Höhere Mathematik 3. Kapitel 12 Differenzengleichungen, z-transformation. Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus

Transkript

1 Höhere Mathematik 3 Kapitel 1 Differezegleichuge, z-trasformatio Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus

2

3 Höhere Mathematik 3 Kapitel 1 Ihaltsverzeichis 1 Differezegleichuge, -Trasformatio Eiführug i Differezegleichuge Lieare Differezegleichuge Lösug liearer homogeer Differezegleichuge Partikuläre Lösug liearer ihomogeer Differezegleichuge Trasformatio Awedug der -Trasformatio auf lieare ihomogee Differezegleichuge

4

5 1 Differezegleichuge, -Trasformatio, I diesem Kapitel wolle wir eie weitere Trasformatio, die -Trasformatio behadel. Mit Hilfe der -Trasformatio köe lieare Differezegleichuge gelöst werde. 1.1 Eiführug i Differezegleichuge Gegebe sei das Afagswertproblem (AWP) y y, y() 1. Die (eideutige) Lösug dieses AWP lautet yt () e t. Wir führe für dieses Afagswertproblem eie Diskretisierug durch, d.h. ausgehed vom Startpukt t betrachte wir die Lösugsfuktio y(t) dieses AWP a de eitpukte t h (hierbei ist h die Schrittweite). Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-1 Es gilt t1 t h. Für y(t) schreibe wir kurz y y(t). Es gibt verschiedee Möglichkeite der Diskretisierug. 1. Möglichkeit Ersetze wir die Ableitug y ( t ) durch de Differezequotiete y t y h y 1 ( ), so erhalte wir (ach Multiplikatio mit h) astelle des AWP die folgede Differezegleichug y y hy, y 1 y (1 h) y, y 1. Der Asatz 1 1 y führt auf (1 h) 1 h y c(1 h), c, ist die allgemeie Lösug der Differezegleichug. Mit der Afagsbedigug Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-

6 Also gilt y y c h c 1 (1 ) 1. y (1 h), ( ), ist die (eideutige) Lösug der gegebee Differezegleichug. Es gilt für t h t t t/ h 1/ h u t lim y lim(1 h) lim(1 h) lim(1 h) lim(1 1 u) e h h h h u lim y y( t). h. Möglichkeit Itegriere wir die gegebee Differetialgleichug y y vo t bis t1, so erhalte wir t t t y() tdt y() tdt y y y() tdt t t t Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-3 Näher wir das Itegral auf der rechte Seite mit Hilfe der Trapez-Formel a, so erhalte wir die folgede Differezegleichug h h h y 1 y ( y y 1), y 1 1 y11 y, y 1 1 h y 1 y, y 1. 1 h Der Asatz y führt auf 1 1h 1h 1h 1h 1h 1h y c, c, 1h 1h ist die allgemeie Lösug der Differezegleichug. Mit der Afagsbe- Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-4

7 digug y 1 ergibt sich die (eideutige) Lösug der gegebee Differezegleichug zu 1 h y, da y c 1 1 h Auch hier gilt für t h 1/ h 1h 1h t lim y lim lim e y( t). h h 1 h h 1 h Im folgede werde u lieare Differezegleichuge behadelt. Defiitio 1-1: (Lieare Differezegleichug k-ter Ordug) y a y... a y a y f, a, f, k k1 k1 1 1 i heißt lieare Differezegleichug k-ter Ordug. Ist f, so heißt die Differezegleichug homoge, sost ihomoge. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-5 t Wie bei lieare Differetialgleichuge gelte auch bei lieare Differezegleichuge die folgede Aussage. Die allgemeie Lösug der ihomogee Differezegleichug setzt sich zusamme aus der allgemeie Lösug der zugehörige homogee Differezegleichug ud eier partikuläre Lösug der ihomogee Differezegleichug. Die allgemeie Lösug der homogee Differezegleichug k-ter Ordug ist eie Liearkombiatio aus k liear uabhägige Lösuge der homogee Differezegleichug. Wir betrachte zuächst lieare homogee Differezegleichug. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-6

