TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Prähofer TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 3 Analysis MA93 8S Sommersem. 8 Lösungsblatt Zentralübung Z9.. Graphen als Untermannigfaltigkeiten Sei U R offen und h : U R stetig differenzierbar. a Zeigen Sie durch Angabe äußerer und innerer Karten, dass der Graph von h, G h, eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des R 3 ist. b Beschreiben Sie G h als Urbild eines regulären Wertes. c Geben Sie in jedem Punkt X G h eine Basis des Tangentialraums an X an. a Zu jedem x, y, z G h ist V := U R R 3 eine offene Umgebung. Eine äußere Karte ist dann H : V V, Hx, y, z = x, y, z hx, y. Dies ist ein Diffeomorphismus, da die Umkehrabbildung H x, y, z = x, y, z + hx, y ebenfalls stetig differenzierbar ist. Außerdem gilt für x, y, z G h U = G h, wegen z = hx, y, dass Hx, y, z = x, y, R {} V = U {} liegt. Umgekehrt gilt auch für jedes x, y, U {}, dass Hx, y, hx, y = x, y, ist. Somit ist HG h = U = V {}. Eine innere Karte ist dann H : G h U, Hx, y, hx, y = x, y, die genau die Punkte des Graphen von h auf die x-y-ebene abbildet. Eine Parametrisierung von G h ist dann gegeben durch H : U G h, φx, y = x, y, hx, y. b Sei f : V R, fx, y, z = z hx, y. Dann ist G h = f {}. Außerdem ist ein regulärer Wert von f, denn J f x, y, z = x hx, y y hx, y für x, y U, z R. D.h., f besitzt nur regulärer Punkte. c Sei X = x, y, hx, y G h mit x, y U. Wir bestimmen eine solche Basis auf zwei Arten. i Über eine äußere Karte: T X G h = H HXR {}. Es ist H x, y, z = x, y, z + hx, y, Also J H x, y, z =, x hx, y y hx, y J H HX = J H x, y, = x hx, y y hx, y Gemäß der Ableitung der Umkehrfunktion gilt J H HX = J H X, wie man mit J H X = leicht überprüft. x hx, y y hx, y

2 Nun ist T X G h = J H HXspan, = span J H HX, J H HX = span,. x hx, y y hx, y ii Als Urbild des regulären Wertes von f aus b: Z9.. Die Lorentzgruppe T X G h = kern f X = {v R 3 J f Xv = } = {v R 3 fx v = } = {v R 3 x hx, yv y hx, yv + v 3 = } = s.o. a Zeigen Sie: die Lorentzgruppe M = O3, := {X R 4 4 XµX T = µ}, mit µ = diag,,, ist eine 6 dimensionale Untermannigfaltigkeit des R 4 4. b Bestimmen Sie eine Basis B i, i =,..., 6, des Tangentialraums T l M an die Einheitsmatrix l. c Sei B T l M. Zeigen sie, dass e θb M für alle θ R. a Wegen XµX T T = XµX T setzen wir f : R 4 4 R 4 4 s = {X R 4 4 X T = X}, fx = XµX T. Wir zeigen: µ ist ein regulärer Wert von f, d.h. f X ist surjektiv, falls X f {µ}. Dafür sei A R 4 4 s beliebig. Es ist f X = µx T + Xµ T! = A. Diese Gleichung wird erfüllt durch = AX T µ, da µµ = l und A = A T. Da R 4 4 s die Dimension besitzt ist O3, = f {µ} eine 6 dimensionale Untermannigfaltigkeit des R 4 4. b T l M = kernf l = { R 4 4 µ + µ T = }. Die Gleichung bedeutet T = 3 4 µ µ = Die sechs Matrizen B =, B =, B 3 =, B 4 =, B 5 =, B 6 =, liegen in T l M und sind linear unabhängig, bilden also schon eine Basis.

