Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik

Transkript

1 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik Was ist Statistik? Wahrscheinlichkeit Grundgesamtheit und Verteilung Verteilung von Stichprobenparametern und Intervallschätzung Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) PTB: A Henrion 005 ~

2 Messung bestimmt ein Ergebnis nur innerhalb einer charakteristischen Variationsbreite Galton- Brett Modellannahme: Verfälschung eines Signals durch zufällige Einflüsse Wiederholung führt zu einer Verteilung von Ergebnissen PTB: A Henrion 005 ~

3 Grundgesamtheit: Gesamtheit der Realisierungen, die aus dem Wurf ein und derselben Kugel resultieren mögen: Begriff GG abstrakt GG nur denkbar, nicht einsehbar: Wir sehen nur einige Realisierungen, nicht die Startposition Begriff GG hat zentrale Bedeutung für Diskussion von Beobachtungsergebnissen PTB: A Henrion 005 ~ 3

4 Beispiel: Unterschiedliche Beobachtungen. Frage: Aus gleicher oder verschiedenen GGs? Gleiche GG: beide Kugeln rot Unterschied zufällig Versch. GGs: eine Kugel gelb eine rot Ergebnis : Ergebnis : Unterschied systematisch PTB: A Henrion 005 ~ 4

5 Typische Situationen mit Hintergrund Frage gleiche oder verschiedene GG Verschiedene Laboratorien, gleiche Probe (Vergleichsmessungen) Gleiches Laboratorium, gleiche Probe verschiedene Gelegeneheiten (Tage) (Test Robustheit Meßverfahren, Trend) Gleiches Laboratorium, gleiche Probe verschiedene Meßverfahren (Validierung nach Verfahrensänderung) PTB: A Henrion 005 ~ 5

6 Beschreibung von GGs Diskreter Wertevorrat an Realisierungen Wahrscheinlichkeitsfunktion Ordnet jeder Realisierung die Häufigkeit (Wahrscheinlichkeit) ihres Auftretens zu: f (x) Realisierung PTB: A Henrion 005 ~ x 6

7 Beschreibung von GGs f (x) Kontinuierlicher Bereich an Realisierungen x Wahrscheinlichkeitsdichte- Funktion ( pdf ) Anmerkung: f (x) für sich nicht interpretierbar als Wahrscheinlichkeit für Beobachtung des Wertes x! X Stattdessen: Wahrscheinlichkeit, daß in ein bestimmtes Intervall fällt: u p X X o o p f ( x) X u x dx x PTB: A Henrion 005 ~ 7

8 Verteilungsfunktion- Dichtefunktion Verteilungsfunktion ist kumulative Dichtefunktion: Gibt Wahrscheinlichkeit für X beobachtet X Verteilungsfunktion Dichtefunktion X (Diskrete Verteilungen analog) PTB: A Henrion 005 ~ 8

9 Parameter zur Beschreibung von Beobachtungsergebnissen:. Erwartungswert der Beobachtung Bildhaft: Wohin wäre die Kugel gerollt, wäre ihr Lauf nicht durch die Nägel gestört worden? σ E { x}. Varianz der Verteilung Bildlich: Welchen Wertebereich an beobachtbaren Realisierungen verursacht diese Störung? Unterliegende Fragestellung: Da konkret x beobachtet wurde, wie weit mag es entfernt sein vom Erwartungswert? PTB: A Henrion 005 ~ 9

10 Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen Lageparameter Erwartungswert der Beobachtung auch: Mittelwert µ E{ x} E{ x} Wohin wäre die Kugel gerollt, wäre ihr Lauf nicht durch die Nägel gestört worden? PTB: A Henrion 005 ~ 0

11 Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen Streuparameter Varianz σ Breite der Verteilung σ Charakterisiert Unsicherheit der Beobachtung In welcher Umgebung vom Erwartungswert ist x zu vermuten? PTB: A Henrion 005 ~