8 1. Lieare Differezegleichuge 1..1 Lösug liearer homogeer Differezegleichuge Lieare homogee Differezegleichug 1. Ordug Gegebe sei die Differezegleichug Der Asatz y führt auf Also ist y 1 ay. a ( a) a. 1 y c( a), c die allgemeie Lösug der gegebee lieare homogee Differezegleichug 1. Ordug. Beispiel: y 1 3y y c3, mit c, ist allgemeie Lösug. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-7 Lieare homogee Differezegleichug. Ordug Gegebe sei die Differezegleichug y ay 1 by Der Asatz y führt auf 1 a b ( a b) p a b ( ) (charakteristisches Polyom). 1. Fall Das charakteristische Polyom p() besitze die uterschiedliche reelle Nullstelle 1 ud. Da ist y c c, c, c die allgemeie Lösug der gegebee lieare homogee Differezegleichug. Ordug.. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-8

9 . Fall Das charakteristische Polyom p() besitze die komplexe Nullstelle 1 ud. 1 Da ist y c c c c 11 ( 1), 1, die allgemeie komplexe Lösug der gegebee lieare homogee Differezegleichug. Ordug. Da die Differezegleichug liear ist ud die Koeffiziete reell sid, gilt hier wie bei lieare Differetialgleichuge, dass mit eier komplexe Lösug sowohl Real- als auch Imagiärteil reelle Lösuge sid. i Aus 1 1 e i ud 1 1 e ergibt sich mit Re( ) cos( ), Im( ) si( ) die allgemeie reelle Lösug der gegebee lieare homogee Differezegleichug. Ordug zu y c cos( ) c si( ), c, c Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Fall Das charakteristische Polyom p() besitze die doppelte Nullstelle 1. Da ist y c c, c, c allgemeie Lösug der gegebee lieare homogee Differezegleichug. Ordug, de y 1 ist auch Lösug der homogee Diffe- rezegleichug, falls 1 doppelte Nullstelle des charakteristische Polyoms ist. Beweis: Da 1 doppelte Nullstelle des charakteristische Polyoms ist, gilt p( ) a b, p( ) a Eisetze vo y 1 i die Differezegleichug liefert demzufolge Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-1

10 ( ) a( 1) b ( a b) ( a) Beispiel: p( ) p( ) ) Gegebe sei y y y. Das charakteristische Polyom 3 1 p ( ) 3 ( 1)( ). liefert mit de Nullstelle 1 1, die allgemeie Lösug y c1 c, c, c. 1 1 ) Gegebe sei y y y. Das charakteristische Polyom 1 p j j ( ) (1 ) (1 ) liefert mit de Nullstelle 1, 1 j /4 j e die allgemeie Lösug Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-11 y c cos 4 c si 4, c, c ) Gegebe sei y y 4y. Das charakteristische Polyom 4 1 ( ) 4 4 ( ) p liefert mit der doppelte Nullstelle 1 die allgemeie Lösug y c c, c, c. 1 1 Lieare homogee Differezegleichug k-ter Ordug Gegebe sei die Differezegleichug y a y... a y a y, a. k k1 k1 1 1 i Der Asatz y führt auf k k1 ( a a a ) p( ) k 1 1 k k1 k 1 1 p( ) a... a a (charakteristisches Polyom). Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-1

11 Ist 1 eie r-fache Nullstelle vo p(), so sid die Folge r1,,,..., liear uabhägige Lösuge der homogee Differezegleichug. Beweis: per Iduktio (Iduktiosafag siehe lieare homogee Differezegleichug. Ordug, 3. Fall). Damit erhält ma auch im allgemeie Fall eier lieare homogee Differezegleichug k-ter Ordug mit Hilfe der Nullstelle des charakteristische Polyoms k liear uabhägige Lösuge der lieare homogee Differezegleichug. Die allgemeie Lösug ist da Liearkombiatio aus diese Fudametallösuge. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Partikuläre Lösug liearer ihomogeer Differezegleichuge Für spezielle "rechte Seite" f wird u ei Asatz agegebe, der auf eie partikuläre Lösug führt. Die rechte Seite sei vo der Form cos f q( ), si wobei q() ei Polyom bezeichet. Ersetzt ma die rechte Seite durch die komplexe Fuktio ( ) j f q mit e da führt der komplexe Asatz l w r( ) (grad r grad q) auf eie partikuläre Lösug Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-14

