Lösungen - 7. Klasse / 7. Schulstufe

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1 Lösungen der Aufgaben Lösungen - 7. Klasse / 7. Schulstufe 1. Auf jedem der zehn Felder der nebenstehenden 2 5 Tabelle befindet sich ein Mensch, der entweder ein Ehrlicher oder ein Lügner ist. Die Ehrlichen sagen stets die Wahrheit, die Lügner lügen stets. Jeder der zehn Menschen behauptet: Genau ein Nachbar von mir ist ein Ehrlicher. Die Frage: Wie viele Ehrliche können sich unter den zehn Menschen insgesamt befinden? Bemerkung: Zwei Menschen gelten als benachbart, wenn ihre Felder eine gemeinsame Seite haben. (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 0 und 6 Lösungen sind. Dazu geben wir je ein Beispiel an. E steht für einen Ehrlichen, L für einen Lügner. In Figur 1 gibt es keine (also 0) Ehrliche, sondern lauter Lügner. Begründung: L L L L L E L E L E L L L L L E L E L E Figur 1 Figur 2 Kein einziger Mensch aus Figur 1 hat Ehrliche als Nachbarn. Genau ein Nachbar von mir ist ein Ehrlicher trifft damit nicht zu und ist somit eine passende Behauptung eines Lügners. In Figur 2 gibt es genau 6 Ehrliche. Jeder von ihnen hat genau einen ehrlichen Nachbarn. Die Aussage Genau ein Nachbar von mir ist ein Ehrlicher trifft für alle Ehrlichen zu. In Figur 2 gibt es zudem noch 4 Lügner. Jeder von ihnen hat genau zwei ehrliche Nachbarn. Die Aussage Genau ein Nachbar von mir ist ein Ehrlicher trifft für sie nicht zu und ist somit eine passende Behauptung eines Lügners. In Teil 2 zeigen wir, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Wir formulieren dazu einige Feststellungen. 1. Feststellung: Es kann nicht sein, dass alle zehn Menschen Ehrliche sind. Dazu betrachten wir Figur 3. Z. B. hat der fett gedruckte Ehrliche keine 2, sondern drei ehrliche Nachbarn. Damit trifft für ihn die Aussage Genau ein Nachbar von mir ist ein Ehrlicher nicht zu. Dies geht jedoch nicht, da er die Wahrheit sagen muss. E E E E E E L L E E E E E E E L E E L? Figur 3 Figur 4

2 7. Klasse / 7. Schulstufe 2. Feststellung: Die Ehrlichen treten paarweise auf. Begründung: Dies liegt daran, dass jeder Ehrliche genau einen ehrlichen Nachbarn haben muss. Die zwei bilden dann ein Paar. 3. Feststellung: Ein Paar Ehrliche aus der 2. Feststellung kann nicht in derselben Zeile sein. Dies schildern wir an einem Beispiel (siehe Figur 4). Die zwei fett markierten Ehrlichen erfüllen noch die Bedingung. Das Fragezeichen stellt uns aber vor eine unlösbare Aufgabe. Wenn? ein E wäre, dann hätte E oben rechts zwei benachbarte Ehrliche, was nicht geht. Wenn? ein L wäre, dann hätte dieser Lügner genau einen ehrlichen Nachbarn (und zwar das E oben rechts), was auch nicht geht. Anregung: Der geneigte Leser möge weitere Beispiele untersuchen. 4. Feststellung: Die paarweise verteilten Ehrlichen können sich nur in Spalten befinden. Dies folgt aus der 2. und 3. Feststellung. Damit ergeben sich zwei Möglichkeiten: L E L E L E L E L E L E L E L E L E L E Figur 5 Figur 6 Figur 5 stellt keine Lösung dar, weil z. B. L genau einen ehrlichen Nachbarn hat, was nicht geht. Figur 6 erfüllt alle Bedingungen. Sie ist jedoch nicht neu, sondern ist die bekannte Figur 2 mit 6 Ehrlichen. Die richtige(n) Antwort(en): A, D 2. Manuel setzt Klammern in den Term 2 : 3 : 4 : 5 : 6 und berechnet anschließend das Ergebnis. Welche der unten aufgezählten Zahlen kann er als Ergebnis erhalten? (A) 5 (B) (C) 80 (D) (E) Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass (A), (B), (C) und (E) Lösungen sind. Dazu geben wir je ein passendes Beispiel an (A): 2:3 : (4:5) : 6 : : (B): 2:3 : 4 : 5: 6 : (C): 2: 3: 4 :5 : 6 2: :5 2: : 3: 4 :5 : 6 2: : 6 2: (E): 20 9

