Aufgabe einer Probenahmestrategie. Größen zur Festlegung des Stichprobenumfangs
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- Christian Wetzel
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2 Aufgabe einer Probenahmestrategie Probenahme gewährleisten, die die erforderliche Repräsentanz (Güte der Messung, Irrtumswahrscheinlichkeit) mit minimalem Aufwand erreicht. Festlegung des Stichprobenumfangs Größen zur Festlegung des Stichprobenumfangs die Fragestellung die vorhandene Kenntnis über den zu untersuchenden Prozess die Größe der zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit die Güte der Messung ökonomische Randbedingungen
3 Probenahmestrategie - Grundlegende Vorüberlegungen - Worüber genau sollen die Messungen Aufschluss geben? Fragestellung so konkret wie möglich definieren Unterschiedliche Ziele voneinander abgrenzen Welche Charakteristik zeichnet den Prozess aus? Analyse der physikalischen & statistischen Charakteristik Wie präzise dürfen sollen die Ergebnisse der Probenahme sein? Formulierung einer im Rahmen der Untersuchung akzeptablen Abweichung vom Stichprobenmittel Welche Sicherheit dürfen sollen die Messergebnisse aufweisen? Formulierung einer im Rahmen der Untersuchung akzeptablen Irrtumswahrscheinlichkeit
4 Bestimmung des Stichprobenumfangs Genauigkeit der Stichprobenuntersuchung: d = k = k / n n = (k² ²) / d ² Der festzulegende Stichprobenumfang wird um so größer: je größer mit k die Wahrscheinlichkeit sein soll, dass der Mittelwert des zu erfassenden Parameters ( ) durch die Messungen erfasst wird; je größer die Varianz ² der Einheiten in der Grundgesamtheit ist; je kleiner die zugelassene Abweichung d gewählt wird, d.h. je genauer die Aussage der Stichprobe sein soll.
5 Bestimmung des Stichprobenumfangs Genauigkeit der Stichprobenuntersuchung: d = k = k / n n = (k² ²) / d ² Der festzulegende Stichprobenumfang wird um so größer: je größer mit k die Wahrscheinlichkeit sein soll, dass der Mittelwert des zu erfassenden Parameters ( ) durch die Messungen erfasst wird; je größer die Varianz ² der Einheiten in der Grundgesamtheit ist; je kleiner die zugelassene Abweichung d gewählt wird, d.h. je genauer die Aussage der Stichprobe sein soll.
6 Bestimmung des Stichprobenumfangs Genauigkeit der Stichprobenuntersuchung: d = k = k / n n = (k² ²) / d ² Für gegebenen Stichprobenumfang und gegebener Prozessvarianz gilt: Sichere Aussagen sind unscharf Scharfe Aussagen sind unsicher
7 Probenahme / Probenahmestrategie Bei Probenahmen ohne statistische Grundlage lassen sich erfolgten Schätzungen keine statistischen Eigenschaften zuordnen, d.h. es sind keine objektiven Aussagen über die Güte der Schätzung möglich, es ist nicht festlegbar, wieviel Proben erhoben werden müssen, um eine Schätzung mit definierter Güte zu erhalten. Strategien, welche diese Nachteile vermeiden, müssen auf wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen aufbauen.
8 Relevanz der Untersuchung Ergebnisse der beiden unterschiedlichen Tracerversuche an der Elbe weichen deutlich voneinander ab in Bezug auf die Transportgeschwindigkeiten der Tracerfront. Auch bei Verklappung einer großen Tracermenge besteht die Tracerfront - bei hinreichender Transportdauer - aus nur wenigen Körnern. Die zuverlässige Erfassung der Tracerfront ist statistisch ein Problem der Quantifizierung seltener, zufälliger und voneinander unabhängiger Ereignisse in der Längen-, Flächen- oder Raumeinheit. Probenahme spielt die zentrale Rolle.
