1 Prozentwert Grundwert Prozentsatz Zinsrechnung... 13

Transkript

1 A Zuordnungen Graphen einer Zuordnung... 2 Proportionale Zuordnung... 3 Antiproportionale Zuordnung... Proportionale Dreisatzrechnung... 7 Antiproportionale Dreisatzrechnung... 8 Lineare Funktionen... 9 Seite B Prozentrechnung Prozentwert Grundwert... 3 Prozentsatz... 2 Zinsrechnung... 3 C Winkel an Geradenkreuzungen... 2 Dreiecke und ihre Winkelsumme... 3 Vierecke und ihre Winkelsumme... Kongruenz von Dreiecken... 7 Besondere Linien im Dreieck... 8 Satz des Thales Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken Umfang und Flächeninhalt von Vierecken Projektionen D Rationale Zahlen Addition und Subtraktion von rationalen Zahlen... 2 Multiplikation und Division von rationalen Zahlen... 3 Multiplikation von Summen und Differenzen E Terme und Gleichungen Terme mit einer Variablen Umformen und Vereinfachen von Termen Gleichungen Äquivalenzumformung Vermischte Anwendungsaufgaben F Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeit Laplace-Wahrscheinlichkeit Summen- und Pfadregel am Baumdiagramm... 3

2 Zuordnungen Graphen einer Zuordnung Ein Graph ist eine besondere Art der Darstellung. Dabei setzen sich Punkte aus einer x- und einer y-koordinate zusammen. Die zugeordnete Größe wird auf der senkrechten Achse (y-achse) aufgetragen. Die horizontale Achse wird als x-achse bezeichnet. Dabei trägt man den y-wert über dem zugehörigen x-wert auf. Anschließend werden die Punkte zu einem Graphen verbunden. 2 Jonas Ich glaube, dass die Wellen dann auch besonders hoch sein sollen. Steffen Montag wollte ich mal wieder surfen. 3 Steffen Ich habe mir die Vorhersage mal angeguckt: Mo:, m; Di:,2 m; Mi: 0,8 m; Do: 0, m; Fr:,7 m; Sa: 0,7 m; So: 0,3 m. Steffen möchte die Zuordnung mit Hilfe eines Graphen darstellen. Dafür erstellst du als erstes eine Tabelle mit den jeweiligen Werten. x Mo Di Mi Do Fr Sa So y, m,2 m 0,8 m 0, m,7 m 0,7 m 0,3 m Die zugeordnete Größe trägst du auf die y-achse auf. In diesem Fall ist es die Wellenhöhe. Auf der x-achse stehen die Wochentage. Den Graphen erstellst du, indem du jedem x-wert den entsprechenden y-wert zuordnest. Die ersten zwei Punkte sind zum Beispiel: x-wert: Mo y-wert:, m x-wert: Di y-wert:,2 m Wellenhöhe in m,8,,,2 0,8 0, 0, 0,2,,2 0,8 0,,7 0,7 0,3 Achtung! Wichtig ist, dass du immer daran denkst, die Achsen zu beschriften. Das ist sehr wichtig, um die Graphik zu verstehen. Steffen Freitag kommen ja noch höhere Wellen als Montag! 0 Mo Di Mi Do Fr Sa So Wochentage. Bilde aus der folgenden Tabelle einen Graphen: Tag 2 3 Windgeschwindigkeit in km/h 2, 0,3 2,2, 2. Erstelle aus dem Graphen eine Tabelle: Strandabschnitte