12 y Re w falls cos auf rechter Seite, Im w falls si auf rechter Seite wobei l, falls keie Nullstelle (keie Resoaz) l >, falls l-fache Nullstelle (l-fache Resoaz) des charakteristische Polyoms p() ist. Im Fall ist der Asatz reell ud es gilt y w ka auch der reelle Asatz l y r( )cos r ( )si 1 durchgeführt werde, wobei grad r1 grad r grad q Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-15 Beispiel: 1) y 3y 1 homogee Lösug: p( ) 3 3 y c3, c ist allgemeie Lösug der homogee Differezegleichug partikuläre Lösug: Asatz: y ( a b), (keie Resoaz) ab ab a b b a b 1 ( 1) 3( ) ( 3 3 ) b 1, a b y ( ) ( ba) ( b) ist partikuläre Lösug der ihomogee Differezegleichug. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-16

13 Damit lautet die allgemeie Lösug der gegebee lieare ihomogee Differezegleichug y c3 ( ), c. Ist der Afagswert y gegebe, so erhält ma mit y c c y y ( y )3 ( ), die Lösug des Afagswertproblems. ) y 1 y homogee Lösug: p( ) y c, c ist allgemeie Lösug der homogee Differezegleichug partikuläre Lösug: Asatz: y ( a b), (eifache Resoaz) Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus a( 1) b( 1) ( a b ) (a a b 4b b a b ) (a b) 4b b1/4, a b1/4 y ( ) ist partikuläre Lösug der ihomogee Differezegleichug. Damit lautet die allgemeie Lösug der gegebee lieare ihomogee Differezegleichug y c ( ), c. Ist der Afagswert y gegebe, so erhält ma mit ( ) y, c c y y y die Lösug des Afagswertproblems. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-18

14 3) y 3y 1 y homogee Lösug: p ( ) 3 ( 1)( ) 1, y c1 c, c, c ist allgemeie Lösug der homogee Differezegleichug partikuläre Lösug: Asatz: y a, (eifache Resoaz) 1 a ( ) 3 a ( 1) a (4a 8a 6a 6a a) ( a) a 1/ y 1 ist partikuläre Lösug der ihomogee Differezegleichug. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-19 Damit lautet die allgemeie Lösug der gegebee lieare ihomogee Differezegleichug 1 y c c, c, c. 1 1 Sid die Afagswerte y ud y1 gegebe, so erhält ma mit y c c, y c c 1 c y y 1, c y y y (y y1 1) ( y1 y 1), die Lösug des Afagswertproblems. 4) y y 1 y homogee Lösug: p( ) 1 j e j /4 1, y c cos( /4) c si( /4), c, c 1 1 ist allgemeie Lösug der homogee Differezegleichug Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-

15 partikuläre Lösug: Asatz: y a, (keie Resoaz) a a a a a a a 1 (4 4 ) ( ) 1 1/ a y ist partikuläre Lösug der ihomogee Differezegleichug. Damit lautet die allgemeie Lösug der gegebee lieare ihomogee Differezegleichug y c cos( /4) c si( /4), c, c. Sid die Afagswerte y ud y1 1 gegebe, so erhält ma mit y c 1/, y c c 11 c 1/, c c 1/ y (si( /4) cos( /4)), ist die Lösug des Afagswertproblems. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-1 5) y 4y 1 4y homogee Lösug: p ( ) 4 4 ( ) 1 (doppelte Nullstelle) y c c, c, c ist allgemeie Lösug der homogee Differezegleichug partikuläre Lösug: Asatz: y a, (doppelte Resoaz) 1 a ( ) 4 a ( 1) 4a (4a 16a 16a 8a 16a 8a 4 a ) (8 a) a 18 y 3 ist partikuläre Lösug der ihomogee Differezegleichug. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-

16 Damit lautet die allgemeie Lösug der gegebee lieare ihomogee Differezegleichug 3 y c c, c, c Sid die Afagswerte y ud y1 1 gegebe, so erhält ma mit y c, y c c 1/ 4 1 c, c 3 / y (3 ), ist die Lösug des Afagswertproblems. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Trasformatio Eie adere Möglichkeit, lieare Differezegleichuge zu löse, bietet die -Trasformatio, die wir im folgede Abschitt behadel werde. Defiitio 1-: (-Trasformatio) Es sei ( f ) eie Folge i. Da heißt F( z) f : f z Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-4 die -Trasformierte der Folge ( f ), wobei F(z) für die z defiiert ist, für die die uedliche Reihe f z kovergiert. Bei der -Trasformatio wird eier komplexe Folge ( f ) eie komplexe Fuktio F(z) zugeordet. Die -Trasformatio ist im Gegesatz zu der bisher behadelte Laplace-Trasformatio (Itegral-Trasformatio) eie diskrete Trasformatio.