9 relative Häufigkeit,25,2,15,1,5 Häufigkeitsverteilung der Luminoforenfunde Beprobungen: km Versuch Belgern 1 Zugabemasse: 1,6 t Zugabedatum: Zugabestelle: El-km 142, Zugabefraktion: 4-6 mm Entnahme 1: (km ) Entnahme 2: (km 144,5-149) Entnahme 3: (km 142,7-16) Entnahme 4: (km 142,7-17) Entnahme 5: (km ) Entnahme 6: (km ) Entnahme 7: (km ), Anzahl Funde im Profil
10 relative Häufigkeit 1 Häufigkeitsverteilung der Luminoforenfunde % 6 Beprobungen: km Versuch Belgern 1 Zugabemasse: 1,6 t (gelb) Zugabedatum: Zugabestelle: El-km 142, Zugabefraktion: 4-6 mm Entnahme 1: (km ) Entnahme 2: (km 144,5-149) Entnahme 3: (km 142,7-16) Entnahme 4: (km 142,7-17) Entnahme 5: (km ) Entnahme 6: (km ) Entnahme 7: (km ) Anzahl Funde (ohne Nullwerte) im Profil
11 relative Häufigkeit,25,2,15,1,5 Häufigkeitsverteilung der Luminoforenfunde Beprobungen: km Versuch Belgern 1 Zugabemasse: 1,6 t Zugabedatum: Zugabestelle: El-km 142, Zugabefraktion: 4-6 mm Entnahme 1: (km ) Entnahme 2: (km 144,5-149) Entnahme 3: (km 142,7-16) Entnahme 4: (km 142,7-17) Entnahme 5: (km ) Entnahme 6: (km ) Entnahme 7: (km ),,,2%,4%,6%,8% 1, 1,2% 1,4% 1,6% 1,8% 2, 2,2% 2,4% 2,6% 2,8% Anteil Luminoforen an Fraktion
12 relative Häufigkeit 1 92% Häufigkeitsverteilung der Luminoforenfunde Beprobungen: km Versuch Belgern 1 Zugabemasse: 1,6 t (gelb) Zugabedatum: Zugabestelle: El-km 142, Zugabefraktion: 4-6 mm Entnahme 1: (km ) Entnahme 2: (km 144,5-149) Entnahme 3: (km 142,7-16) Entnahme 4: (km 142,7-17) Entnahme 5: (km ) Entnahme 6: (km ) Entnahme 7: (km ),,2%,4%,6%,8% 1, 1,2% 1,4% 1,6% 1,8% 2, 2,2% 2,4% 2,6% 2,8% Anteil Luminoforen an Fraktion (ohne Nullwerte)
13 Einschränkungen keine Betrachtungen zur Nachweismethodik keine Betrachtungen zu kausalen Zusammenhängen (z.b. hydrologische Vorgeschichte, Streckencharakteristik etc.) keine Betrachtungen zu zeitlichen Phänomenen (z.b. Ausbreitungsdynamik) keine Betrachtungen zu Tracereigenschaften (z.b. Korngrößen, Transporteigenschaften etc.) keine Betrachtungen zu unterschiedlichen Verteilungen in Raum & Zeit
14 Ziele der Untersuchung Unter Annahme räumlich zufällig gleichverteilter Tracer Beantwortung der Frage: Mit welchem minimalen Aufwand (Stichprobenumfang) sind Aussagen (Schätzungen) mit definierter Güte (Varianz) und Zuverlässigkeit (Sicherheit) möglich zu den Fragen: Ist Tracer vorhanden? Wenn ja, wieviel?
