FORMALE SYSTEME. Wiederholung. Beispiel: NFA. Wiederholung: NFA. 4. Vorlesung: Nichtdeterministische Endliche Automaten. TU Dresden, 20.

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1 Wiederholung FORMALE SYSTEME 4. Vorlesung: Nichtdeterministische Endliche Automaten Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme Grammatiken können Sprachen beschreiben und sie grob in Typen unterteilen Typ-3-Grammatiken generieren reguläre Sprachen Deterministische endliche Automaten erkennen reguläre Sprachen Nichtdeterministische endliche Automaten verallgemeinern die Definition der Übergangsfunktion: der Automat rät, welcher Übergang der richtige ist TU Dresden, 2. Oktober 26 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 3 von 27 Wiederholung: NFA Beispiel: NFA Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (international: NFA ) M ist ein Tupel M = Q, Σ, δ, Q, F mit den folgenden Bestandteilen: Q: endliche Menge von Zuständen Σ: Alphabet δ: Übergangsfunktion, eine totale Funktion Q Σ 2 Q, wobei 2 Q die Potenzmenge von Q ist Q : Menge möglicher Startzustände Q Q F: Menge von Endzuständen F Q Notation: Wir schreiben statt q δ(q, a) auch q a q. Beispiel: q Wort Zustandsfolge Ergebnis q2 δ(q, ) = {q } δ(q, ) = {q, q 2 } δ(q 2, ) = δ(q 2, ) = q q q 2? abgelehnt (fehlender Übergang) q q q q 2 akzeptiert wird nichtdeterministisch akzeptiert Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 4 von 27 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 5 von 27

2 Läufe eines NFA Ein Lauf eines NFA M = Q, Σ, δ, Q, F für ein Wort w = σ σ n ist eine Folge von Zuständen q... q m, so dass gilt: q Q Die Sprache eines NFA q i+ δ(q i, σ i ) für alle i < m () m = w = n oder (2) m < n und δ(q m, σ m ) = Ein Lauf heißt akzeptierend, falls m = n und q n F. Andernfalls heißt der Lauf verwerfend. Ein DFA hat genau einen Lauf für jedes Wort. Er akzeptiert wenn dieser Lauf akzeptierend ist. Ein NFA kann für ein Wort mehrere Läufe haben. Er akzeptiert wenn einer dieser Läufe akzeptierend ist. Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 6 von 27 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 7 von 27 Sprache eines NFA Die Sprache eines NFA M = Q, Σ, δ, Q, F ist die Menge aller Wörter w für die M einen akzeptierenden Lauf hat. Beispiel: q Wort Lauf Ergebnis q2 q q q 2 verwerfend (zu kurz) q q q q 2 akzeptierend q q q q verwerfend (kein Endzustand) L(M) = {, } {} δ(q, ) = {q } δ(q, ) = {q, q 2 } δ(q 2, ) = δ(q 2, ) = Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 8 von 27 NFA zur Darstellung von Syntaxdiagrammen Übersetzung in NFA: zusammenhängende Linienbereiche werden Zustände Knoten werden Übergänge q q Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 9 von 27

3 Syntaxdiagramme und Nichtdeterminismus Das folgende Beispiel führt zu einem NFA, der kein DFA ist: Entsprechender NFA: q q Verallgemeinerte NFA-Übergangsfunktion Wie beim DFA können wir auch bei einem NFA M = Q, Σ, δ, Q, F eine erweiterte Übergangsfunktion definieren, die ganze Wörter einliest Zuerst erweitern wir δ auf Mengen von Zuständen: Für eine Zustandsmenge R Q und ein Terminalsymbol a sei δ(r, a) = δ(q, a). Dann erweitern wir δ von einzelnen Symbolen zu beliebigen Wörtern: Für eine Zustandsmenge R Q und ein Wort w Σ sei δ(r, w) die Menge aller Zustände, die man erreichen kann, wenn man in einem Zustand aus R beginnt und das Wort w einliest, formal: δ(r, ɛ) = R δ(r, av) = δ(δ(r, a), v) q R Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie von 27 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie von 27 Beispiel Sprache eines NFA (2. Version) Beispiel: q q2 Die Menge der Startzustände ist Q = {q }. Dann gilt: δ(q, ) = δ(q, ) = {q } δ(q, ) = δ(q, ) = {q, q 2 } δ(q, ) = {q } δ(q, ) = {q, q 2 } δ(q 2, ) = δ(q 2, ) = Die erweiterte Übergangsfunktion hilft bei der Definition der Sprache, die ein NFA akzeptiert: Die Sprache eines NFA M = Q, Σ, δ, Q, F ist die Menge L(M) = {w Σ δ(q, w) F } Die Bedingung δ(q, w) F bedeutet: mindestens einer der Zustände, die man durch Einlesen von w von einem Startzustand aus erreichen kann, ist ein Endzustand. δ(q, ) = δ(δ(q, ), ) = δ({q, q 2 }, ) = δ(q, ) δ(q 2, ) = {q } = {q } Behauptung: Diese Variante stimmt mit der vorherigen (mit akzeptierenden Läufen) überein. δ(q, ) = δ(δ(q, ), ) = δ({q }, ) = {q, q 2 } Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 2 von 27 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 3 von 27