12 (Formal-) Statistische Definition: Erwartungswert (auch: Mittelwert ) einer Verteilung: µ E { x} µ : x f ( x ) i i i diskreter Wertevorrat x E { x} : x f ( x) dx µ kontinuierlicher Bereich x f ( ) x i x i Wahrscheinlichkeit f ( x) Wahrscheinlichkeits- Dichtefunktion für x PTB: A Henrion 005 ~

13 Beispiel : 6 Mittelwert Augenzahl beim Würfeln 6 6 x i ( x i f ) µ E{ x } i 6 i x i f ( x i ) 6 6 i i 3,5 PTB: A Henrion 005 ~ 3

14 Beispiel : Mittelwert Gleichverteilung (auch: Rechteckverteilung) b a µ f (x) µ E ( b b { x} x ( b a) a a ) ( b a) dx a b ( a + b) PTB: A Henrion 005 ~ 4

15 . Begriffs- Verallgemeinerung Erwartungswert: k ϕ(x) Für eine Funktion der Zufallsvariablen (*) { x) } E ϕ( ϕ( x) f ( x) dx. -tes Moment der Verteilung von (Bezug zur optischen Spektrometrie): x x µ k : E { x k } * hier für den Fall kontinuierlichen Wertebereichs von x formuliert PTB: A Henrion 005 ~ 5

16 E { x} ordnet nach gegebener Vorschrift einer Verteilung eine reelle Zahl zu Wie anhand der Definition leicht nachzuvollziehen, ist E ein linearer Operator, heißt: Für irgendzwei voneinander unabhängige Zufallsvariablen und x y E { c x} c E{x} { x + y} E{ x} E{ y} E + PTB: A Henrion 005 ~ 6

17 Varianz σ der Verteilung von x µ. Moment, entsprechend dem Erwartungswert von ϕ( x ) x E { x } : x f ( x ) σ diskreter Wertevorrat x i i i E { } x σ : x f ( x)dx kontinuierlicher Bereich x PTB: A Henrion 005 ~ 7

18 Gebräuchlicher: Varianz um den Mittelwert : E {( ) } ( ) x µ σ : x µ f ( x ) i {( ) } ( ) x µ σ : x µ f ( x dx E ) i i PTB: A Henrion 005 ~ 8

19 Beispiel : Varianz Ergebnisse beim Würfeln x i ( x i f ) σ 6 i ( x µ ) i f ( x i ) 6 6 i ( ) i 3,5, 9 PTB: A Henrion 005 ~ 9

20 Beispiel : Varianz Gleichverteilung (auch: Rechteckverteilung) b a a f (x) σ b σ b a ( ) x µ f ( x) dx [ x ( a + b) ] ( b a) dx b b a ( b a) 3 ( ) 3 a b z dz ( ) 3 b a a b ( ) 3 8 b a 3 8 ( b a) a ( b a) / 3 4 σ ( b a) / 3 PTB: A Henrion 005 ~ 0

21 Kovarianz und Korrelation Maß für Zusammenhang von Zufallsvariablen Für zwei Zufallsvariablen x, y : cov( x, y) E { } x y σ xy In der Praxis: {( x µ ) ( y )} cov( x, y) E µ x y PTB: A Henrion 005 ~

22 Kovarianz und Korrelation Korrelationskoeffizient: ρ xy σ σ x xy σ y (dimensionslos) ρ ρ xy xy ρ xy negativ positiv ρ xy 0 nicht korreliert PTB: A Henrion 005 ~

23 Produktmoment - Kovarianz Korrelation. (Veranschaulichung) Positiv Negativ korreliert korreliert x,y x,y x,y x,y 3 3 x,y x,y 3 3 Unkorreliert x,y x,y x,y 3 3 µ µ 0 µ µ 0 µ µ 0 Positives x, positives y und umgekehrt. Positives x, negatives y und umgekehrt. Keine,Verkettung der Vorzeichen x y im Trend größer Null x y im Trend kleiner Null Kein Trend für x y E{x y} > 0 E{x y} < 0 E{x y} 0 PTB: A Henrion 005 ~ 3