15 Methodische Annahmen Untersuchungsraum: fiktives Querprofil (geschiebeführende Breite = 1) Tracer im UR räumlich zufällig gleichverteilt Aufteilung des UR in Einheiten (%) bzw. anteilige Felder (i.d.r. kleinste Untersuchungseinheit: 1 Feld 1 %) UR-Einheiten können auch als räumliche Einheiten aufgefasst werden
16 Ist Tracer vorhanden? Ja/Nein-Fragestellung Definition Tracerfront? Anzahl Körner? Für welche Aussagen? Morphologische Relevanz Wahrscheinlichkeiten für Erfolg / Misserfolg bei x Probenahmen in Abhängigkeit der vorhandenen Anzahl Körner
17 p (n) 1 9 9,4% 8 6 Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( kein Korn ) 99, 97% 98, 98, 95% 96% 96, 95,1% 93% 94% 94% 92% 9, 9 9,4% 9,4% 88% 86% 85% 86% 8 81, 82% 81,7% 77% 72% 73% 74% 66% 64% 59, 6 54% 48% 44% 33% 34,9% 25% 25% 11% 6% 3% Körner zufällig verteilt 77,8% 6,3% 6,5% 47% 47,1% 36% 36,4% 36,6% 28% 21% 22% 22, 16% 13% 13,3% 7,2% 8% 2% 5% 5% 5% 3% 2%,5% 1% 2% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 13,4% 1,8% 1,8%,2%,3% 1 1 Anzahl Körner n 1 1
18 p (n) ,9% Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( kein Korn ) 99, 97% 98, 98, 95% 96% 96, 95,1% 93% 94% 94% 92% 9, 9 9,4% 9,4% 88% 86% 85% 86% 8 81, 82% 81,7% 77% 72% 73% 74% 66% 64% 59, 6 54% 48% 44% 33% 34,9% 25% 25% 11% 6% 3% Körner zufällig verteilt 77,8% 6,3% 6,5% 47% 47,1% 36% 36,4% 36,6% 28% 21% 22% 22, 16% 13% 13,3% 7,2% 8% 2% 5% 5% 5% 3% 2%,5% 1% 2% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 13,4% 1,8% 1,8%,2%,3% 1 1 Anzahl Körner n 1 1
19 p (n) ,9% Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( kein Korn ) 99, 97% 98, 98, 95% 96% 96, 95,1% 93% 94% 94% 92% 9, 9 9,4% 9,4% 88% 86% 85% 86% 8 81, 82% 81,7% 77% 72% 73% 74% 66% 64% 59, 6 54% 48% 44% 33% 34,9% 25% 25% 11% 6% 3% Körner zufällig verteilt 77,8% 6,3% 6,5% 47% 47,1% 36% 36,4% 36,6% 28% 21% 22% 22, 16% 13% 13,3% 7,2% 8% 2% 5% 5% 5% 3% 2%,5% 1% 2% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 13,4% 1,8% 1,8%,2%,3% 1 1 Anzahl Körner n 1 1
20 p (n) , Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( kein Korn ) 99, 97% 98, 98, 95% 96% 96, 95,1% 93% 94% 94% 92% 9, 9 9,4% 9,4% 88% 86% 85% 86% 8 81, 82% 81,7% 77% 72% 73% 74% 66% 64% 59, 6 54% 48% 44% 33% 34,9% 25% 25% 11% 6% 3% Körner zufällig verteilt 77,8% 6,3% 6,5% 47% 47,1% 36% 36,4% 36,6% 28% 21% 22% 22, 16% 13% 13,3% 7,2% 8% 2% 5% 5% 5% 3% 2%,5% 1% 2% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 13,4% 1,8% 1,8%,2%,3% 1 1 Anzahl Körner n 1 1
21 p (n) Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( kein Korn ) 99, 97% 98, 98, 95% 96% 96, 95,1% 93% 94% 94% 92% 9, 9 9,4% 9,4% 88% 86% 85% 86% 8 81, 82% 81,7% 77% 72% 73% 74% 66% 64% 59, 6 54% 48% 44% 33% 34,9% 25% 25% 11% 6% 3% Körner zufällig verteilt 77,8% 6,3% 6,5% 47% 47,1% 36% 36,4% 36,6% 28% 21% 22% 22, 16% 13% 13,3% 7,2% 8% 2% 5% 5% 5% 3% 2%,5% 1% 2% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 13,4% 1,8% 1,8%,2%,3% Anzahl Körner n 1 1
