1. Transport- und Zuordnungsprobleme

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1 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Themen 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Themen: Analyse der Problemstruktur Spezielle Varianten des Simplexalgorithmus für Transport- und Zuordnungsprobleme Bezug zur Graphentheorie Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 12

2 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem Transportproblem siehe Beispiel 1.4 aus OR I Definition 1.1. Das Optimierungsproblem unter den Nebenbedingungen min m i=1 n c ij x ij j=1 n x ij = a i für i = 1,...,m j=1 n x ij = b j i=1 für j = 1,...,n Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 13

3 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem und den Vorzeichenbedingungen x ij 0 für i = 1,...,m und j = 1,...,n heißt Transportproblem. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 14

4 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem Bemerkungen: Wir setzen ein geschlossenes Transportproblem voraus: a i > 0,b j > 0 und m i=1 a i = n j=1 b j, also Gesamtangebot = Gesamtnachfrage. Für den Fall m i=1 a i > n j=1 b j führen wir ein zusätzliches Warenhaus mit b n+1 = m i=1 a i n j=1 b j und c i,n+1 = 0 ein. Für den Fall m i=1 a i < n j=1 b j führen wir eine zusätzliche Produktionsstätte mit a m+1 = n j=1 b j m i=1 a i ein. Die c m+1,j modellieren dann die Kosten pro ME für das mangelnde Angebot in Warenhaus j. Anzahl Variablen: m n Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 15

5 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem Beispielproblem Beispiel 1.1. Wir gehen von folgenden Kosten, Angebot und Nachfrage aus: B 1 B 2 B 3 A A Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 16

6 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem Damit lautet das zugehörige Transportproblem unter den Nebenbedingungen min9x 11 +x 12 +3x 13 +4x 21 +5x 22 +8x 23 x 11 + x 12 + x 13 = 50 + x 21 + x 22 + x 23 = 70 x 11 + x 21 = 40 x 12 + x 22 = 40 x 13 + x 23 = 40 und Vorzeichenbedingungen x 11,x 12,x 13,x 21,x 22,x 23 0 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 17

7 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem Lösbarkeit des Transportproblems Satz 1.1. Zu jedem Transportproblem existiert eine optimale Lösung. Beweis: Es sei und Dann gilt: G = m a i = i=1 x ij = a ib j G n j=1 b j n x ij = j=1 n j=1 a i b j G = a n i j=1 b j G = a i für i = 1,...,m Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 18

8 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem und m x ij = i=1 m i=1 a i b j G = b j m i=1 a i G Damit existiert eine zulässige Lösung. = b j für j = 1,...,n Wegen 0 x ij min{a i,b j } ist der Zulässigkeitsbereich X darüberhinaus beschränkt. Also existiert eine optimale Lösung (siehe Satz 3.8 und Folie 174, OR I). Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 19

9 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem Transportproblem in Matrixdarstellung A = c = (c 11,c 12,...,c 1n,c 21,...,c 2n,...,c m1,...,c mn ) R m n x = (x 11,x 12,...,x 1n,x 21,...,x 2n,...,x m1,...,x mn ) R m n R (m+n) m n Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 20

10 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem genauer a ij = Begrenzungsvektor: 1 falls 1 i m (i 1) n < j i n 1 falls m < i m+n j = k n+(i m) 0 sonst b = (a 1,...,a m,b 1,...,b n ) R m+n Damit hat das Transportproblem in Normalform die Darstellung minc T x unter den Nebenbedingungen Ax = b, x 0 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 21

11 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Transportproblem Satz 1.2. Die Matrix A des Transportproblems hat den Rang r(a) = m+n 1. Beweis: Die Summe der Zeilen 1 bis m ist gleich der Summe der Zeilen m+1 bis m+n. Also sind die m+n Zeilenvektoren linear abhängig und es folgt r(a) m+n 1. Andererseits sind die m+n 1 Spaltenvektoren mit den Indizes 1,2,...,n,n+1,2n+1,...,(m 1)n+1 linear unabhängig, also r(a) m+n 1. Insgesamt folgt r(a) = m+n 1. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 22

12 Eröffnungsverfahren Nach Satz 1.2 besteht eine Basislösung eines Transportproblems aus m+n 1 Basisvariablen. Zur Konstruktion einer ersten Ecke benötigen wir daher eine zulässige Lösung mit n+m 1 Variablen x ij > 0 und restlichen Variablen x ij = 0 (falls keine Entartung vorliegt). Wir stellen nun zwei Verfahren zur Konstruktion einer ersten zulässigen Basislösung bzw. Ecke vor: Nordwesteckenregel Minimale-Kosten-Regel Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 23