3 Zuordnungen Proportionale Zuordnung Eine besondere Art der Zuordnung ist die proportionale Zuordnung. Proportional bedeutet, dass sich die Zuordnung konstant ändert. Die Werte folgen einer geordneten Zuordnungsvorschrift. Diese lautet für proportionale Zuordnungen: y = k x und daher k = y x Dabei ist k der Proportionalitätsfaktor. Dieser Faktor beschreibt den Zusammenhang zwischen den beiden Werten x und y. Bildet man den Quotienten y/x, so ergibt sich für jedes Wertepaar das gleiche k. Proportionale Zuordnungen sind somit quotientengleich. Jonas Ich war in Amerika und mir ist aufgefallen, dass die Autos dort eine andere Einheit auf den Tachos stehen haben: mph. Kann man die umrechnen? 2 Steffen Ja, dafür gibt es eine Zuordnungsvorschrift. Sie lautet: km/h = 8 mph Damit kannst du die Werte umrechnen. Wenn du Werte mithilfe einer Zuordnungsvorschrift umrechnen möchtest, so kannst du dir zunächst überlegen, was für eine Zuordnung vorliegt. In diesem Fall ist es eine proportionale Zuordnung. Dafür schaust du dir die Form der Zuordnungsvorschrift an. Der y-wert (km/h) lässt sich durch die Multiplikation eines konstanten Proportionalitätsfaktors k (8/) mit dem x-wert (mph) berechnen. km/h = 8 mph Willst du nun einen bestimmten x-wert umrechnen, so musst du ihn lediglich mit dem Proportionalitätsfaktor multiplizieren. Für mehrere Werte geht das am besten mithilfe einer Tabelle: mph km/h 8 9 Jeden einzelnen y-wert kannst du mithilfe der Zuordnungsvorschrift berechnen. z.b. y = 8 0 = y = 8 30 = 8 y = 8 0 = 9 Steffen So kannst du jeden Wert umrechnen. Zum Beispiel entsprechen 0 mph in den USA km/h in Deutschland.. Vervollständige die Tabelle mit der Zuordnungsvorschrift: y = k x und k = 7 3 x 2 3 y 2. Vervollständige die Tabelle einer proportionalen Zuordnung. Berechne dabei zunächst die Zuordnungsvorschrift. Runde auf zwei Nachkommastellen. x y 3 7

4 Zuordnungen Antiproportionale Zuordnung Im Gegensatz zu den proportionalen Zuordnungen sind antiproportionale Zuordnungen jene, bei denen die Proportionalitätskonstante k produktgleich ist. Das bedeutet, dass für jedes Wertepaar x und y die Multiplikation den gleichen Wert ergibt. Die Zuordnungsvorschrift lautet: y = k x und daher k = y x Hannah Ist dir aufgefallen, dass weniger Liegen am Pool frei sind, je wärmer es ist? 2 Sophie Ja, ist doch auch logisch, aber wie sieht der Zusammenhang aus? 3 Hannah Ich habe mal nachgezählt. Mo: 28 C und 8 Liegen frei Di: 32 C und 7 Liegen frei Mi: 2 C und 2 Liegen frei Bei dieser Beschreibung könnte es sich um eine antiproportionale Zuordnung handeln, da bei steigender Temperatur die Anzahl freier Liegen abnimmt. Um sicher zu sein, musst du aber überprüfen, ob diese Zuordnung produktgleich ist. Dafür prüfst du bei allen Wertepaaren x (Temperatur) und y (Anzahl freier Liegen), ob die gleiche Proportionalitätskonstante k entsteht. Produkte bilden: 28 8 = = = Da die Multiplikation nicht immer das gleiche k ergibt, ist diese Zuordnung nicht produktgleich und somit keine antiproportionale Zuordnung. Sophie Also gibt es keine regelmäßige Zuordnungsvorschrift.. Vervollständige die Tabelle mit der Zuordnungsvorschrift: y = k x x 2 3 y k = Überprüfe, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt: x y ,8 8 7

5 Winkel an Geradenkreuzungen Zwei sich schneidende Geraden werden auch als Geradenkreuzung bezeichnet. Dabei ist die Summe zweier nebeneinanderliegender Winkel 80. Man nennt sie Nebenwinkel. Die gegenüberliegenden Winkel sind sogenannte Gegenwinkel. Sie sind immer gleich groß. Bei Parallelen, die von einer Geraden geschnitten werden, spricht man von Stufenwinkeln, wenn diese auf der gleichen Seite der schneidenden Gerade liegen, und von Wechselwinkeln, auf unterschiedlichen Seiten. Sophie Ist dir mal aufgefallen, dass man bei Geradenkreuzungen nur einen Winkel kennen muss, um die fehlenden drei zu bestimmen? 2 Hannah Echt? Lass mich das mal überprüfen. Im Bild siehst du eine Geradenkreuzung. Einer der Winkel wurde mit 2 gemessen. Reicht diese Angabe tatsächlich, um auch die anderen Winkel zu kennen? Ja, Sophie hat recht. Der Winkel α ist 2 groß. Daher ist sein Nebenwinkel β 80-2 = groß. Nun fehlen uns noch die Größen der beiden anderen Winkel. Einer von ihnen ist der Gegenwinkel zu α und somit ebenfalls 2 groß. Der andere Winkel beträgt, da er Gegenwinkel zu β ist. Hannah Tatsächlich. Mit dem Trick kann man sich eine Menge Arbeit sparen. 7 = Bestimme die fehlenden Winkel in der Zeichnung. 2. Benenne Stufen- und Wechselwinkel. 7 2 = 3