22 p (n) Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( kein Korn ) 99, 97% 98, 98, 95% 96% 96, 95,1% 93% 94% 94% 92% 9, 9 9,4% 9,4% 88% 86% 85% 86% 8 81, 82% 81,7% 77% 72% 73% 74% 66% 64% 59, 6 54% 48% 44% 33% 34,9% 25% 25% 11% 6% 3% Körner zufällig verteilt 77,8% 6,3% 6,5% 47% 47,1% 36% 36,4% 36,6% 28% 21% 22% 22, 16% 13% 13,3% 7,2% 8% 2% 5% 5% 5% 3% 2%,5% 1% 2% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 13,4% 1,8% 1,8%,2%,3% Anzahl Körner n 1 1
23 p (n) , Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( kein Korn ) 99, 97% 98, 98, 95% 96% 96, 95,1% 93% 94% 94% 92% 9, 9 9,4% 9,4% 88% 86% 85% 86% 8 81, 82% 81,7% 77% 72% 73% 74% 66% 64% 59, 6 54% 48% 44% 33% 34,9% 25% 25% 11% 6% 3% Körner zufällig verteilt 77,8% 6,3% 6,5% 47% 47,1% 36% 36,4% 36,6% 28% 21% 22% 22, 16% 13% 13,3% 7,2% 8% 2% 5% 5% 5% 3% 2%,5% 1% 2% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 13,4% 1,8% 1,8%,2%,3% 1 1 Anzahl Körner n 1 1
24 p (n) 1 9 9,4% ,9% 34,9% 5, Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( kein Korn ) 99, 97% 98, 98, 95% 96% 96, 95,1% 93% 94% 94% 92% 9, 9 9,4% 9,4% 88% 86% 85% 86% 8 81, 82% 81,7% 77% 72% 73% 74% 66% 64% 59, 6 54% 48% 44% 33% 34,9% 25% 25% 11% 6% 3% Körner zufällig verteilt 77,8% 6,3% 6,5% 47% 47,1% 36% 36,4% 36,6% 28% 21% 22% 22, 16% 13% 13,3% 7,2% 8% 2% 5% 5% 5% 3% 2%,5% 1% 2% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 13,4% 1,8% 1,8%,2%,3% Anzahl Körner n 1 1
25 p (n) , 5, 1, Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( mind.. 1 Korn ) 19, 9,8% 2, 41, 22,6% 4,9% 65,1% 4,1% 9,6% 92,8% 72,3% 22,2% 99,5% 92,3% 39,5% 99,4% 97,9% 52,9% 63,4% Körner zufällig verteilt 86,6% 98,2% 99,8% 99,97% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 25 % Fläche = 3 % Fläche = 33 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 1 1 Anzahl Körner n 1 1
26 p (n) , 5, 1, Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( mind.. 1 Korn ) 19, 9,8% 2, 41, 22,6% 4,9% 65,1% 4,1% 9,6% 92,8% 72,3% 22,2% 99,5% 92,3% 39,5% 99,4% 97,9% 52,9% 63,4% Körner zufällig verteilt 86,6% 98,2% 99,8% 99,97% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 25 % Fläche = 3 % Fläche = 33 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 1 1 Anzahl Körner n 1 1
27 p (n) , 5, 1, Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( mind.. 1 Korn ) 19, 9,8% 2, 41, 22,6% 4,9% 65,1% 4,1% 9,6% 92,8% 72,3% 22,2% 99,5% 92,3% 39,5% 99,4% 97,9% 52,9% 63,4% Körner zufällig verteilt 86,6% 98,2% 99,8% 99,97% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 25 % Fläche = 3 % Fläche = 33 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 1 1 Anzahl Körner n 1 1
28 p (n) , 5, 1, Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( mind.. 1 Korn ) 19, 9,8% 2, 41, 22,6% 4,9% 65,1% 4,1% 9,6% 92,8% 72,3% 22,2% 99,5% 92,3% 39,5% 99,4% 97,9% 52,9% 63,4% Körner zufällig verteilt 86,6% 98,2% 99,8% 99,97% Fläche = 1 % Fläche = 2 % Fläche = 3 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 6 % Fläche = 7 % Fläche = 1 % Fläche = 15 % Fläche = 2 % Fläche = 25 % Fläche = 3 % Fläche = 33 % Fläche = 4 % Fläche = 5 % Fläche = 75 % 1 1 Anzahl Körner n 1 1