13 Transporttableau B 1 B 2 B n c 11 B 11 c 12 B 12 c 1n B 1n A 1 x 11 x 12 x 1n a 1 c 21 B 21 c 22 B 22 c 2n B 2n A 2 x 21 x 22 x 2n a 2.. c m1 B m1 c m2 B m2 c mn B mn A m x m1 x m2 x mn a m b 1 b 2 b n z Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 24

14 A i : i-te Fabrik (bleibt unverändert) a i : noch zu transportierende Menge aus Fabrik i B j : j-tes Warenhaus (bleibt unverändert) b j : noch zu transportierende Menge zu Warenhaus j c ij : Kosten pro Einheit für den Transport von A i zu B j (bleibt unverändert) x ij : Transportmenge von A i nach B j (nur für Basisvariablen gesetzt) B ij : Schattenpreise (nur für Nichtbasisvariablen gesetzt) z: Zielfunktionswert Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 25

15 Nordwesteckenregel Idee: Man transportiere über die Verbindung ganz links oben im Tableau so viel wie möglich. Wird dadurch das Lager erschöpft, streiche man die erste Zeile des Tableaus, ansonsten die erste Spalte, und beginne wieder mit dem ersten Schritt. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 26

16 Algorithmus 1.1. [Nordwesteckenregel] x ij := 0 für i = 1,...,m, j = 1,...,n z := 0 i := 1,j := 1 while i m and j n do x ij := min{a i,b j } z := z +c ij x ij a i := a i x ij b j := b j x ij if a i = 0 then i := i+1 else j := j +1 end end Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 27

17 Die tatsächlichen Kosten werden zur Auswahl der Basisvariablen nicht berücksichtigt, daher i.d.r. keine gute zulässige Lösung. Entartung, wenn in einer Iteration sowohl a i als auch b j gleich 0 werden. In der nächsten Iteration wird dann x i+1,j Basisvariable mit x i+1,j = 0. In jeder Iteration wird genau eine Zeile oder Spalte gestrichen, in letzter Iteration ist aber nur genau eine Spalte und genau eine Zeile übrig. Daher insgesamt m+n 1 Iterationen mit der Auswahl von m+n 1 Basisvariablen. Die B ij betrachten wir erst später! Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 28

18 Beispiel 1.2. Wir gehen von Kosten, Angebot und Nachfrage gemäß Beispiel 1.1 aus. Starttableau: B 1 B 2 B 3 9 B 11 1 B 12 3 B 13 A B 21 5 B 22 8 B 23 A Iteration: x 11 = 40,a 1 = 10,b 1 = 0,z = Iteration: x 12 = 10,a 1 = 0,b 2 = 30,z = Iteration: x 22 = 30,a 2 = 40,b 2 = 0,z = 520 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 29

19 4. Iteration: x 23 = 40,a 2 = 0,b 3 = 0,z = 840 Tableau nach Nordwesteckenregel: B 1 B 2 B 3 A B 13 A 2 4 B Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 30

20 Minimale-Kosten-Regel Statt die erste Möglichkeit links oben im Transporttableau wählt man unter den möglichen Variablen x ij diejenige mit minimalen Kosten c ij. Ansonsten verläuft der Algorithmus analog zur Nordwesteckenregel. I.d.R. erhalten wir eine bessere zulässige Basis als bei der Nordwesteckenregel, dies ist aber nicht garantiert. Typischer Greedy-Algorithmus: Treffe die lokal beste Entscheidung! Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 31

21 Algorithmus 1.2. [Minimale-Kosten-Regel] x ij := 0 für i = 1,...,m, j = 1,...,n I := {1,...,m};J := {1,...,n};z := 0 while I and J do wähle i und j so, dass c ij = min{c lk l I,k J} x ij := min{a i,b j } z := z +c ij x ij a i := a i x ij b j := b j x ij if a i = 0 then I := I \{i} else J := J \{j} end end Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 32

22 Beispiel Iteration: i = 1,j = 2,x 12 = 40,a 1 = 10,b 2 = 0,I = {1,2},J = {1,3},z = Iteration: i = 1,j = 3,x 13 = 10,a 1 = 0,b 3 = 30,I = {2},J = {1,3},z = Iteration: i = 2,j = 1,x 21 = 40,a 2 = 30,b 1 = 0,I = {2},J = {3},z = Iteration: i = 2,j = 3,x 23 = 30,a 2 = 0,b 3 = 30,I =,J =,z = 470 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 33

23 Tableau nach Minimale-Kosten-Regel: B 1 B 2 B 3 A 1 9 B A B Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 34