3 Lösungen der Aufgaben In Teil 2 zeigen wir, dass 1 80 keine Lösung ist. Tatsächlich, 1 1. Die kann man nicht zerlegen, 4 = 2 2, 5 kann man nicht zerlegen, 6 = 2 3. Um zu erhalten, müsste man alle vier Zahlen 2, 4, 5 und 6 im Nenner haben. Dies geht jedoch nicht, denn die 2 im Term steht stets im Zähler, nicht im Nenner. Daher ist (D) keine Lösung. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C, E 3. Im Dreieck ABC beträgt der Innenwinkel bei A 60 und der Innenwinkel bei B 100. In wie viele gleichschenklige Dreiecke kann das Dreieck ABC zerschnitten werden? Bemerkung: Außer gleichschenkligen Dreiecken sind keine anderen Figuren entstanden. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Lösung: Alle fünf aufgeführten Antworten sind möglich. Dazu geben wir jeweils ein passendes Beispiel an. 2 gleichschenklige Dreiecke 3 gleichschenklige Dreiecke 4 gleichschenklige Dreiecke

4 7. Klasse / 7. Schulstufe 5 gleichschenklige Dreiecke 6 gleichschenklige Dreiecke Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C, D, E 4. Auf einem Kindergeburtstag haben alle Kinder insgesamt 200 Plätzchen gegessen. Niemand aß so viel wie Lukas, der 11 Plätzchen schaffte. Und niemand aß so wenig wie Sarah, die nur 8 Plätzchen schaffte. Wie viele Kinder können insgesamt anwesend gewesen sein? Bemerkung: Kein Plätzchen wurde geteilt. Jedes Kind aß also nur ganze Plätzchen. (A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24 Lösung: Die anderen Kinder konnten nur 9 oder 10 Plätzchen gegessen haben (weniger als Lukas und mehr als Sarah). In Teil 1 zeigen wir, dass 21 eine Lösung ist. Tatsächlich: Lukas aß 11 Plätzchen, Sarah 8 Plätzchen. 10 Kinder aßen 10, 9 Kinder 9 Plätzchen. Probe: = 21 und = 200. In Teil 2 zeigen wir, dass 22 eine Lösung ist. Tatsächlich: Lukas aß 11 Plätzchen, Sarah 8 Plätzchen. 1 Kind aß 10, 19 Kinder aßen 9 Plätzchen. Probe: = 22 und = 200. In Teil 3 zeigen wir, dass 20 keine Lösung darstellt. Selbst wenn alle anderen 18 Kinder 10 Plätzchen gegessen hätten, ergeben sich nur = 199 Plätzchen und keine 200. Daher ist 20 keine Lösung. In Teil 4 zeigen wir, dass 23 keine Lösung darstellt. Selbst wenn alle anderen 21 Kinder 9 Plätzchen gegessen hätten, ergeben sich bereits = 208 Plätzchen statt 200. Daher ist 23 keine Lösung. Beachte: Wenn 23 keine Lösung ist, dann stellt 24 ebenfalls keine Lösung dar. Die richtige(n) Antwort(en): B, C