24 Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen Binomialverteilung: Häufigkeit Eintreffen eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit p nach n Versuchen f ( x) x n x p ( p ) x! n! ( n x) µ Mittelwert: E{ x} n p Varianz: σ n p ( p)! PTB: A Henrion 005 ~ 4

25 Illustration Binomialverteilung: Galton Brett: Zahl der Fälle, in denen die Kugel nach rechts rollt hier: p 0.5 n 6 p p f ( x) n x x n x p ( p) x PTB: A Henrion 005 ~ 5

26 Praxisbeispiel: Isotopen sind binomialverteilt: Man stelle sich den Einbau von Kern- Typen (Isotopen) in ein gegebenes Molekül als Zufallsprozeß vor, z.b. C 57 H 3 N 40 O 47 S (Insulin, B-Kette) n 57 p 0.0 Chancen, 3 C einzubauen Wahrscheinlichkeit 3 C ( M + x) x x ( 0.0) n x I M M+ M+ M+3 x PTB: A Henrion 005 ~ 6

27 Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen Poisson- Verteilung Grenzfall Binomialverteilung für sehr kleines, großes p n f ( x) e np ( np) x! x µ Mittelwert: E{ x} n p Varianz: σ n p PTB: A Henrion 005 ~ 7

28 Beispiel Poisson- Verteilung: Binomialverteilung für sehr kleines (bei großem ) p n p p f ( x) e np ( np) x! x PTB: A Henrion 005 ~ 8

29 Situationen, in denen Poisson- Verteilungen auftreten: Zählen von seltenen Ereignissen je Zeitintervall (z.b. Kern- Zerfälle) Messen an der Nachweisgrenze bei Verwendung von zählenden Detektoren (z.b. SEV) PTB: A Henrion 005 ~ 9

30 Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen 3 Gauss- oder Normalverteilung: Verteilung metrisch skalierter Meßgrößen,soweit fernab der Nachweisgrenze f ( x) exp π ( x a) b b Mittelwert: E { x} a Varianz: µ σ b σ µ PTB: A Henrion 005 ~ 30

31 Verteilungsformen, angenommen da nicht besser bekannt 4 Gleich- oder Rechteckverteilung Wird ersatzweise verwendet, wenn man sich auf Ergebnisse Dritter bezieht, die nur einen Bereich als Unsicherheitsangabe liefern, jedoch keine Verteilungsform spezifizieren. f ( x) b µ a Mittelwert: E { x} ( a + b) a x b f (x ) b a σ b a Varianz: σ 3 PTB: A Henrion 005 ~ a µ b 3

32 Verteilungsformen, angenommen da nicht besser bekannt 4 Dreieckverteilung Anwendungssituation ähnlich wie zuvor: Verteilungsform nicht bekannt, nur Unter- und Obergrenze. Man nimmt zusätzlich an, daß Auftretens- Wahrscheinlichkeit in der Mitte am höchsten. f ( x) b c µ x c ( b c) Mittelwert: ( a + b) b a Varianz: σ 6 b c PTB: A Henrion 005 ~ a µ f σ (x) b a+ b c 3

33 GUM- Konzept der Kombination von Mittelwerten und Varianzen Aufstellen Formel- Zusammenhang, der gemessene Eingangsgrößen zur Zielgröße verknüpft Ermitteln Schätzwert für Zielgröße durch Einsetzen Schätzwerte Eingangsgrößen in Formelzusammenhang Kombination der Einzel- Unsicherheiten (Varianzen) zur Unsicherheit d. Zielgröße (Fehlerforpflanzungsgesetz) u c Erweiterung der kombinierten Unsicherheit mit einem passenden Faktor k, so daß ein Konfidenzintervall U mit gegebener Überdeckungswahrscheinlichkeit resultiert. u i ( Erweiterte Meßunsicherheit : ) U k u c u c PTB: A Henrion 005 ~ 33

