Seminar Stochastische Unternehmensmodelle Varianzreduzierende Techniken

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1 Seminar Stochastische Unternehmensmodelle Varianzreduzierende Techniken 25. Juni / 37

2 Übersicht 1. Ziel des Vortrags 2. Einleitung 3. Varianzreduzierende Techniken Bedingtes Monte Carlo Importance Sampling 4. Diskrepanz geringe Diskrepanz Koksma-Hlawka Ungleichung 5. Low-Discrepancy Folgen Vorteil anhand eines Beispiels Beispiel Halton Folge mit Basis 3 Beispiel Vergleich Sobol zu Faure 6. Zusammenfassung 2 / 37

3 Ziel des Vortrags Was sind Monte-Carlo-Simulationen? Was wollen die Lebensversicherer mit den Monte-Carlo-Methoden erreichen? Bewertung von (komplizierten) Cashflows Da jedoch keine Formel zu dessen Bestimmung existiert MC Methode Ziel: Wahren Wert bzw. Verteilung zu schätzen Da nur endliche Rechenkapazität: Begrenzte Anzahl an MC-Simulationen Ziel der varianzreduzierenden Techniken: möglichst gute Approximation 3 / 37

4 Übersicht 1. Ziel des Vortrags 2. Einleitung 3. Varianzreduzierende Techniken Bedingtes Monte Carlo Importance Sampling 4. Diskrepanz geringe Diskrepanz Koksma-Hlawka Ungleichung 5. Low-Discrepancy Folgen Vorteil anhand eines Beispiels Beispiel Halton Folge mit Basis 3 Beispiel Vergleich Sobol zu Faure 6. Zusammenfassung 4 / 37

5 Einführung 1/6 Die Monte Carlo Methode ist eine Methode zur numerischen Integration mit Hilfe einer Folge von Zufallszahlen mit I(f ) = 1 f (x)dx 1 n 0 } {{ } (1) n f (ξ i ) = I N (f ) i=1 wobei f bekannt Integral von f zu approximieren n Anzahl zufälliger Punkte und ξ 1,..., ξ n [0, 1] Beispiel Wähle für ξ i = i n i 1,..., n so ergibt sich die Trapezregel. 5 / 37

6 Einführung 2/6 Wir wollen den Fehler I N (f ) I(f ) minimieren: I N (f ) I(f ) = 1 n n f (ξ i ) E[f ] i=1 G.d.g.Z. durch normalvert. ZV mit µ = 0 und σ2 n wobei : σ 2 = (f (ξ) I) 2 dξ [0,1] s beschrieben werden So ergibt sich das 95%-Konfidenzintervall I n (f ) + 1, 96 ˆσ n 6 / 37

7 Einführung 3/6 wobei ˆσ 2 = 1 n n (f (ξ i )) 2 In(f 2 ). i=1 So ergibt sich die Fehlerschranke : O(n 1 2 ) Merke Um eine zusätzliche genaue Kommastelle eines Schätzwerts zu bekommen muss die Zahl n um den Faktor 100 wachsen. 7 / 37

8 Einführung 4/6 Wenn man nun keine Vorschrift (vgl. Trapezregel) um die Stützstellen ξ i zu generieren, sondern randmoisierte Monte Carlo Methode Ziel: Folgen zu finden, sodass möglichst geringe Rechenzeit möglichst große Genauigkeit möglichst kleine Diskrepanz (Low-Discrepancy Folgen) Definition Wenn die Koordinatenmit Hilfe Low-Discrepancy Folgen generiert werden wird die Methode als quasi-monte Carlo Methode bezeichnet. 8 / 37

9 Einführung 5/6 Merke Diese Folgen helfen dabei den Raum anstelle mit Millionen (exakten) Werten, (möglichst) intelligent, mit deutlich weniger Punkten abzudecken. Simulation und Auswertung zur Approximation Beispiel Mit Hilfe dieser Verfahren kann man u.a. das Solvency Capital Requirement ( eine Sollgröße für das EK) bestimmen π bestimmen 9 / 37

10 Einführung 6/6 Abbildung: Approximation von π mit Hilfe eines Viertelkreises Bildquelle: 10 / 37

11 Übersicht 1. Ziel des Vortrags 2. Einleitung 3. Varianzreduzierende Techniken Bedingtes Monte Carlo Importance Sampling 4. Diskrepanz geringe Diskrepanz Koksma-Hlawka Ungleichung 5. Low-Discrepancy Folgen Vorteil anhand eines Beispiels Beispiel Halton Folge mit Basis 3 Beispiel Vergleich Sobol zu Faure 6. Zusammenfassung 11 / 37