5 Lösungen der Aufgaben 5. Claudius bastelt aus L-Formen aus der linken Figur Treppen. Die rechte Figur zeigt eine fertige 6-stufige Treppe. Claudius bastelt weitere solche Treppen aus L-Formen. L-Form Wie viele Stufen können seine gebastelten Treppen haben? Bemerkung: Claudius kann so viele L-Formen verwenden, wie er will. (A) 7 (B) 9 (C) 12 (D) 13 (E) 16 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 9 und 12 Lösungen sind. Dazu geben wir je eine passende Figur an. 9-stufige Treppe 12-stufige Treppe In Teil 2 zeigen wir, dass 7, 13 und 16 keine Lösungen sind. Jede L-Form hat drei Quadrate. Daraus folgt: Feststellung: Die Gesamtzahl der Quadrate in einer aus L-Formen konstruierten Treppe ist teilbar durch 3. Eine 7-stufige Treppe bestünde aus insgesamt = 28 Quadraten. 28 ist aber nicht teilbar durch 3. Daraus folgt, dass Claudius keine 7-stufige Treppe basteln kann. Eine 13-stufige Treppe bestünde aus insgesamt = 91 Quadraten. 91 ist aber nicht teilbar durch 3. Daraus folgt, dass Claudius keine 13-stufige Treppe basteln kann. Eine 16-stufige Treppe bestünde aus = 136 Quadraten. 136 ist aber nicht teilbar durch 3. Daraus folgt, dass Claudius keine 16-stufige Treppe basteln kann. Die richtige(n) Antwort(en): B, C

6 7. Klasse / 7. Schulstufe 6. Peter hat ein Quadrat durch gerade Schnitte in 10 kleinere Quadrate zerlegt. Die Seitenlängen aller entstandenen Quadrate sind ganze Zahlen (in cm). In der Zerlegung beträgt die kleinste Seitenlänge eines Quadrates 1 cm. Die Frage: Wie viele cm lang kann die Seite des Ausgangsquadrats gewesen sein? Bemerkung: Bei der Zerlegung sind außer Quadrate keine anderen Figuren entstanden. (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 4, 5, 7 und 8 Lösungen sind. Dazu geben wir je ein passendes Beispiel an: 4 cm 5 cm 7 cm 8 cm In Teil 2 zeigen wir, dass 6 keine Lösung darstellt. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 cm hat den Flächeninhalt 36 cm 2. Die Zerlegung in genau 10 kleinere Quadrate würde bedeuten, dass 36 als Summe von 10 Quadratzahlen dargestellt wird. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm hat den Flächeninhalt 1 cm 2, ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 cm den Flächeninhalt 4 cm 2 ein Quadrat mit der Seitenlänge 3 cm den Flächeninhalt 9 cm 2 usw. Es lässt sich zeigen: 36 = (*) ist die einzige Rechnung mit 10 Summanden, die aufgeht. Die Gleichung (*) kann aber durch keine Zerlegung erreicht werden. Begründung: Wenn wir in das 6 cm 6 cm Quadrat ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 9 cm 2 (3 3) einzeichnen, kann in der Zerlegung ein 4 cm 2 Quadrat (2 2) höchstens 5 mal und nicht 6 mal vorkommen. Dies zeigt die Figur. Anregung: Der geneigte Leser möge weitere Beispiele prüfen. Figur Die richtige(n) Antwort(en): A, B, D, E

7 Lösungen der Aufgaben 7. Andrea zeichnet auf ein Blatt Papier einige Geraden, so dass jede Gerade genau 6 andere Geraden schneidet. Wie viele Geraden kann Andrea insgesamt gezeichnet haben? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12 Lösung: 7, 8, 9 und 12 stellen Lösungen dar. Dazu geben wir je ein passendes Beispiel an. 7 Geraden 8 Geraden 9 Geraden 12 Geraden Es lässt sich zeigen, dass 10 keine Lösung ist. Ganz egal, wie wir es mit 10 Geraden versuchen, es klappt nicht, dass jede der 10 Geraden genau 6 der anderen Geraden schneidet. Der geneigte Leser möge dies durch eigene Beispiele prüfen. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C, E 8. Die Figuren (A), (B), (C), (D), (E) zeigen je einen Würfel, bei dem einige Kanten fett gezeichnet sind. Julia zerschneidet jeden Würfel entlang der fett gezeichneten Kanten und versucht anschließend, durch Auslegen in die Ebene das nebenstehende Netz des Würfels zu bekommen. Die Frage: Bei welchen der fünf Würfel kann dies gelingen? (A) (B) (C) (D) (E) Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass (B) und (E) Lösungen darstellen. Begründung: In beiden Fällen werden die vier Quadrate der waagerechten Reihe des Netzes durch folgende Seitenflächen der Würfel gebildet: vordere Seitenfläche, obere Seitenfläche, hintere und untere Seitenfläche. Aus der linken und Figur 1 der rechten Seitenfläche entstehen die anderen zwei Quadrate des Netzes. In Teil 2 zeigen wir, dass (A) keine Lösung ist. Begründung: Wenn man das Quadrat entlang der fett gezeichneten Kanten zerlegt, erhält man das Netz aus Figur 1, das jedoch nicht mit dem Netz aus dem Aufgabentext übereinstimmt.

