1 Herangehensweise an eine Aufgabe

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1 Im Folgenden seien sofern nicht anders angegeben G eine Gruppe, R, S Ringe, I, J Ideale, K, L Körper, p Z eine Primzahl und m Z. 1 Herangehensweise an eine Aufgabe Soll man einen gewissen Sachverhalt A = B beweisen, also unter der Annahme das A gilt zeigen, dass B gilt, so ist oft die folgende Herangehensweise hilfreich: Überprüfen, ob B nach einem Satz aus A folgt, und ob man möglicherweise A aus A folgern kann. Stellt sich heraus, dass aus A folgt, dass A nicht gelten kann, so versuche man es mit einem anderen Satz, der B unter anderen Voraussetzungen A impliziert. Angenommen man hat nun einen Satz A = B und A widerspricht nicht A. Dann sollte man versuchen zu zeigen, dass A = A, wofür man (wenn man nicht direkt sieht, wie man es beweisen könnte) wieder das hier beschriebene Verfahren anwenden kann. Dazu ist es oft nötig eine oder mehrere Definitionen zu verwenden. Andersherum kann es sich auch lohnen, wenn man von der Voraussetzung A ausgeht und versucht schrittweise eine Kette von Implikationen aufzubauen, die hoffentlich irgendwann zu B führen. In vielen Fällen ist es am besten beide Ansätze zu verfolgen, in der Hoffnung, dass sich beide Wege irgendwo in der Mitte treffen. Ein Beispiel, wo dies schnell zum Ergebnis führt, ist der Beweis für folgende Aussage (Blatt 3, Aufgabe 4): Seien p, q Primzahlen mit p > q. Dann besitzt jede Gruppe G der Ordnung pq einen Normalteiler verschieden von G und {e}. Betrachten wir also zunächst die Definition eines Normalteilers: Ein Normalteiler N von G ist eine Untergruppe von G mit g G : gng 1 N. Wir möchten nun zeigen, dass es einen nicht trivialen Normalteiler N gibt, also dass N G und N {e}. Dafür reicht es einen Normalteiler N zu suchen, für den N G = pq und N {e} = 1 gilt. Was könnte also für N in Frage kommen? Offensichtlich muss N G gelten, denn N ist ja eine Untergruppe von G. Es gibt nun einen Satz, der etwas über die Ordnung von Untergruppen einer Gruppe aussagt: den Satz von Lagrange. Nach diesem teilt die Ordnung jeder Untergruppe N von G die Ordnung von G, hier gilt also N {1, p, q, pq}. Nun ist aber nach obiger Überlegung N {1, pq}, also N {p, q}. Wir benötigen also einen Satz, der uns eine Aussage darüber liefert, wann eine Untergruppe N der Ordnung p bzw. q von G existiert und wann es sich um einen Normalteiler handelt. Offenbar handelt es sich bei solchen Untergruppen N der Ordnung p bzw. q um p- bzw. q-sylowgruppen. Mit dem 2. Sylowschen Satz können wir aus der Existenz genau einer p- bzw. q-sylowgruppe in G darauf schließen, dass diese ein Normalteiler in G ist. Damit wären wir also fertig. Es ist also nur noch zu zeigen, dass G genau eine p- oder genau eine q- Sylowgruppe hat. Über die Anzahl der p- bzw. q-sylowgruppen macht der 3. Sylowsche Satz eine Aussage: 1

2 Ist n p die Anzahl der p-sylowgruppen in G (mit G = pq), so gilt q n p und n p 1 mod p, also p (n p 1). Analoges gilt für n q mit vertauschten Rollen von p und q. Da q ein Primzahl ist gilt also n p {1, q}. Hier kommt nun die Voraussetzung p > q ins Spiel. Wäre n p = q, dann müsste ja p (q 1) gelten, also p q 1 < q. Mit diesem Widerspruch folgt nun n p = 1. Es gibt also genau eine p- Sylowgruppe N in G. Nach dem 2. Sylowschen Satz ist also N Normalteiler in G. Also p-sylowgruppe hat N als Ordnung die höchste p-potenz in G = pq, also p 1. Somit erhalten wir N = p und damit N G und N {e}. Gegenbeispiele Nehmen wir an, es sie ein Gegenbeispiel zu einer Aussage A(x) = B(x) gesucht ist, also ein x für das A(x) gilt, B(x) aber nicht. Angenommen es gibt einen Satz Ã(x) = B(x), wobei à = A gilt, also Ã(x) ein Spezialfall von A(x) ist, für den B(x) immer gilt wenn Ã(x) gilt. Dann muss das gesuchte Gegenbeispiel A erfüllen, darf aber à nicht erfüllen, denn sonst würde es ja auch B erfüllen. Auf diese Art lässt sich die Menge der möglichen Gegenbeispiele teilweise deutlich verkleinern. Dies funktioniert beispielsweise bei Aufgabe 2 auf Blatt 7. Dort heißt es, man solle zeigen, dass IJ I J für beliebige Ideale I, J in R und ein Beispiel angeben, mit IJ I J. In Aufgabe 3 soll man dann zeigen, dass IJ = I J für zueinander teilerfremde Ideale gilt. Damit ist also klar, dass man für das Beispiel in Aufgabe 2 nur zwei nicht teilerfremde Ideale betrachten muss. 2 Gruppen Was ist eine Gruppe? Wie ist das neutrale Element definiert? Was versteht man unter dem Inversen a 1 eines Elements a? Was ist eine abelsche Gruppe? Was ist ein Homomorphismus? Was ist ein Gruppenhomomorphismus? Was ist ein Gruppenisomorphismus? Wann ist eine Menge H G eine Untergruppe von G? Was ist eine Linksnebenklasse? Was ist eine Rechtsnebenklasse? Wann ist eine Untergruppe H Normalteiler in G? Wie ist G/H für eine Gruppe G und eine Untergruppe H G definiert? Was ist die Ordnung von G? Was ist die Ordnung eines Elements x G einer Gruppe (G, )? Was die Ordnung von x H in (H, +)? Wann heißt G einfach? Was bedeutet es, dass G auf einer Menge X operiert? Was ist dann die Bahn von x X? Was ist der Stabilisator von x X? Was besagt die Bahnformel? 2