17 Wir wolle zuächst die Kovergez der uedliche Reihe der -Trasformatio utersuche. 1 f z f f z ist eie Lauret-Reihe (vgl. Kapitel 15) um z. 1 Ersetze wir w z so erhalte wir f w. Dies ist bzgl. w eie Potezreihe um w. Diese Potezreihe habe de Kovergezradius Rw >, sie kovergiert also für w < Rw. Folglich kovergiert die -Trasformatiosreihe für z > 1 / Rw Rz, d.h. außerhalb des Kreises um mit Radius Rz 1 / Rw. Der Radius Rz ka häufig mit Hilfe des Quotietekriteriums wie folgt berechet werde. f z f 1 R f z R R ( 1) 1 1 z 1 lim lim. 1 z mit lim fz f z z f z Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-5 Beispiel: 1) f 1, f f f z f 1, also F( z) 1 ) f a,, a \{}fest. a 1 z a a a z falls 1 z 1a z za z z z a, also F( z), z a z a Auch bei der -Trasformatio spielt die Faltug eie wichtige Rolle. Die Faltug wird deshalb wie folgt defiiert. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-6

18 Defiitio 1-3: (Faltug) Es seie ( ) f ud ( g ) die Faltug vo ( ) zwei Folge i. Da heißt die Folge ( h ) ( f ) ( g ) mit ( h ) f g, l l l f mit ( g ). Im folgede Satz werde die wichtigste Eigeschafte der -Trasformatio zusammegefasst. Satz 1-1: (Eigeschafte der -Trasformatio) Es seie ( f) ud ( g ) zwei Folge i ud c. Da gilt a) Liearität f g f g, c f c f b) f z k f, k mit f für k Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-7 k 1 l fk z f flz, k l Isbesodere gilt f z f f, k c) 1 f z f f f z 1 1 d) Dämpfugseigeschaft f F z F z f ( ) mit ( ), \{} e) Differetiatioseigeschaft d df( z) f z f z mit F ( z ) f dz dz f) Faltugseigeschaft f g f g. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-8

19 Beweis: a) Die Liearität folgt aus der Liearität der uedliche Summe, falls die Reihe jeweils koverget sid. k k k k k ( k) k k k k k k1 k1 k k z f z f z z f f z b) ( ) c) d) f f z f z z f z,da f für f f z f z z f z f f z f ( z ) f w F( w) F( z ). df( z) d 1 1 dz dz z z (Lauret-Reihe darf ma im Kovergezrig gliedweise differeziere). e) 1 ( ) fz f z f z f Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-9 l ( l) f g f z g z fl z gl z l f) Beispiel: 1) zu a) f g z f g l l l Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-3 Cauchy Produkt 1 j j 1 j j si( ) ( e e ) e e j j j j 1 z z 1 z( e e ) j ze ze j z z e e 1 zjsi zsi. j z zcos1 z zcos1 Aalog erhält ma j j j j ( ) 1

20 z zcos cos( ). z zcos1 ) zu b) z a z a ( a ) 1 z a mit f für. z a 3) zu c) 4) zu d) a 1 z a a z z az 1 z a za a si( ) F( z a) mit F( z) si( ) z z si zcos1 Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-31 ( )si si si( ) za az. ( z a) ( z a)cos1 z azcosa a Aalog erhält ma a 5) zu e) z az cos cos( ). z az cosa d d z zaz az dz dz z a ( z a) ( z a) a z a z z. d az a za az za az za dz ( z a) ( za) ( za) ( ) ( ) ( ) az z 4 3. az( z a) az a z 3 3 ( ) a a a ( z a) ( za) ( za) Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-3

21 6) zu f) l l l l l Aus ( f ) (1 ) f 1 f folgt z fl ( f) (1 ) f 1 f. l z 1 Isbesodere gilt für f z z l l z1 ( z1) da mit Hilfe vo Beispiel 5 aus a a az z für 1 folgt. ( za) ( z1) 3, Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-33 Iverse -Trasformatio Um die iverse -Trasformierte eier ratioale Fuktio zu bestimme ist es zweckmäßig eie Partialbruchzerlegug durchzuführe ud aschließed die obige Beispiele als Korrespodeztabelle zur Rücktrasformatio zu verwede. Dem Kapitel 15 (komplexe Fuktioetheorie) ist zu etehme, dass sich die iverse -Trasformierte ratioaler Fuktioe aber auch mit Hilfe des Residuesatzes bereche lässt. Im folgede werde eiige iverse -Trasformierte zusammegestellt, die sich alle aus de obige Beispiele etehme lasse. 1 1 für 1 für für 1 z a a für 1 z z a a, 1 Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-34