4 Äquivalenz der Sprachdefinitionen für NFAs Sei M = Q, Σ, δ, Q, F NFA und w = σ σ n Σ ein Wort. Behauptung: Es gibt einen akzeptierenden Lauf für w genau dann wenn δ(q, w) F. Äquivalenz der Sprachdefinitionen für NFAs Sei M = Q, Σ, δ, Q, F NFA und w = σ σ n Σ ein Wort. Behauptung: Es gibt einen akzeptierenden Lauf für w genau dann wenn δ(q, w) F. Beweis : Angenommen es gibt einen akzeptierenden Lauf q... q n für w. Dann ist q n F. Wir behaupten q n δ(q, w) (damit folgt δ(q, w) F ) Wir zeigen die stärkere Behauptung q i δ(q, σ σ i ) für alle i n mittels Induktion über w : Induktionsanfang: Für i = gilt q Q = δ(q, ɛ) Induktionshypothese: die Behauptung gelte für i Induktionsschritt: für i + gilt: q i δ(q, σ σ i ) (Induktionshypothese) q i+ δ(q i, σ i+ ) (laut Definition eines Laufs) q i+ δ(δ(q, σ σ i ), σ i+ ) = δ(q, σ σ i σ i+ ) Beweis : Angenommen δ(q, w) F. Wir ermitteln einen akzeptierenden Lauf q... q n für w Dazu gehen wir rückwärts vor: Wähle q n F δ(q, w) Für alle i = n,..., : Wähle q i δ(q, σ σ i ), so dass q i δ(q i, σ i ) Dies ist ein Lauf, da q δ(q, ɛ) = Q und alle Übergänge erlaubt sind. Es ist ein akzeptierender Lauf, da q n F. Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 4 von 27 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 5 von 27 Vergleich DFA NFA Offensichtlich sind NFAs allgemeiner als DFAs: NFA vs. DFA Satz: Jeder DFA kann als NFA aufgefasst werden. Daher wird jede von einem DFA akzeptierbare Sprache auch von einen NFA akzeptiert. Beweis: Für jeden DFA M = Q, Σ, δ, q, F gibt es einen entsprechenden NFA M = Q, Σ, δ NFA, {q }, F mit δ NFA (q, a) = {δ(q, a)}. Die Umkehrung dieses Satzes gilt allerdings auch: Satz: Jede von einem NFA akzeptierbare Sprache wird auch von einen DFA akzeptiert. In diesem Sinne sind NFA nicht ausdrucksstärker als DFA wie kann das sein? Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 6 von 27 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 7 von 27