3 c Man überprüft durch Ableiten von F θ := e θb µe θb T = e θb µe θbt. Aus Bµ+µB T = folgt dann d dθ F θ = eθb Bµe θbt + e θb µb T e θbt = e θb Bµ + µb T e θbt =. Für alle θ R gilt also F θ = F = µ und damit e θb M. Man erhält z.b. für B einen Lorentz-Boost entlang der x-achse und für B 6 eine Rotation um die x-achse, cosh θ sinh θ sinh θ cosh θ Präsenzaufgaben e θb =, eθb 6 = P9.. Die SL R als Untermannigfaltigkeit des R 4. Es sei M := {x R 4 x x 4 x x 3 = }. cos θ sin θ sin θ cos θ a Zeigen Sie, dass M eine dreidimensionale Untermannigfaltigkeit des R 4 ist für A = x x R x 3 x bedeutet das det A =, d.h., M entspricht der SL R. 4 b Lösen Sie die Gleichung x x 4 x x 3 = lokal bei E =,,, entspricht der Einheitsmatrix nach x 4 auf. Stellen Sie M bei E als Graph einer Funktion dar und geben Sie um E eine äußere und innere Karte von M und eine Parametrisierung an. a M ist Nullstellenmenge der Funktion fx = x x 4 x x 3 mit dem Gradienten fx = x 4, x 3, x, x. Also sind alle x R 4 \ {} reguläre Punkte, wegen f = ist nur kein regulärer Wert von f. Insbesondere ist regulärer Wert von f und damit M = f {} eine dreidimensinale Untermannigfaltigkeit des R 4. b V = {x R 4 x } ist eine offene Teilmenge des R 4, E V, und U = {x R 3 x } ist eine offene Teilmenge des R 3. x 4 : U R, x 4 x, x, x 3 = x + x x 3 ist offenbar die lokale Auflösung der Gleichung nach x 4. Somit ist M V = {x, x, x 3, x 4 x, x, x 3 x, x, x 3 U} der Graph von x 4. Eine äußere Karte ist H : V V, Hx = x, x, x 3, x 4 x 4 x, x, x 3, denn für X M V ist HX = X, X, X 3,. Eine innere Karte ist gegeben durch hx = x, x, x 3 und eine Parametrisierung ist durch φ = h gegeben, d.h. hier, φ : U M V, φx, x, x 3 = x, x, x 3, x + x x 3. P9.. Tangential- und Normalenraum einer Untermannigfaltigkeit Es sei M := {x, y, z R 3 x + y + z = 6, y + z = 3}. Zeigen Sie, dass M eine Untermannigfaltigkeit des R 3 ist und bestimmen Sie den Tangentialraum T p M und den Normalenraum N p M am Punkt p =,, M. Wir betrachten die Funktion f : R 3 f {}. Die Jacobimatrix lautet J f x, y, z =. R, fx, y, z = x +y +z 6 y +z 3. Es gilt M = x y z. 4y z Hat sie nicht vollen Rang, so ist der Spaltenraum höchstens eindimensional. Es gilt also x y x z y z = det = 8xy, = det = 4xz, = det = 4yz. Dies 4y z 4y z

4 kann nur gelten, wenn zwei der drei Varaiblen x, y und z gleich Null sind, d.h., auf den Koordinatenachsen. Es gilt aber fx,, = x 6, 3, f, y, = y 6, y 3, f,, z = z 6, z 3. Also ist regulärer Wert von f. Daher 4 ist M eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des R 3. Es ist J f p =. 4 Der Tangentialraum ist T p M = kernj f p = span und der Normalenraum, der 4 senkrecht auf dem Tangentialraum steht lautet N p M = T p M = span,. Der Normalenraum wird einfach von den transponierten Zeilenvektoren der Jacobimatrix aufgespannt. P9.3. Tangentialraum einer Ellipse Gegeben ist die Menge M := { x + y + z = } R 3, ein Ellipsoid mit den Halbachsen a b c a, b, c >, und der Punkt P = a, b, c M. a Warum ist M eine Untermannigfaltikeit des R 3? Bestimmen Sie auf zwei Arten eine Orthonormalbasis des Tangentialraums T P M und ergänzen Sie zu einer Orthonormalbasis des R 3, b einmal durch Parametrisierung der Fläche in einer Umgebung von P, und c in dem Sie M als Urbild eines regulären Wertes der Funktion fx, y, z = x beschreiben. + y + z a b c a M := f {} mit fx, y, z = x + y + z und ist regulärer Wert von f, da a b c grad fx, y, z = x, y, z = nur für x, y, z =. a b c b ẑx, y = c x y ist eine lokale Auflösung nach z um den Punkt P. Die Funktion Φx, y = x, y, ẑx, y ist dann eine Parametrisierung. Der Tangentialraum in a b P wird aufgespannt von x Φx, y = cx und y Φx, y = cy, a x a y b b x a y b ausgewertet im Punkt P also die Basis b =,, c a, b =,, c b. Gram Schmidt ergibt dann c := a + c a,, c, c := b c, b c, c := c c mit der ONB c, c. Eine ONB des R 3 erhält man zusammen mit c 3 := c c. Es grad fp gilt c 3 = grad fp = a + b + c a, b c. c Laut Vorlesung ist T P M = kernf P = {,, 3 R 3 grad fp, = } = { a + b + c 3 = }. Basisvektoren des Tangentialraums sind z.b. a,, c und, b, c. Gram-Schmidt führt hier auf das gleiche Ergebnis wie in b.