22 1 1 für ( z a) ( 1) a für 1 z a, ( z a) für 3 3 ( z a) ( 3) a für 1 z für 3 ( z a) ( ) a für 1 1 für z azcosa a si ( 1) si für 1 z a si( ) si, z azcosa 1 1 Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Awedug der -Trasformatio auf lieare ihomogee Differezegleichuge Wedet ma die -Trasformatio auf lieare Differezegleichuge a, so erhält ma eie Gleichug für y Y( z). Durch Rücktrasformatio erhält ma da die Lösug der gegebee Differezegleichug. Beispiel: 1) y 3y 1 Awedug der -Trasformatio ergibt z zy y 3y ( z ) yz z yz y z3 ( z3)( z) z3 z3 z ( z) ( Partialbruchzerlegug) Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-36

23 1 z y y z3 z3 z ( z) y y y ( y )3 (31), ( 1), 1 Die Lösug der gegebee ihomogee lieare Differezegleichug mit dem Afagswert y lautet somit y ( y )3 ( ),( ). ) y 1 y Awedug der -Trasformatio ergibt z zy y y ( z ) yz z 1 z 1 z y y 3 y 3 z ( z) z ( z) Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus y y ( ), 1 Die Lösug der gegebee ihomogee lieare Differezegleichug mit dem Afagswert y lautet somit y y ( ),. 3) y 3y 1 y Awedug der -Trasformatio ergibt 1 z z y y y1z 3( z y y) y z z ( z 3z) y y( z 3 z) y1z z y( z 3 z) y1z z y z 3z z 3z ( z)( z 3z) Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-38

24 y ( z 3z) y zy z y z 3z ( z1)( z) ( z1)( z) y y 1 ( y y1) (y1 y) z1 z z1 z ( z) y ( y y )1 (y y ) 1 ( 1), 1 De es gilt für 1 für 1. Also folgt y y y y y 1 ( 1) ( 1 ) 1, 1 Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-39 ud die Lösug der gegebee ihomogee lieare Differezegleichug mit de Afagswerte y ud y1 lautet somit 1 y (y y 1) ( y y 1), ) y y y, y, y Awedug der -Trasformatio ergibt 1 z z y y y1z zy y y z z ( z z) y z z z z z z y z z ( z)( z z) ( z)( z z) 1 1 y z z z (Partialbruchzerlegug) Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-4

25 1 1 y si ( 1) 4, si( 4) a a a Also gilt da, cos 1, si( 4)cos( 4) cos( 4)si( 4), 1. y ud die Lösug der gegebee ihomogee lieare Differezegleichug mit de Afagswerte y ud y1 1 lautet somit 1 (si( / 4) cos( / 4)),. y 5) y y 4y, y, y Awedug der -Trasformatio ergibt 1 z z y y y1z 4zy y 4y z Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-41 z ( z 4z4) y z z z z y 3 ( z) ( z) 1 1 y ( ), 1. Die Lösug der gegebee ihomogee lieare Differezegleichug mit de Afagswerte y ud y1 1 lautet somit y 3 (3 ),. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 1-4

26

27 Übuge zur Höhere Mathematik 3 / Kapitel 1 Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Aufgabe 1-1: Bestimme Sie die folgede - bzw. iverse -Trasformatioe. a) 1 ( 1), a sih( b) b) z l, z a 1 1 z, 4 ( z a) z a Aufgabe 1-: Löse Sie die homogee Differezegleichug y 11y 1 y 1 mit dem Afagswert y, y1 11 mit Hilfe a) der Asatzmethode b) der -Trasformatio. Aufgabe 1-3: Löse Sie die Differezegleichug y 1 y 1 mit de Afagswerte y = 1 mit Hilfe a) der Asatzmethode b) der -Trasformatio. Aufgabe 1-4: Löse Sie die Differezegleichug y 3 y mit de Afagswerte y = 1 ud y 1 = mit Hilfe a) der Asatzmethode b) der -Trasformatio. 1

28