29 Wieviel Tracer sind vorhanden? Keine Ja/Nein-Fragestellung Definition Tracerkonzentration? Bezug zur Fraktion des Sohlmaterials? Bezug zur Fraktion des Geschiebematerials? Bezug zur Fraktion der eingebrachten Tracers? Wahrscheinlichkeiten für Detektion von x Körnern bei y Probenahmen in Abhängigkeit der vorhandenen Anzahl Körner
30 p (n),5,45,4,35 5, Belegungs-Wahrscheinlichkeiten für ein Einzelfeld Binomial-Verteilung 2 Körner zufällig gleichverteilt über 2 Felder 1 Feld = 5 % der Gesamtfläche,3,25 25, 25, Trefferwahrscheinlichkeit: 75 %,2,15,1,5, Anzahl Körner in einem Feld
31 p (n),5,45,4,35,3,25,2,15 32,77% 4,96% Belegungs-Wahrscheinlichkeiten für ein Einzelfeld 2,5% Binomial-Verteilung 5 Körner zufällig gleichverteilt über 5 Felder 1 Feld = 2 % der Gesamtfläche Trefferwahrscheinlichkeit: 67 %,1,5, 5,1%,6%,3% Anzahl Körner in einem Feld
32 p (n),5,45,4,35,3,25,2,15 34,87% 38,74% Belegungs-Wahrscheinlichkeiten für ein Einzelfeld 19,4% Binomial-Verteilung 1 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder 1 Feld = 1 % der Gesamtfläche Trefferwahrscheinlichkeit: 65 %,1,5, 5,7% 1,1%,15%,1% 8,7E-6 3,6E-7 9,E Anzahl Körner in einem Feld 1,E-1
33 p (n),5,45,4,35,3,25,2,15 36,42% 37,16% Belegungs-Wahrscheinlichkeiten für ein Einzelfeld 18,6% Binomial-Verteilung 5 Körner zufällig gleichverteilt über 5 Felder 1 Feld = 2 % der Gesamtfläche Trefferwahrscheinlichkeit: 63,6 %,1,5, 6,1% 1,5%,27%,4% 5,4E-5 5,9E-6 5,6E Anzahl Körner in einem Feld 4,7E-8
34 p (n),5,45,4,35,3 36,6 36,97% Belegungs-Wahrscheinlichkeiten für ein Einzelfeld Binomial-Verteilung 1 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder 1 Feld = 1 % der Gesamtfläche Trefferwahrscheinlichkeit: 63,4 %,25,2 18,5%,15,1,5, 6,1% 1,5%,29%,5% 6,3E-5 7,4E-6 7,6E Anzahl Körner in einem Feld 7,E-8
35 p (n),5,45,4,35,3 36,786% 36,79 Belegungs-Wahrscheinlichkeiten für ein Einzelfeld Binomial-Verteilung 1 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder 1 Feld =,1 % der Gesamtfläche Trefferwahrscheinlichkeit: 63,2 %,25,2 18,4%,15,1,5, 6,1% 1,5%,31%,5% 7,3E-5 9,1E-6 1,E Anzahl Körner in einem Feld 1,E-7
36 p (n) 1,,9,8,7,6,5,4,3,2 95, Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung 5 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder Einzelwahrscheinlichkeit = 1 %,1, 4,8,97%,1% 4,95E-8 1,E Anzahl Körner in einem Feld
37 p (n) 1,,9,8,7,6,5,4,3,2 9,44% Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung 1 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder Einzelwahrscheinlichkeit = 1 %,1, 9,14%,42%,1% 1,98E-6 2,4E-8 2,E-1 1,2E-12 4,4E-15 9,9E Anzahl Körner in einem Feld 1,E-2
38 p (n) 1,,9,8,7,6,5,4,3 77,78% Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung 25 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder Einzelwahrscheinlichkeit = 1 %,2,1, 19,64% 2,4%,18% 1,2E-4 4,3E-6 1,5E-7 4,E-9 9,1E-11 1,7E Anzahl Körner in einem Feld 2,8E-14
39 p (n) 1,,9,8,7,6,5 6, Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung 5 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder Einzelwahrscheinlichkeit = 1 %,4,3 3,56%,2,1, 7,6% 1,2%,15% 1,3E-4 1,E-5 6,5E-7 3,5E-8 1,7E Anzahl Körner in einem Feld 6,9E-11