6 Dreiecke und ihre Winkelsumme Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt immer 80 und die zwei kurzen Seiten sind zusammen länger als die dritte Seite. Es gibt verschiedene Arten von Dreiecken. Man spricht von einem - gleichseitigen Dreieck, wenn alle Seiten gleich lang und die Winkel 0 groß sind, - gleichschenkligen Dreieck, wenn zwei Schenkel gleich lang und ihre Winkel zur dritten Dreiecksseite, der Basis, gleich groß sind, - rechtwinkligen Dreieck, wenn ein Winkel genau 90 groß ist, - spitzwinkligen Dreieck, wenn alle Winkel kleiner sind als 90, - stumpfwinkligen Dreieck, wenn ein Winkel größer ist als 90. Steffen Ich wette, dass ich nur die Größe zweier Winkel eines Dreiecks kennen muss, um den dritten Winkel zu berechnen. 2 Jonas Da halte ich gegen. Bei gleichschenkligen Dreiecken musst du mir sogar nur eine Winkelgröße nennen! Sowohl Steffen als auch Jonas beziehen sich auf den Winkelsummensatz. Im Bild siehst du unten ein gleichschenkliges Dreieck und oben ein stumpfwinkliges Dreieck. Aus dem Winkelsummensatz ist bekannt: + + =80 Bei dem oberen Dreieck sind zwei Winkel gegeben. Für die Winkelsumme gilt dann: =80 = = Das untere Dreieck hat nur eine Winkelangabe. Durch Jonas Aussage, dass es sich dabei um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, kannst du jedoch schließen, dass auch der andere Basiswinkel groß ist. Daraus ergibt sich: + + =80 =80 = Steffen Okay, du hast gewonnen. Aber es muss gleichschenklig sein!. Gib die fehlenden Winkel der Dreiecke in der Zeichnung an. Benenne die Typen der Dreiecke. a) 30 2, cm b) 3 3cm 3 cm c) 2, cm d) Zeichne für jeden Typ ein Dreieck. Gib die Winkel an und markiere gleichlange Seiten.

7 Vierecke und ihre Winkelsumme Vierecke kann man verschiedenen Arten zuordnen. Es gibt: - Quadrate: Vier gleich lange Seiten und vier 90 -Winkel. - Rechtecke: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und alle Winkel 90 groß. - Parallelogramme: Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang. - Rauten: Vier gleich lange Seiten und gleich große gegenüberliegende Winkel - Trapez: Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. Sind die beiden anderen Seiten gleich lang, handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez. - Drachen: Jeweils zwei nebeneinanderliegende Seiten sind gleich lang. Bei allen Vierecken ergibt die Summe der Winkel Sophie Klar! Sag mir einfach, wie groß zwei der vier Winkel sind und wie lang eine Seite sein soll. Jonas Ich möchte mir für den Strand einen Drachen bauen. Weißt du, wie ich die Form am besten aufzeichnen kann. Jonas möchte, dass der Winkel an der oberen Spitze 90 und der Winkel an der unteren Spitze 0 groß ist. Die obere Seite soll 30 cm lang sein. Zeichne einen rechten Winkel, dessen beiden Schenkel 30 cm lang sind. Dies wird die obere Spitze. Mit der Winkelsumme kannst du jetzt die beiden gegenüberliegenden Winkel an den Seiten ausrechnen. 30cm 30cm =30 + = =20 Die seitlichen Winkel müssen demnach zusammen 20 groß sein. Da sie gleich groß sind, kann man einfach durch 2 teilen. Zeichne nun an beide Schenkel jeweils einen 0 -Winkel. Der Punkt, an dem sich die beiden neuen Schenkel schneiden, ist die untere Ecke des Drachens. Zur Kontrolle kannst du nachmessen, ob der untere Winkel tatsächlich 0 groß ist. Jonas Das geht ja wirklich ganz leicht!. Benenne die Vierecke in der Zeichnung und bestimme die fehlenden Winkel. a) b) c) d)