5 NFAs als DFAs Idee Die verallgemeinerte NFA-Übergangsfunktion bildet Mengen von Zuständen auf Mengen von Zuständen ab: δ(r, a) = δ(q, a). Wenn der Automat in einem der Zustände R ist und a liest, so ist er anschließend in einem der Zustände der Menge δ(r, a). q R Die Potenzmengenkonstruktion Für einen NFA M = Q, Σ, δ, Q, F definieren wir den Potenzmengen-DFA M DFA = Q DFA, Σ, δ DFA, q, F DFA wie folgt: Q DFA = 2 Q (Potenzmenge von Q) δ DFA (R, a) = q R δ(q, a) q = Q F DFA = {R 2 Q R F } Dieser Übergang zwischen Mengen möglicher Zustände ist an sich deterministisch. wir können einen NFA deterministisch simulieren, indem wir die Menge der möglichen Zustände berechnen Satz (Rabin/Scott): L(M) = L(M DFA ) (Beweis später) Michael Oser Rabin Dana Scott Andrej Bauer, CC-BY-SA 2.5 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 8 von 27 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 9 von 27 Beispiel Potenzmengenkonstruktion Vereinfachung Potenzmengenkonstruktion q q {q, q } {q }, {q } δ DFA ({q }, ) = δ DFA ({q }, ) = {q, q } δ DFA ({q }, ) = {q } δ DFA ({q }, ) = δ DFA ({q, q }, ) = {q } δ DFA ({q, q }, ) = {q, q } δ DFA (, ) = δ DFA (, ) = Erkannte Sprache: {} ({} {} ) Der Automat aus dem vorherigen Beispiel kann vereinfacht werden:, {q, q } {q } {q } Zustand {q } ist unerreichbar Zustand kann nicht verlassen werden (irrelevant für akzeptierende Läufe) Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 2 von 27 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 2 von 27

6 Potenzmengenkonstruktion on the fly Vermeidung unnötiger Zustände durch schrittweise Konstruktion vom Startzustand: q q 2 q 3 Erreichbarer Teil spart drei Zustände ein Zustand wie zuvor unnötig {q, q 2 } {q 2, q 3 } {q 3 } {q, q 3 } Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 22 von 27, Potenzmengenkonstruktion: Korrektheit Satz (Rabin/Scott): L(M) = L(M DFA ) Beweis: Wir nutzen die Korrespondenz der verallgemeinerten Übergangsfunktionen aus. Zuerst zeigen wir, dass für jedes Wort w Σ und jede Zustandsmenge R gilt: δ DFA (R, w) = δ(r, w). Induktionsanfang: () δ DFA (R, ɛ) = R = δ(r, ɛ) (2) δ DFA (R, a) = q R δ(q, a) = δ(r, a) Induktionshypothese: δ DFA (R, v) = δ(r, v) für Wörter v mit v < w Induktionsschritt: (3) δ DFA (R, av) = δ DFA (δ DFA (R, a), v) = δ DFA (δ(r, a), v) (wegen (2)) = δ(δ(r, a), v) (Induktionshypothese) = δ(r, av) Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 23 von 27 Potenzmengenkonstruktion: Korrektheit (2) Größenvergleich Satz (Rabin/Scott): L(M) = L(M DFA ) Beweis (Fortsetzung): Wir haben gezeigt: δ DFA (R, w) = δ(r, w). Damit ergibt sich, für beliebige Wörter w Σ : w L(M) gdw. δ(q, w) F gdw. δ DFA (Q, w) F gdw. δ DFA (Q, w) F DFA gdw. w L(M DFA ) Der DFA eines NFA hat 2 Q also exponentiell viele Zustände. Auch on the fly lässt sich das im Allgemeinen nicht vermeiden. Beispiel: Wörter mit an drittletzter Stelle,, s q q 2 q 3, {s} {s, q } Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 24 von 27 {s, q, q 2 } {s, q 2 } {s, q, q 2, q 3 } {s, q 2, q 3 } {s, q, q 3 } {s, q 3 } Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 25 von 27

7 Größenvergleich (2) Zusammenfassung und Ausblick Allgemein kann man für jede Zahl n die Sprache L n = {, } {, } n betrachten ( Wörter mit an n-letzter Stelle ) Es gilt: Es gibt einen NFA mit n + Zuständen, der L n erkennt. Jeder DFA, der L n erkennt, hat mindestens 2 n Zustände. Schlussfolgerung: NFAs können exponentiell kompakter sein als äquivalente DFAs. Nichtdeterministische endliche Automaten (NFA) vereinfachen die Modellierung, z.b. die direkte Darstellung von Syntaxdiagrammen Rabin/Scott: DFAs und NFAs erkennen die selben Sprachen (Potenzmengenkonstruktion) Offene Fragen: Wir wollten noch zeigen: alle regulären Sprachen sind durch DFAs erkennbar wie? Gibt es noch mehr Darstellungsformen für reguläre Sprachen? Wir haben gesehen, dass man Automaten manchmal vereinfachen kann geht das noch besser? Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 26 von 27 Markus Krötzsch, 2. Oktober 26 Formale Systeme Folie 27 von 27