3 Was ist der Index [G : H] einer Untergruppe H von G? Was sagt der Satz von Lagrange aus? Was versteht man unter dem Begriff der Konjugation? Was ist der Zentralisator Z x von x G? Wie viele Elemente enthalten die Konjugationsklassen von G insgesamt? Was ist das Zentrum einer Gruppe? Was ist eine zyklische Gruppe? Was gilt für direkte Produkte von Normalteilern? Was ist der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen? 2.1 Die Sylowschen Sätze Was besagt der Satz von Cauchy? Was ist eine p-gruppe? Was ist eine p-sylowgruppe Was ist der Normalisator N(U) einer Untergruppe U von G? Was besagt der 1. Sylowsche Satz? Was besagt der 2. Sylowsche Satz? Was gilt für zwei p-sylowgruppen in G? Was gilt für die einzige p-sylowgruppe G? Was besagt der 3. Sylowsche Satz? 2.2 Auflösbare Gruppen Wann ist G auflösbar? (Definition, nützliche Sätze) Was ist eine Normalreihe? Was ist der Kommutator von a, b G? Was ist die Kommutatorgruppe von G? 2.3 Permutationsgruppen Was ist eine Permutation? Was ist ein r-zyklus? Wann heißen zwei Zyklen disjunkt? Was ist eine Transposition? Wann gilt π 1 π 2 = π 2 π 1 für zwei Zyklen π 1, π 2? Was ist die kanonische Zyklenzerlegung einer Permutation π? 3

4 Was ist das Vorzeichen einer Permutation π? Wann ist π eine gerade, wann eine ungerade Permutation? Was ist das Vorzeichen sign(π) wenn π Produkt von m Transpositionen ist? Was ist sign(π) wenn π ein m-zyklus ist? Was ist die alternierend Gruppe A n? 3 Ringe Was ist ein Ring? Was versteht man unter einem Einselement e R? Wann heißt R kommutativ? Was sind die Einheiten R? Was sind Nullteiler? Wann heißt ein Ring Integritätsring, wann nullteilerfrei? Wann ist R S ein Unterring von S? Was ist ein Ringhomomorphismus? Was ist ein Ringisomorphismus? 3.1 Ideale Was ist ein Linksideal, Rechtsideal, beidseitiges Ideal, Ideal? Wie ist die Summe I + J zweier Ideal I, J ein einem Ring R definiert? Was ist I J? Was ist I J? Sind das alles wieder Ideale? Was ist das von a erzeugte Rechtsideal? Wann heißt ein Ideal endlich erzeugt? Was ist ein Hauptideal? Wann heißt ein Ring Hauptidealring? Was ist der Quotientenring von R? Wann ist dieser Quotientenring ein Körper? Was ist ein Primideal? Was ist ein maximales Ideal? Wann gibt es ein solches? Wann heißen zwei Ideal teilerfremd? 3.2 Restklassenringe Wann heißen zwei Zahlen a, b Z kongruent modulo m? Was ist die Restklasse von a bezüglich I, wobei a R, I Ideal in R und R ein Ring ist? Wann heißen zwei Element a, b R kongruent modulo einem Ideal I aus R? 4

5 Was sind die Elemente von Z/mZ? Was ist der Faktorring von R modulo I? Wie ist die kanonische Abbildung π : R R/I definiert? Wann ist R/I ein Integritätsring? Wann ein Körper? Was besagt der chinesische Restsatz? Wie lässt er sich praktisch anwenden? (Lösung von Kongruenzsystemen) 3.3 Teilbarkeit Was ist ein euklidischer Ring? Wann ist ein Element 0 p R in einem Integritätsring irreduzibel? Wann ist p R Primelement? Wann heißen zwei Element a, b in einem Integritätsbereich R assoziiert? Wann heißt ein Ring faktoriell? Wann ist ein Polynom f primitiv? Was besagt das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium? Was besagt der Reduktionssatz? 3.4 R-Moduln Was ist ein Linksmodul? Was ist ein Rechtsmodul? Was ist ein R-Modulhomomorphismus? Was ist ein Untermodul? Was ist ein Erzeugendensystem (bzw. eine Basis) eines R-Moduls? Wann heißt ein R-Modul M endlich erzeugt über R? Wann heißt M ein freier R-Modul? Was besagt der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen? 4 Körper Was ist ein Körper? Wann ist K ein Teilkörper L? Was ist eine Körpererweiterung L von K? Was ist der von M L erzeugte Körper Teilkörper von L? Was ist K(M), wobei K ein Teilkörper von L ist? Was versteht man unter Adjunktion? 5

6 Was ist ein Körperisomorphismus? Was ist ein K-Isomorphismus? Was ist die Charakteristik eines Integritätsrings K? Was ist der Primkörper von K? 4.1 Körpererweiterungen Es sei L eine Körpererweiterung von K. Was ist der Grad [L : K] einer Körpererweiterung L von K? Wann heißt x L algebraisch über K, wann transzendent? Was ist das Minimalpolynom eines Elements x L? Wie hängt der Grad des Minimalpolynoms mit dem Grad einer Körpererweiterung zusammen? Was versteht man unter einem Zerfällungskörper K eines Polynoms f mit Koeffizienten in K? 6