8 7. Klasse / 7. Schulstufe In Teil 3 zeigen wir, dass (C) keine Lösung ist. Begründung: Der markierte Eckpunkt aus Figur 2 liegt auf keiner der bei (C) fett gezeichneten Kanten. Dies bedeutet: Die rechte, die obere und die hintere Seitenfläche können nicht in ein Netz ausgelegt werden. In Teil 4 zeigen wir, dass (D) keine Lösung ist. Begründung: Figur 2 Die rechte, die obere und die hintere Seitenfläche können ebenfalls nicht in ein Netz ausgelegt werden. Dies liegt daran, dass die in (D) oben rechts fett gezeichnete Kante mit keiner anderen Kante verbunden ist. Die richtige(n) Antwort(en): B, E 9. Bei einer Modelleisenbahn spielen Daniel und Fabian mit zwei Zügen. Daniel hat den weißen, Fabian den grauen Zug. Die zwei Züge fahren langsam aufeinander zu. Beide Züge bestehen aus einer Lokomotive und aus je 80 gleich großen Waggons. Damit die Züge aneinander vorbeifahren können, kann man die Ausweichstrecke AB benutzen. Die Frage: Für wie viele Waggons muss die Ausweichstrecke Platz bieten, damit das aneinander Vorbeifahren gelingt? (zu den Waggons muss auch noch eine Lokomotive auf die Ausweichstrecke passen) Bemerkungen: Die Ausweichstrecke kann beliebig oft benutzt werden und es können Waggons zum Rangieren abgekoppelt werden. (A) 40 (B) 44 (C) 50 (D) 60 (E) 70 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 40 eine Lösung ist. Um die Lösung besser nachvollziehen zu können, haben wir die 80 Waggons in zwei Blöcke a 40 Waggons dargestellt. Die Kreise stellen die Loks dar. Im 1. Schritt zieht Fabians Lok 40 Waggons auf die Ausweichstrecke. Die anderen 40 Waggons aus Fabians Zug halten ausreichend Abstand (siehe Figur 1). Figur 1 Im 2. Schritt fährt Daniels Zug an der Ausweichstrecke vorbei, bis zu den restlichen Waggons aus Fabians Zug (siehe Figur 2). Figur 2

9 Lösungen der Aufgaben Im 3. Schritt zieht Fabians Lok die 40 Waggons von der Ausweichstrecke weit genug auf die eigentliche Strecke (siehe Figur 3). Figur 3 Im 4. Schritt fährt Daniels Zug an der Ausweichstrecke rückwärts vorbei, bis zu den 40 Waggons aus Fabians Zug aus dem 3. Schritt. Daniels Lok steht jetzt links von der Ausweichstrecke (siehe Figur 4). Figur 4 Im 5. Schritt fährt Daniels Lok an der Ausweichstrecke vorbei, bis zu den restlichen Waggons aus Fabians Zug. Anschließend zieht Daniels Lok die restlichen 40 Waggons von Fabian auf die Ausweichstrecke (siehe Figur 5). Figur 5 Im 6. Schritt fährt Daniels Lok zu Daniels Waggons zurück und zieht anschließend Daniels ganzen Zug an der Ausweichstrecke vorbei (siehe Figur 6). Figur 6 Im 7. Schritt fährt Fabians Lok samt Waggons rückwärts und holt die Waggons auf der Ausweichstrecke (siehe Figur 7). Figur 7 Beide Züge haben die Ausweichstrecke passiert und befinden sich nun auf der jeweils anderen Seite als zu Beginn. Wir haben damit gezeigt, dass 40 eine Lösung ist.