40 p (n) 1,,9,8,7 Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung 75 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder Einzelwahrscheinlichkeit = 1 %,6,5 47,6%,4 35,65%,3,2,1, 13,3% 3,3%,6 8,5E-4 1,E-4 1,E-5 8,6E-7 6,5E Anzahl Körner in einem Feld 4,3E-9
41 p (n) 1,,9,8,7 Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung 1 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder Einzelwahrscheinlichkeit = 1 %,6,5,4 36,6 36,97%,3,2,1, 18,5% 6,1% 1,5%,29% 4,6E-4 6,3E-5 7,4E-6 7,6E Anzahl Körner in einem Feld 7,E-8
42 p (n) 1,,9,8,7 Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung 2 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder Einzelwahrscheinlichkeit = 1 %,6,5,4,3 27,7% 27,2%,2,1, 13, 18,1% 9, 3,6% 1,2%,3% 8,E-4 1,7E Anzahl Körner in einem Feld 3,3E-5
43 p (n) 1,,9,8,7 Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung 4 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder Einzelwahrscheinlichkeit = 1 %,6,5,4,3,2,1, 1,8 7,25% 14,6% 19,6% 19,6% 15,7% 1,4% Anzahl Körner in einem Feld 5,9% 2,9% 1,3%,5%
44 p (n) 1,,9,8,7 Theoretische Belegungs-Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung 5 Körner zufällig gleichverteilt über 1 Felder Einzelwahrscheinlichkeit = 1 %,6,5,4,3,2,1,,66% 3,32% 8,4% 14, 17,6% 17,6% 14,7% 1,5% Anzahl Körner in einem Feld 6,5% 3,6% 1,8%
45 p (x > k) ,5% 6 63,4% 52,9% 39,5% 22,2% 9,6% 8,9% 4,9% 1, 2, 2,6%,,1%,4% Belegungs-Wahrscheinlichkeiten: p ( > x Körner in 1 von 1 Feldern) 26,4% 17,3% 98,9% 99,3% 99,6% 99,8% 99,9% 99,9% 99,9% 1, 1, 1, 1, 1,1,1,1,1,1,1,1, 97, 98,2% 98,9% 99,3% 99,5% 99,7% 99,8% 99,9% 99,9% 1,1, 97,4% 98,3% 95,1% 96, 94, 91,9% 91, 86,6% 86,5% 77,9% 44,3% 59,5% 71,4% 8,2% Anzahl Körner / Anzahl Felder Trefferwahrscheinlichkeit für Einzelkorn:,1 > Korn > 1 Korn > 2 Körner > 3 Körner > 4 Körner > 5 Körner > 6 Körner > 7 Körner > 8 Körner > 9 Körner > 1 Körner > 11 Körner > 12 Körner > 13 Körner > 14 Körner > 15 Körner > 16 Körner > 17 Körner > 18 Körner > 19 Körner > 2 Körner
46 p (n) Theoretische Wahrscheinlichkeiten: p ( Anzahl Erfolge = Probenanzahl ) Hypergeometrische Verteilung Verteilung 33% 39% 26% 22% 18% 15% 14% 11% 8% 5% 6% 7% 5% 1% 2% 3% 1% 2% 1% 53% 28% 4% 63% 1% 78% 61% 29% 9% 87% 75% 49% 26% 92% 85% 66% 46% 95% 91% 79% 63% Anzahl Körner 97% 94% 87% 77% 98% 96% 92% 85% Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich 99% 97% 95% 1 1 Erfolg in 1 Probenahme 2 Erfolge in 2 Probenahmen 3 Erfolge in 3 Probenahmen 4 Erfolge in 4 Probenahmen 5 Erfolge in 5 Probenahmen 6 Erfolge in 6 Probenahmen 7 Erfolge in 7 Probenahmen 8 Erfolge in 8 Probenahmen 9 Erfolge in 9 Probenahmen 1 Erfolge in 1 Probenahmen 1
47 p (n) Theoretische Wahrscheinlichkeiten: p ( genau 1 Erfolg ) 1 Erfolg in 1 Probenahme 1 Erfolg in 2 Probenahmen 1 Erfolg in 3 Probenahmen 1 Erfolg in 4 Probenahmen 1 Erfolg in 5 Probenahmen 1 Erfolg in 6 Probenahmen 1 Erfolg in 7 Probenahmen 1 Erfolg in 8 Probenahmen 1 Erfolg in 9 Probenahmen Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Erfolg = Probenahme in belegtem Feld 63% 99%1 1 98% 97% 95% 92% Hypergeometrische Verteilung 53% 48% 1 Erfolg in 1 Probenahmen 47% 45% 43% 44% 41% 39% 39% 37% 35% 35% 35% 33% 32% 26% 24% 26% 24% 22% 23% 17% 18% 16% 14% 14% 15% 14% 11% 11% 9% 9% 8% 6% 5% 6% 6% 4% 5% 3% 4% 2% 1% 2% 2% 1% 1% Anzahl Körner 78% 87%