5 Hausaufgaben H9.. Tangentialraum einer Untermannigfaltigkeit Es sei M := {x, y, z R 3 x + y z =, x + y + z 3 3 = }. Zeigen Sie, dass M eine Untermannigfaltigkeit des R 3 ist und bestimmen Sie den Tangentialraum 3 T p M und den Normalenraum N p M am Punkt p =, 3, M. Wir betrachten die Funktion f : R 3 R, fx, y, z = x +y z x +y +z 3 3. Es gilt M = f {}. Die Jacobimatrix lautet x y z x y z J f x, y, z = x y 3z 3z. + z Die Matrix hat nicht vollen Rang, wenn x, y, z =,, oder, wenn 3z + z =, bzw., z = z, := 3 ± 7 und x, y beliebig. Dort gilt aber f,, =,. Weiter gilt auf M, dass = f x, y, z f x, y, z = z 3 +z, was nur für z {,, } erfüllt ist. Also auch fx, y, z,. Also ist regulärer Wert von f. Daher ist M eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des R 3. Es ist J f p = 3 3. Der Tangentialraum ist T p M = kernj f p = span 3 3 und der Normalenraum, der senkrecht auf dem Tangentialraum steht lautet z.b. N p M = T p M = span 6 6,. Der Normalenraum wird einfach von den transponierten Zeilenvektoren der Jacobimatrix, oder einer geeigneten Linearkombination dieser, aufgespannt. H9.. Cassinische Kurven Eine Cassinische Kurve ist der geometrische Ort C aller Punkte in der Ebene, für die das Produkt der Abstände zu zwei festen Punkten gleich einer Konstanten ist. a Seien die beiden Punkte gegeben durch c, und c, mit c > und die Konstante gleich a mit a >. Zeigen Sie, dass die Cassinischen Kurven Höhenlinien der Polynomfunktion h : R R, hx, y = x + y + c y x + c 4, sind. b Bestimmen Sie die regulären Werte von h, und damit welche Cassinischen Kurven Untermannigfaltigkeiten sind. c Bestimmen Sie die Punkte in C mit horizontalen und vertikalen Tangenten. Skizzieren Sie C für verschiedene a >. d Sei a = c Lemniskate. Parametrisieren Sie C mittels Polarkoordinaten. a Sei x, y R ein Punkt in R, für den das Produkt seiner Abstände zu c, und c, gleich a ist. Das bedeutet, dass x c + y x + c + y = a.

6 Quadrieren dieser Gleichung, Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefern als äquivalente Umformungen die Behauptung: x c + y x + c + y = a 4, x + y + c cx x + y + c + cx = a 4, x + y + c 4c x = a 4, x + y + c y x + c 4 = a 4. b Alle Punkte x, y R mit hx, y sind reguläre Punkte von h. Wegen 4xx hx, y = + y c 4yx + y + c sind die einzigen nichtregulären Punkte, und ±c,. Wegen h, = c 4 und h±c, = sind die einzigen nichtregulären Werte von h die Werte c 4 und. Die Cassinischen Kurven für a = c und a = sind also keine eindimensionalen Untermannigfaltigkeiten. Die beiden Punkte ±c, bilden allerdings eine nulldimensionale Untermannigfaltigkeit. c Beh Eine horizontale Tangente haben die zwei Punkte, ± a c, falls a > c, und die vier Punkte ± 4c 4 a 4 /c, ±a /c, falls a < c. Bew Sei hx, y = lokal nach y auflösbar, d.h. y = gx und hx, gx =. Dann ist nach dem Satz über implizite Funktionen g x = [ y hx, gx] x hx, gx. Die Tangente in x, gx ist horizontal, falls g x =, also in allen Punkten x, y C 4xx mit x hx, y =. Wegen hx, y = + y c 4yx + y + c folgt, dass dies genau dann der Fall ist, falls x = oder x + y = c. Fall : x = Aus h, y = y + c a 4 = finden wir die zwei Punkte, ± a c für a > c. Fall : x + y = c In diesem Fall ist hx, y = 4c y a 4 =, und wir finden die vier Punkte ± 4c 4 a 4 /c, ±a /c für a < c. Beh Eine vertikale Tangente haben die zwei Punkte ± c + a,, falls a > c, und die vier Punkte ± c + a,, ± c a,, falls a < c. Bew In diesem Fall muss y h = sein, woraus y = folgt. Die x-werte ergeben sich als Loung der biquadratischen Gleichung = hx, a 4 = x 4 c x + c 4 a 4. d Beh Für a = c ist die Parametrisierung von C in Polarkoordinaten r = c cosϕ. Bew In Polarkoordinaten ist hr cos ϕ, r sin ϕ = r 4 c r cos ϕ sin ϕ+c 4 a 4 =. Mit cos ϕ sin ϕ = cosϕ ergibt sich für c = a die Gleichung r = c cosϕ. Damit ist r = für ϕ = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, und hx, y = hat im Ursprung zwei Äste, siehe folgende Figur: c c y a c a c c x c