10 7. Klasse / 7. Schulstufe In Teil 2 zeigen wir, dass 44, 50, 60 und 70 ebenfalls Lösungen sind. Tatsächlich, wenn auf die Ausweichstrecke mehr als 40 Waggons passen, dann passen auch 40 Waggons darauf. Daher kann man den ganzen Gedankengang aus Teil 1 wiederholen. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C, D, E 10. Aaron schreibt Bea vier ganze Zahlen auf. Bea bildet aus diesen ganzen Zahlen paarweise alle möglichen positiven Differenzen und notiert diese. Welche der unten aufgeführten Ergebnisse kann sie dabei erhalten? (A) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (B) 1, 2, 2, 3, 4, 5 (C) 2, 2, 3, 4, 5, 6 (D) 2, 3, 3, 5, 6, 8 (E) 2, 3, 3, 4, 5, 7 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass (A) eine Lösung ist. Tatsächlich, wenn die vier Zahlen 1, 2, 5 und 7 sind, dann erhält Bea genau die Differenzen 2 1 = 1, 7 5 = 2, 5 2 = 3, 5 1 = 4, 7 2 = 5 und 7 1 = 6. In Teil 2 zeigen wir, dass (B) eine Lösung ist. Tatsächlich, wenn die vier Zahlen 2, 4, 6 und 7 sind, dann erhält Bea genau die Differenzen 7 6 = 1, 4 2 = 2, 6 4 = 2, 7 4 = 3, 6 2 = 4 und 7 2 = 5. In Teil 3 zeigen wir, dass (D) eine Lösung ist. Tatsächlich, wenn die vier Zahlen 1, 3, 6 und 9 sind, dann erhält Bea genau die Differenzen 3 1 = 2, 6 3 = 3, 9 6 = 3, 6 1 = 5, 9 3 = 6 und 9 1 = 8. In Teil 4 zeigen wir, dass (C) und (E) keine Lösungen sind. Dazu bezeichnen wir Aarons Zahlen in aufsteigender Reihenfolge mit a, b, c, d: a < b < c < d. (keine zwei Zahlen können gleich sein. Ansonsten wäre ihre Differenz 0, die jedoch bei den Antworten nicht vorkommt). a ist die kleinste, d die größte Zahl und d a ist die größte Differenz. Beachte: Bei (C) beträgt die größte Differenz 6. Damit ist d a = 6. Andererseits gilt: 6 = d a = d c + c b + b a = (d c) + (c b) + (b a). Die drei Differenzen aus den Klammern betrügen laut (C) mindestens = 7. Dies geht aber nicht, da das Ergebnis 6 und nicht 7 ist. Damit ist bewiesen, dass (C) keine Lösung ist. Bei (E) beträgt die größte Differenz 7. Damit ist d a = 7. Andererseits gilt: 7 = d a = d c + c b + b a = (d c) + (c b) + (b a). Die drei Differenzen aus den Klammern betrügen laut (E) mindestens = 8. Dies geht aber nicht, da das Ergebnis bei (E) 7 und nicht 8 ist. Damit ist bewiesen, dass (E) keine Lösung ist. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, D