34 Kombination von Messungen zu einem Gesamtergebnis gemessene Größen x ( µ ),σ Zielgröße gesucht: x ( µ ),σ f ( x ) x k µ ( f ) σ ( f ) xk ( µ σ ) k, k PTB: A Henrion 005 ~ 34

35 Kombination von Messungen zu einem Gesamtergebnis Vorsicht! Die intuitive Vermutung ( f ) f ( µ, µ, µ ) µ, gilt nur in einigen Fällen, z.b. wenn f eine Linearkombination oder Produkt voneinander unabhängiger(!) Variabler, also k f f ( x ) xk cx cx ck xk ci xi ( x ) xk cx cx ck xk ci xi oder PTB: A Henrion 005 ~ 35

36 Kombination von Messungen Kritische Situationen Gegenbeispiel: u, v seien (unabhängig voneinander) gleichverteilt mit gleichem Mittelwert u 000 µ(u) v 000 µ(v) Paare { u } i, v i (Zufallsgenerator) Quotienten { u } i v i Vermutung, µ ( u ) µ ( v) Arithm. Mittel der Quotienten aus Simulation: 3.5 µ ( u / v) PTB: A Henrion 005 ~ 36

37 Kombination von Messungen Kritische Situationen Explizit: u µ ( u v) b a b a ( b a) u v du dv a µ(u) b v ( b a) ln b a b a a µ(v) b Für a b 000 µ ( u v) 3.46 PTB: A Henrion 005 ~ 37

38 Verteilungsform der resultierenden Zufallsvariablen Erweiterung von uc gemäß U k uc zu einem Konfidenzintervall setzt voraus, daß die aus Beobachtungen der Eingangsgrößen kombinierte Zielgröße normalverteilt Intuitive Annahme: Bei genügender Zahl von Eingangsgrößen sei die resultierende immer normalverteilt, unabhängig von der Verteilung der Eingangsgrößen. (Zentr. Grenzwertsatz) Vorsicht! Grenzwertsatz nur für Linearkombinationen Variabler gültig PTB: A Henrion 005 ~ 38

39 Schlußfolgerung: Ermittlung Erwartungswert (wie auch Verteilungsform) kombinierter Zufallsvariabler mitunter nicht trivial Ausweg: Experimentelle Ermittlung Messung mehrerer Sätze der Eingangsvariablen, Auswertung der resultierenden Werte der Zielvariablen PTB: A Henrion 005 ~ 39

41 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Grundgesamtheiten sind nicht vollständig einsehbar µ σ und bleiben verborgen Aus Stichproben lassen sich Schnappschüsse gewinnen, z.b.: Meßserie Meßserie usw. PTB: A Henrion 005 ~ 4

42 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Definition Messung/ Beobachtung: { X, X,, } Erhebung einer Stichprobe von Beobachtungen µ X n Bestmögliche Schätzung und anhand dieser Daten Klassische Schätzer: σ Arithm. Mittel Stichprobenvarianz X n n i X i s ( ) n n ( X ) i i X für µ für σ PTB: A Henrion 005 ~ 4

43 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Stichproben- Schnappschüsse sich scheinbar ändernder GG Somit anschaulich: Schätzer für Parameter von GG sind ihrerseits Zufallsgrößen (!) X 5.09 s X s 6. PTB: A Henrion 005 ~ 43

44 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Eigenschaften der Zufallsgrößen X und s Erwartungswert des arithmetischen Mittels einer Stichprobe: E { } { } n X E n X i i Da E linearer Operator (s. Abschn. GG und Verteilung ): E { } n n n X n E{ } i i i X i Da ( X i GG µ, σ ): n n { } ( ) µ { X } µ X E X i i n n µ E ( X erwartungstreuer Schätzer für µ ) PTB: A Henrion 005 ~ 44

