dann zwischen den Gradienten von f, g und g in a? (mit Begründung! Es existieren sogenannte Lagrangemultiplikatoren, dh es existieren λ, λ R, so dass grad f(a = λ grad g (a + λ grad g (a 9 Betrachten Sie die Differentialgleichung y = f(y mit f(y = log(y + Ist hierfür y 0 eine asymptotisch stabile Lösung? Ja, dies folgt aus dem Prinzip der linearisierten Stabilität mit f(0 = 0 und f (0 = 0+ = < 0 0