48 p (n) Theoretische Theoretische Wahrscheinlichkeiten: p ( p Anzahl ( Erfolge = Probenanzahl - 1 )- 1 ) 99% 98% 95% 94% 92% 9 86% 82% 78% 74% 67% 61% 47% 37% 42% 39% 39% 41% 33% 29% 33% Hypergeometrische Verteilung Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich 1 Probenahme: Erfolg 2 Probenahmen: 1 Erfolg 3 Probenahmen: 2 Erfolge 4 Probenahmen: 3 Erfolge 5 Probenahmen: 4 Erfolge 6 Probenahmen: 5 Erfolge 7 Probenahmen: 6 Erfolge 8 Probenahmen: 7 Erfolge 26% 23% 22% 23% 23% 9 Probenahmen: 8 Erfolge 19% 16% 16% 1 Probenahmen: 9 Erfolge 13% 13% 12% 7% 8% 8% 6% 6% 4% 5% 3% 3% 4% 3% 1% 2% 2% 1% 2% 2% 1% 1% Anzahl Körner
49 Wahrscheinlichkeiten bei 4 Probenahmen , 6, Poly-Hypergeometrische Verteilung 1 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Wahrscheinlichkeit für Probenahmen: : 4 mal Feld mit Körnern : 4 mal Feld mit 1 Korn : 4 mal Feld mit 2 Körnern 3--- : 1 mal Feld mit Korn & 3 mal Feld mit 1 Korn 1 Körner
50 Wahrscheinlichkeiten bei 4 Probenahmen -- 5,7% ,9% 52,4% Poly-Hypergeometrische Verteilung 15 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Wahrscheinlichkeit für Probenahmen: : 4 mal Feld mit Körnern : 4 mal Feld mit 1 Korn : 4 mal Feld mit 2 Körnern 3--- : 1 mal Feld mit Korn & 3 mal Feld mit 1 Korn 15 Körner
51 ,,3%, 7,4% 7,4% 11,6% 34,7% 37,6% Wahrscheinlichkeiten bei 4 Probenahmen Poly-Hypergeometrische Verteilung 2 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Wahrscheinlichkeit für Probenahmen: : 4 mal Feld mit Körnern : 4 mal Feld mit 1 Korn : 4 mal Feld mit 2 Körnern 3--- : 1 mal Feld mit Korn & 3 mal Feld mit 1 Korn 2 Körner
52 -- 17,7% ,9% 1,7%,1%,1% 2,8% 5,6% 26,7% 39,3% Wahrscheinlichkeiten bei 4 Probenahmen Poly-Hypergeometrische Verteilung 3 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Wahrscheinlichkeit für Probenahmen: : 4 mal Feld mit Körnern : 4 mal Feld mit 1 Korn : 4 mal Feld mit 2 Körnern 3--- : 1 mal Feld mit Korn & 3 mal Feld mit 1 Korn 3 Körner
53 -- 21,1% ,3%,4%,4%,1%,4% 3,2% 4,9% 8,4% 6,4% 19,2% 35,2% Wahrscheinlichkeiten bei 4 Probenahmen Poly-Hypergeometrische Verteilung 4 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Wahrscheinlichkeit für Probenahmen: : 4 mal Feld mit Körnern : 4 mal Feld mit 1 Korn : 4 mal Feld mit 2 Körnern 3--- : 1 mal Feld mit Korn & 3 mal Feld mit 1 Korn 4 Körner
54 -- 19,8% ,2% 2,8% 1,4%,8%,8% 1,1%,3%,2%,8%,6% 1,8%,2%,1%,,1%,, 5,5% 5,9% 7,1% 11,3% 11,9% 26,4% Wahrscheinlichkeiten bei 4 Probenahmen Poly-Hypergeometrische Verteilung 5 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Wahrscheinlichkeit für Probenahmen: (insgesamt 7 mögliche Kombinationen) : 4 mal Feld mit Körnern : 4 mal Feld mit 1 Korn : 4 mal Feld mit 2 Körnern 3--- : 1 mal Feld mit Korn & 3 mal Feld mit 1 Korn 5 Körner