11 Lösungen der Aufgaben 11. Auf ein 8 8 Spielbrett stellt Marco einige Steine, so dass folgende Bedingungen gleichzeitig erfüllt werden: I. Keine der zwei Steine können sich schlagen. und II. Wenn man noch einen Stein aufs Brett legt (egal wohin), gibt es mindestens zwei Steine, die sich schlagen können. Bemerkung: Zwei Steine können sich genau dann schlagen, wenn sie sich auf benachbarten Feldern befinden (auf Feldern, die eine gemeinsame Seite oder einen gemeinsamen Eckpunkt besitzen). Die Frage: Wie viele Steine kann Marco insgesamt auf das Brett stellen? (A) 8 (B) 9 (C) 13 (D) 16 (E) 17 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 und 16 Lösungen sind. Dazu geben wir je ein passendes Beispiel an. 9 Steine 10 Steine 11 Steine 12 Steine 13 Steine 14 Steine 15 Steine 16 Steine Wir haben eigentlich mehr gezeigt, als verlangt wurde. Es folgt, dass aus den aufgezählten Antworten 9, 13 und 16 Lösungen sind. In Teil 2 schildern wir, dass 8 keine Lösung darstellt. Dies zeigen wir an einem Beispiel. Stellen wir uns vor, dass man von der Figur mit 9 Steinen einen Stein entfernt hat (siehe Figur 1). So stehen nun genau 8 Steine auf dem Brett. Man könnte einen weiteren Stein aufs Brett stellen (ein mögliches Feld wurde auf Figur 2 mit x markiert), so dass keine zwei Steine sich schlagen können. Die Bedingung II. ist damit nicht erfüllt. Dies bedeutet, dass 8 keine Lösung darstellt. Anregung: Der geneigte Leser möge weitere Beispiele prüfen. In Teil 3 zeigen wir, dass 17 keine Lösung darstellt. Dazu zerlegen wir das Brett in 16 Quadrate der Form 2 2 (siehe Figur 3). In jedem dieser Quadrate darf höchstens ein Stein stehen (wegen I.). Also können auf dem Brett höchstens 16 Steine stehen. Daher stellt 17 keine Lösung dar.

12 7. Klasse / 7. Schulstufe Figur 1 Figur 2 Figur 3 Die richtige(n) Antwort(en): B, C, D 12. Nora zerlegt die nebenstehende Figur entlang der Gitternetzlinien in mehrere Teile. Sie stellt fest: Alle entstandenen Teile haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Die Frage: In insgesamt wie viele Teile konnte Nora die Figur zerlegt haben? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 8 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 2, 4 und 8 Lösungen sind. Dazu geben wir je ein passendes Beispiel an. 2 gleiche Teile 4 gleiche Teile 8 gleiche Teile In Teil 2 zeigen wir, dass 3 und 6 keine Lösungen sind. Die Ausgangsfigur besteht aus 16 Kästchen. Wenn 3 eine Lösung wäre, dann gäbe es drei gleiche Teile, die jeweils 16 3 = 5,3 Kästchen enthalten müssten. Dies geht aber nicht. Begründung: Da Nora die Figur entlang der Gitternetzlinien zerlegte, müssen alle Teile eine ganze Anzahl von Kästchen beinhalten. 5,3 ist jedoch keine ganze Zahl. 16 ist ebenso keine ganze Zahl. Daraus folgt, dass 6 ebenfalls 6 keine Lösung ist. Die richtige(n) Antwort(en): A, C, E