8 Kongruenz von Dreiecken Man bezeichnet zwei Figuren als kongruent, wenn sie deckungsgleich, d.h. identisch in allen ihren Abmaßen sind. Um zu überprüfen, ob zwei Dreiecke kongruent sind, reicht es, dass eines der folgenden vier Kriterien erfüllt ist: - SSS: Alle drei Seitenlängen stimmen überein. - WSW oder SWW: Eine Seite sowie zwei Winkel mit gleicher Position stimmen überein. - SWS: Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel sind gleich groß. - SsW: Zwei Seitenlängen und der Winkel gegenüber der größeren Seite sind identisch. Steffen Ich habe ein Dreieck gezeichnet. Eine Seite ist cm lang und die beiden anliegenden Winkel sind 0 und 80 groß. 2 Jonas Mal schauen, ob ich mit diesen Angaben das gleiche Dreieck zeichnen kann. Zeichne als Erstes die Seite mit cm. Im nächsten Schritt legst du an den Enden dieser Seite dein Geodreieck an, um die jeweiligen Winkel zu konstruieren. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist die letzte Ecke des Dreiecks. A Die Benennung der Eckpunkte eines Dreiecks erfolgt in Großbuchstaben gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten bekommen kleine Buchstaben und liegen gegenüber vom gleichnamigen Eckpunkt. Die Winkel erhalten den zugehörigen griechischen Buchstaben zum Eckpunkt. =0 B c a=cm b C =80 Steffen Tatsächlich, unsere Dreiecke sind deckungsgleich.. Konstruiere folgende Dreiecke. Erstelle zuvor eine Planskizze eines Dreiecks, in der du die Seiten und Winkel benennst. a) a = 3 cm, c = cm, β = 70 b) α = 3, γ = 90, b = cm c) β =, c = 2, cm, γ = 0 d) a = cm, b =, cm, c = 7, cm e) b = 3, cm, β = 00, α = 0 2. Welche Dreiecke sind kongruent? Benenne das Kongruenzkriterium. 0 8cm cm 3 7cm cm 2 cm 8cm 0 cm 3,cm cm cm ,cm 8cm 7cm 80 7 cm 8 cm 7

9 Besondere Linien im Dreieck Zu jedem Dreieck gehören besondere Linien, die zum Konstruieren oder Berechnen benötigt werden. - Höhen stehen senkrecht auf einer Dreiecksseite und Verlaufen zur gegenüberliegenden Ecke. - Seitenhalbierende teilen eine Dreiecksseite mittig und verlaufen zur gegenüberliegenden Ecke. - Winkelhalbierende teilen die Winkel in zwei gleich große Teilwinkel und verlaufen zur gegenüberliegenden Seite. - Mittelsenkrechten verlaufen senkrecht zur Dreiecksseite und teilen diese mittig. 2 Sophie Weißt du, wie man die alle konstruiert? Steffen Ich wusste gar nicht, dass es so viele wichtige Linien in einem Dreieck gibt. Zeichne zunächst ein Dreieck, ähnlich dem in der Abbildung. Konstruiere zuerst die Höhe ha zur Seite a. Führe dafür dein Geodreieck mit der Mittellinie über die Seite a, bis du eine Senkrechte durch den Eckpunkt A ziehen kannst. Die Winkelhalbierende wα zum Winkel α lässt sich einzeichnen, indem du den Winkel misst und bei der halben Größe einen weiteren Schenkel einzeichnest. Um die Seitenhalbierende sc der Seite c zu konstruieren, vermisst du die Seite und markierst die Mitte. Von dort ziehst du eine Gerade zur gegenüberliegenden Ecke. Die Mittelsenkrechte mb zeichnet man ähnlich wie die Seitenhalbierende, doch statt von der Mitte zur gegenüberliegenden Ecke zu zeichnen, zeichnest du eine Senkrechte. B c m b a sc wα A h a b C Steffen Gar nicht so leicht, sich die alle zu merken. Aber meistens erkennt man schon an der Bezeichnung, was zu tun ist.. Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 8 cm, b = cm und c = cm. Zeichne sämtliche Höhen ein und miss deren Längen. Zeichne außerdem die Seitenhalbierenden ein. 2. Konstruiere ein Dreieck mit b = 7 cm, α = 0 und c = cm. Zeichne die Winkelhalbierenden und miss die fehlenden Winkel. Zeichne außerdem alle Mittelsenkrechten ein. 8