12 Varianzreduzierende Techniken 1 Man versucht eine andere ZV Z als Z zu finden, sodass α = E[g(Z )] = g(z )df R s Z (z ) äquivalent zu (1) mit g : R s R. Beispiel: europäische Option g(z ) Payoff der Option F Z Verteilungsfunktion des Underlyings sodass: E[g(Z )] = E[g(Z )] (1) jedoch :Var[g(Z )] < Var[g(Z )] (2) 12 / 37

13 Bedingtes Monte Carlo Sei Y eine weitere, aber gleichzeitig erzeugte ZV wie Z. Dann gilt: g 1 (Y ) = E[g(Z ) Y ] und E[g 1 (Y )] = E[g(Z )] = α Dann kann man für g 1 (Y ) den MC Schätzer von α verwenden: Var[g(Z )] =Var[E[g(Z ) Y ]] + E[Var[[g(Z ) Y ]] }{{}}{{} Vor. 0 Var[g 1 (Y )] Var[g(Z )] Varianzreduktion. 13 / 37

14 Importance Sampling Idee: anderes Wahrscheinlichkeitsmaß verwenden wichtige Pfad mehr Gewicht Effizienz erhöhen F Z hat Dichte f : R s R + α = E[g(Z )] = g(z)f (z)dz. R s Sei nun f I : R s R + andere Dichtefkt., sodass f I (z) > 0 z R s \{z : f (z) g(z) = 0} α = g(z) f (z) [ R s f I (z) f I(z)dz = E I g(z) f (z) ] f I (z) Z mit f I verteilt. 14 / 37

15 Generiere Stichproben z 1,..., z n und verwende erwartungstreuen Schätzer: ˆα I = 1 n n i=1 g(z i ) f (z i) f I (z i ) Varianzreduktion falls f I so gewählt, dass [ ( E I g(z ) f (Z ) ) ] 2 [ = E I g 2 (Z ) f (Z ) ] f I (Z ) f I (Z ) [ ] < E g 2 (Z ) Erfolgreich wenn f I so proportional wie möglich an g(z) f (z). Weitere Möglichkeit der Varianzreduktion: Kontrollvariablen. 15 / 37

16 Übersicht 1. Ziel des Vortrags 2. Einleitung 3. Varianzreduzierende Techniken Bedingtes Monte Carlo Importance Sampling 4. Diskrepanz geringe Diskrepanz Koksma-Hlawka Ungleichung 5. Low-Discrepancy Folgen Vorteil anhand eines Beispiels Beispiel Halton Folge mit Basis 3 Beispiel Vergleich Sobol zu Faure 6. Zusammenfassung 16 / 37

17 Diskrepanz D (ξ, A(R; ξ) N) = sup λ s (R) R J N mit ξ = ξ 1,...ξ N A(R; ξ) Anzahl Punkte von ξ in R λ s s-dim. Lebesguemaß J Menge der Intervalle der Form: s i=1 u i und u i [0, 1) 17 / 37

18 geringe Diskrepanz 1/4 Definition geringe Diskrepanz Eine Folge (ξ i ) i N [0, 1] n hat geringe Diskrepanz, falls D k (ξ 1,..., ξ k ) C n (log k) n für alle k mit einer von der Dimension abhängigen Konstante C n, wobei k 18 / 37

19 geringe Diskrepanz 2/4 Diskrepanz ist ein Maß dafür, wie weit die durch Folge ξ 1,..., ξ n gegebene Verteilung vom Idealzustand auf [0, 1] entfernt ist. Merke Desto kleiner der Fehler der Quasi-Monte-Carlo-Schätzung Desto geringer ist die Diskrepanz der Folge 19 / 37

20 geringe Diskrepanz 3/4 Definition Koksma-Hlawka Ungleichung Sei f eine Funktion mit endlicher Variation V auf [0, 1] s und sei ξ = (ξ i ) eine Folge in [0, 1] s, dann gilt für irgendein n : f (x)dx 1 [0,1] s n n f (ξ i ) V (f ) D (ξ, n) i=1 20 / 37

21 geringe Diskrepanz 4/4 Diese Ungleichung stellt die Basis für die Überlegenheit der QMC gegen über der MC Methode, weil der Fehler der Berechnung des Integrals gegen Null geht in O( (logn)s N ). Problem: Praxis fast unmöglich Fehlerabschätzung mit der Koksma-Hlawka Ungleichung (Variation von f schwer berechenbar) 21 / 37