13 Lösungen der Aufgaben 13. In einer Urne gibt es rote, weiße und grüne Kugeln. Es gilt: I. Wenn man aus der Urne 5 Kugeln zieht, erhält man auf jeden Fall mindestens eine rote Kugel. Wenn man aus der Urne jedoch nur 4 Kugeln zieht, dann kann es passieren, dass man keine rote Kugel erhält. und II. Wenn man aus der Urne 6 Kugeln zieht, erhält man auf jeden Fall mindestens eine grüne Kugel. Wenn man aus der Urne jedoch nur 5 Kugeln zieht, dann kann es passieren, dass man keine grüne Kugel erhält. Die Frage: Insgesamt wie viele rote und grüne Kugeln können in der Urne sein? (gemeint ist die Summe aus den roten und grünen Kugeln) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 11 Lösung: In Teil 1 führen wir Bezeichnungen ein und formulieren einige Feststellungen. Mit R bezeichnen wir eine rote, mit W eine weiße und mit G eine grüne Kugel. 1. Feststellung: Von allen drei Farben gibt es mindestens eine Kugel in der Urne. 2. Feststellung: Die Bedingungen I. und II. müssen gleichzeitig erfüllt werden. 3. Feststellung: In der Urne gibt es mindestens 6 Kugeln. Dies folgt aus der Bedingung II. 4. Feststellung: Die Summe der grünen und weißen Kugeln ist in der Urne ursprünglich genau 4. Begründung: Wenn diese Summe mehr als 4 wäre (Beispiel: G, G, G, W, W) dann wäre der erste Teil der Bedingung I. nicht erfüllt, denn wenn man genau diese 5 Kugeln zöge, erhielte man keine rote. Wenn die Summe jedoch weniger als 4 wäre (Beispiel: G, G, W), dann müsste die vierte Kugel rot (R) sein. Damit wäre der zweite Teil der Bedingung I. nicht erfüllt, denn beim Ziehen dieser 4 Kugeln könnte es nicht passieren, dass man keine rote Kugel bekommt. Ähnlich kann man zeigen: 5. Feststellung: Die Summe der roten und weißen Kugeln beträgt in der Urne genau 5. Anregung: Der geneigte Leser möge dies mit II. prüfen. Aus der 4. Feststellung folgt: 6. Feststellung: Es gibt höchstens 3 weiße Kugeln. In Teil 2 ermitteln wir die Lösungen. Dazu untersuchen wir die Fälle, die sich aus der 6. Feststellung ergeben. 1. Fall: Es gibt genau 3 weiße Kugeln. Aus der 4. Feststellung folgt, dass es dann 1 grüne Kugel gibt. Aus der 5. Feststellung folgt, dass es dann 2 rote Kugeln gibt. Damit ist Summe der roten und grünen Kugeln Fall: Es gibt genau 2 weiße Kugeln. Aus der 4. Feststellung folgt, dass es dann 2 grüne Kugeln gibt. Aus der 5. Feststellung folgt, dass es dann 3 rote Kugeln gibt. Damit ist Summe der roten und grünen Kugeln 5.

14 7. Klasse / 7. Schulstufe 3. Fall: Es gibt genau 1 weiße Kugel. Aus der 4. Feststellung folgt, dass es dann 3 grüne Kugeln gibt. Aus der 5. Feststellung folgt, dass es dann 4 rote Kugeln gibt. Damit ist Summe der roten und grünen Kugeln 7. Aufgabe zur detaillierten Ausarbeitung: Die richtige(n) Antwort(en): A, C 14. Schreibt alle positiven fünfstelligen Zahlen auf, für die gilt: I. Die erste Ziffer von links ist die 7. und II. Die Quersumme beträgt 11. Notiert auch, wie viele Zahlen ihr insgesamt erhalten habt. Bemerkung: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Lösung: Eine solche Zahl hat die Form 7abcd. Wegen II. gilt: a + b + c + d = 4 (11 7). Wir untersuchen nun mehrere Fälle. 1. Fall: Von den vier Ziffern a, b, c, d ist eine die 4 und drei sind Nullen. Es entstehen folgende Zahlen: 74000, 70400, 70040, 70004, also 4 Zahlen (2 Punkte). 2. Fall: Von den vier Ziffern a, b, c, d ist eine die 3, eine ist die 1 und zwei sind Nullen. Es entstehen folgende Zahlen: 73100, 73010, 73001, 71300, 71030, 71003, 70310, 70301, 70130, 70103, 70031, also 12 Zahlen (4 Punkte). 3. Fall: Von den vier Ziffern a, b, c, d sind zwei je eine 2 und zwei sind Nullen. Es entstehen folgende Zahlen: 72200, 72020, 72002, 70220, 70202, 70022, also 6 Zahlen (3 Punkte). 4. Fall: Von den vier Ziffern a, b, c, d ist eine die 2, zwei sind je eine 1 und eine ist die Null. Es entstehen folgende Zahlen: 72110, 72101, 72011, 71210, 71201, 71120, 71102, 71021, 71012, 70211, 70121, 70112, also 12 Zahlen (4 Punkte). 5. Fall: Alle vier Ziffern a, b, c, d sind je eine 1. Es entsteht die Zahl 71111, also nur 1 Zahl (2 Punkte). Insgesamt gibt es = 35 solche Zahlen (1 Punkt). (maximal 16 Punkte).