55 , 3,5% 2,6% 2, 1,6% 5,4% 2,4% 2,2% 1,3%,6% 1, 4,3% 1,4% 1,3% 1,,8% 1,1%,5%,3%,2%,3%,3%,5%,1%,2%,5%,2%,1%,,,1%,1%,1%,,,,,,,, 17,2% 13,2% 1,1% 14,5% 8,4% Wahrscheinlichkeiten bei 4 Probenahmen Poly-Hypergeometrische Verteilung 75 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Wahrscheinlichkeit für Probenahmen: (insgesamt 7 mögliche Kombinationen) : 4 mal Feld mit Körnern : 4 mal Feld mit 1 Korn : 4 mal Feld mit 2 Körnern 3--- : 1 mal Feld mit Korn & 3 mal Feld mit 1 Korn 75 Körner
56 Wahrscheinlichkeiten bei 4 Probenahmen ,31% 11,31% 11,31% 7,33% 7,33% 5,34% 3,77% 3,77% 3,77% 3,57% 3,57% 2,6 2,6 1,83% 1,83% 1,68% 1,68% 1,26% 1,26% 1,26% 1,19% 1,19%,87%,87%,77%,61%,61%,52%,42%,,,29%,25%,25%,,,,,12%,8%,6%,5%,4%,3%,3%,3%,2%,2%,2%,1%,4% 8 6 Poly-Hypergeometrische Verteilung 1 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Wahrscheinlichkeit für Probenahmen: (insgesamt 7 mögliche Kombinationen) : 4 mal Feld mit Körnern : 4 mal Feld mit 1 Korn : 4 mal Feld mit 2 Körnern 3--- : 1 mal Feld mit Korn & 3 mal Feld mit 1 Korn 1 Körner
57 1,7% 7,3% 11,3% 3,6% 11,3% 3,8% 2,6% 1,7%,4%,4% 5,3% 3,6% 1,8% 1,3% 3,8% 2,6% 1,3% 1,2%,8%,6%,3% 1,8% 1,3%,9%,5%,2%,9%,6%,4%,3%,3%,1%,,3%,2%,2%,1%,,,2%,1%,,,,,,,,,,,,, 3,77% 11,3% 7,3% 1,2% % 15% 25% 35% 45% Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Schätzergebnis 2 % Wahrscheinlichkeiten bei 4 Wahrscheinlichkeiten bei 4 Probenahmen Probenahmen
58 45% 33 Wahrscheinlichkeiten bei 3 Probenahmen 1 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Schätzergebnis % % 22,5 % % 15,2% 15,2% 15,2% % 4,8% ,4% ,8% ,5% - - 7,4% - - 5,1% - 3,5% - -,8% ,5% - - 2,5% - - 2,5% - 1,69% ,5% -,8% ,8% - - 1,5% ,3% - -,8% - - 1,6% --,3% - -,3% - - 1,3% - - 1,2% ,2% --,23% ,134% -- 1,23% ,12% ,19% ,11% ,37%
59 45% 5 Wahrscheinlichkeiten bei 2 Probenahmen 1 Körner zufällig verteilt über 1 Felder Mehrfachbelegungen möglich Schätzergebnis % ,7% 27 % % % 13,5% 13,5% 13,5% 13,5% % 4 4,5% 4,5% 3,1% 2,2% 1,5% 1,5%,7%,3%,2%,2%
60 Wahrscheinlichkeit der Schätzergebnisse bei 3 Probenahmen Wahrscheinlichkeiten 45% 35% 25% 22,7% 22,5% 15% 15,2% 16,8% 5% 1,1% 4,8% 5, 2,,7%,2%,3% - 1 % - 66,67 % - 33,33 % % + 33,33 % + 66,67 % + 1 % + 133,33 % + 166,67 % + 2 % + 233,33 % Abweichung von optimaler Schätzung
61 Unterschreitungs- Wahrscheinlichkeit 1 Güte der Schätzung in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang Körner zufällig gleichverteilt 1 Probenahmestellen (1 Körner) 2 Probenahmestellen (1 Körner) 5 Probenahmestellen (1 Körner) 75 Probenahmestellen (1 Körner) 22% 42% % 9 94% 1 Schätzfehler (jeweils ± -Spanne ) = Abweichung vom wahren Wert
62 Unterschreitungs- Wahrscheinlichkeit 1 Güte der Schätzung in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang Körner zufällig gleichverteilt 6 1 % beprobte Fläche 2 % beprobte Fläche 5 % beprobte Fläche 1 % beprobte Fläche 15 % beprobte Fläche 2 % beprobte Fläche 5 % beprobte Fläche 75 % beprobte Fläche 9% 16% 43% % 1 Schätzfehler (jeweils ± -Spanne ) = Abweichung vom wahren Wert
63
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