45 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Eigenschaften der Zufallsgrößen X und s Erwartungswert der Stichprobenvarianz : s E n { } ( ) n s E X i i X { X } n i E i X n E { } { } X X E X X X X [( ) ] n n σ x i i i + E n { } n s σ σ i n { } s σ n E ( erwartungstreuer Schätzer für ) s σ PTB: A Henrion 005 ~ 45

46 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Nähere Ausführung E { } X X X + X ( n / n) i [ ] σ i x E E { } σ + µ X i x { } n { } n [ + ] X i X n E X i X j n cov( xi, x j ) µ j j ( ) σ + nµ σ + n n µ x x 3 E { } X n E{ X } i X i n n E n i j { X X } i j [ ] nσ n n x + µ n σ x + µ PTB: A Henrion 005 ~ 46

47 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Eigenschaften der Zufallsgrößen X und s 3 Varianz des arithmetischen Mittels σ X E µ i { } [ ] n ( X µ ) E n ( X i ) {( X } i µ )( X ) n n E i j j n µ { x } ( µ ) n n n E σ σ σ n (verringert sich bei steigendem X Stichprobenumfang) PTB: A Henrion 005 ~ 47

48 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Folgerung: σ charakterisiert das Meßverfahren ( Standardabw. des Einzelwerts ) σ X charakterisiert die aktuelle Stichprobe (Ergebnis der Meßserie) und wird vom Fleiß des Experimentators mitbestimmt ( Standardabw. des arithm. Mittels ) PTB: A Henrion 005 ~ 48

49 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Anmerkung: Für die Ableitung war die Annahme einer bestimmten Verteilungsform nicht erforderlich. E { X } µ { } E s σ Die Feststellungen bzw. X s ( und erwartungstreu) sowie gelten also grundsätzlich.* σ σ Erwartungstreue Schätzer werden auch als unverzerrt (unbiased) bezeichnet. X n * vorausgesetzt ist natürlich, daß die Erwartungswerte überhaupt existieren PTB: A Henrion 005 ~ 49

50 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Intervallschätzung ( µ,σ ) Angenommen, Verteilung bekannt, * N f (x) p mit X o p f ( x) X u dx 0.5 X u X Ein 50%- Intervall wäre dann z.b. o x X X U X O µ * Schreibweise für Gauss- Verteilung mit spezifiziertem und PTB: A Henrion 005 ~ σ 50

51 Stichprobenparameter und Intervallschätzung andere Varianten mit p 0.5: X u X o X u X o X o PTB: A Henrion 005 ~ X u 5

52 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Intervallschätzung: Voraussage von Beobachtungs- Bereichen mit spezifizierter Wahrscheinlichkeit p allein genügt nicht zur eindeutigen Festlegung p Festlegung richtet sich nach der Fragestellung PTB: A Henrion 005 ~ 5

53 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Intervallschätzung: Abhängigkeit von Fragestellung 95%- Konfidenzintervall um den Mittelwert µ.5%.5% üblicherweise symmetrisch (jedoch nicht zwingend!) Führt zu Aussagen der Art: liegt im Bereich mit stat. Sicherheit bzw. Irrtumsrisiko PTB: A Henrion 005 ~ X µ ± p 0.95 α

54 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Intervallschätzung: Abhängigkeit von Fragestellung Einseitige Fragestellungen 5% 5% Geforderter Mindestwert mit überschritten p X krit 95% X krit Tolerierter Höchstwert mit p 95% unterschritten PTB: A Henrion 005 ~ 54

55 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Intervallschätzung Gauss- Verteilung, wie jede andere angenomene Verteilungsform von GG genau genommen nicht verwendbar: µ,σ Dichtefunktion bzw. Parameter der Verteilung in Wahrheit nicht bekannt Man braucht einen alternativen Weg zur Schätzung basierend auf entsprechenden Stichprobenparametern, wie X, s PTB: A Henrion 005 ~ 55