22 Übersicht 1. Ziel des Vortrags 2. Einleitung 3. Varianzreduzierende Techniken Bedingtes Monte Carlo Importance Sampling 4. Diskrepanz geringe Diskrepanz Koksma-Hlawka Ungleichung 5. Low-Discrepancy Folgen Vorteil anhand eines Beispiels Beispiel Halton Folge mit Basis 3 Beispiel Vergleich Sobol zu Faure 6. Zusammenfassung 22 / 37

23 Low-Discrepancy Folgen Es gibt mehrere Low-Discrepancy Folgen: Sobolfolge Haltonfolge Faurefolge Niederreiterfolge Niederreiter-Xingfolge 23 / 37

24 Beispiel Vorteil gegenüber zufälligen Folgen Beispiel Integriere I = (i cos(ix i ))dx 1 dx 2 dx 3 dx 4 dx 5 dx i=1 Der exakte Wert des Integrals ist: 6 I = sin(i) = sin(1) sin(2) sin(3) sin(4) sin(5) sin(6) i=1 Approximativ: I / 37

25 Betrachte folgende Approximationen Abbildung: Wert der approximierten Integralen in Abhängigkeit der Anzahl von Punkten Bildquelle: 25 / 37

26 Beispiel Halton Folge mit Basis 3 einfach zu berechnen mit Hilfe von Basen, welche die ersten d(dimension) Primzahlen sind Jede Dimension hat andere Basen Ziel: Generieren von Punkten (0, 1) (0, 1) R 2 Auf den folgenden Folien exemplarisch zur Basis 3 26 / 37

27 Beispiel Halton Folge (0, 1) (0, 1) R 2 1/3 Schritt 1 Teile das Intervall in 3 (=Basis) Teile auf und extrahiere die inneren Punkte als erste Koordinaten Intervall 3. Intervall Schritt 2 Betrachte jedes Teilintervall separat und unterteile es wieder in 3 Teilintervalle und starte bei jedem Intervall wieder bei Schritt / 37

28 Beispiel Halton Folge (0, 1) (0, 1) R 2 2/ ( 1 3, 2 3, 1 9, 4 9, 7 9, 2 9, 5 9, 8 9) 28 / 37

29 Beispiel Halton Folge (0, 1) (0, 1) R 2 3/3 analog ergeben sich die Punkte zur Basis 2 und es ergeben sich die ersten 10 Koordinaten wie folgt ( 1 2, 1 3) ( 7 8, 5 9), ( 1, 4, 2 3) ( 1 16, 8 9 ( 3, 4, 1 9) ), ( 9 16, 1 27 ( 1, 8, 4 9) ), ( 5, 8 9), 7 ( 5 16, ), ( 3, 8, 2, 9) 29 / 37

30 Abbildung: ersten 10 Paare der 2D-Halton Folge in (0, 1) (0, 1) R 2 30 / 37

31 Abbildung: ersten 1000 Paare der 2D-Halton Folge in (0, 1) (0, 1) R 2 31 / 37

32 Sobolzahlen Vorteile leichter die Anzahl der Punkte und/oder Dimensionen zu variieren Durch das Muster, welches sich ergibt, kann man problemlos nur Teilmengen betrachten höhere Einheitlichkeit als bei Gleichverteilung Schnelligkeit: die ersten zehn Millionen Sobol-Paare benötigen auf meinem PC weniger als zwei Sekunden 32 / 37

33 Vergleich an Hand eines Beispiels: Sobol zu Faure 1/2 Die zu integrierende Funktion lautet: s 4x i 2 dx 1...dx 2 = 1 i=1 Beide Folgen lösen die Aufgabe in fast identischer Zeit mit folgenden Ergebnissen 33 / 37

34 Vergleich an Hand eines Beispiels: Sobol zu Faure 2/2 Abbildung: Direkter Vergleich, wobei N Anzahl Punkte, s dim. Einheitswürfel Bildquelle: 34 / 37

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36 Übersicht 1. Ziel des Vortrags 2. Einleitung 3. Varianzreduzierende Techniken Bedingtes Monte Carlo Importance Sampling 4. Diskrepanz geringe Diskrepanz Koksma-Hlawka Ungleichung 5. Low-Discrepancy Folgen Vorteil anhand eines Beispiels Beispiel Halton Folge mit Basis 3 Beispiel Vergleich Sobol zu Faure 6. Zusammenfassung 36 / 37

37 Zusammenfassung Ziel: möglichst geringe Rechenzeit möglichst große Genauigkeit Varianzreduktion kann u.a. erreicht werden durch: Bedingte Monte Carlo Importance Sampling kluge Auswahl von Stützpunkten 37 / 37