56 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Intervallschätzung: Student s t als Zufallsvariable Anwendung des kombinierten Stichprobenparameters T X s µ n X µ s X Für Gauss- verteilte GGs: Verteilung von T gleich der bekannten Student- t Verteilung PTB: A Henrion 005 ~ 56

57 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Eigenschaften t- Verteilung Familie von Verteilungen, abhängig von (Zahl Freiheitsgrade) ν ν n Im Grenzfall ( ) Gaussverteilt: N ν ( µ σ ), X ν ν 0 ν 4 Unsicherheit Schätzung σ X findet Niederschlag in breiterer Vertlg. PTB: A Henrion 005 ~ 57

58 Stichprobenparameter und Intervallschätzung t Tabelle (zweiseitige Fragestellung) p p ν / p t PTB: A Henrion 005 ~ 58

59 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Intervallschätzung: Anwendung von Student s t Mit t X µ s X da t symmetrisch verteilt: µ U X tν ; α s X µ O X + tν ; α s X untere Vertrauensgrenze für obere Vertrauensgrenze für µ µ PTB: A Henrion 005 ~ 59

60 Stichprobenparameter und Intervallschätzung Ergebnisangabe: X ± t ν ; α s X oder X α ± GUM- Notation: X mit erweiterter Unsicherheit U k s X Erweiterungsfaktor k synonym für t ν ; α PTB: A Henrion 005 ~ 60

62 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) Zerlegung Gesamtvarianz in Bestandteile verschiedenen Ursachen entsprechend T Beispiel: Ringversuchsergebnis (gedacht): W +B * * * Einzelergebnisse je Lab (Treffergebiete): Within- Lab Varianzen (W) Total- Varianz (T) Between- Lab Varianz (B) PTB: A Henrion 005 ~ 6

63 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) ANOVA- What is it about? Trenne B von W B charakterisiert Unterschiede in der Handhabung zwischen Labs. Ursachen Feste Effekte wie: Kalibriersubstanzen aus verschiedenen Quellen, unterschiedliche Analysenprinzipien, Zufalls- Effekte wie: Örtlich variierende Umgebungsbedingungen oder andere schlecht langfristig konstant zu haltende Parameter beeinflussen das Analyseergebnis Übergänge zwischen beiden Gruppen fließend! Unterschiede in der stat. Behandlung: Keine. PTB: A Henrion 005 ~ 63

64 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) ANOVA- zentrales Werkzeug für analysierenden Experimentator Quantifizierung des Effekts essentieller Faktoren, die nach Plan absichtlich variiert werden oder zufällig sind. Unterscheidung vom rein experimentellen Rauschen. Anwendungen Optimierung von Verfahren (Industrie, Landwirtschaft,, auch: Analytik) Test von Hypothesen, Gewinnung von Modellen (Psychometrie, Soziologie, Chemometrie, ) In diesem Kurs: Analyse auf Beiträge (meist zufälliger) Faktoren zur Gesamtunsicherheit von Meßergebnissen PTB: A Henrion 005 ~ 64

65 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) T, W und B - Wie definiert? µ µ 3 y ij µ µ B W T Entsprechend Zerlegung von T in (Zufalls-)variablen W und B: ( y µ ) y µ + ij ij i ( ) µ µ i PTB: A Henrion 005 ~ 65

66 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) ( µ, µ ) Parameter der Grundgesamtheit zu kennen, bleibt i den Göttern vorbehalten! Wir behelfen uns mit entsprechenden Stichprobenparametern : y y 3 y ij y y B W y y, y, Gruppenmittelwerte Gesamtmittelwert T PTB: A Henrion 005 ~ 66

67 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) l σ T l i n j σ W σ B An Stelle der Parameter,, nunmehr Schätzungen s T l n ( ) yij y ν T l n n l l n ( y ) s W s i ij y ν ) W l( n i l i i j Freiheitsgrade Freiheitsgrade s Gruppen Mittel l l ( y ) i y i ν mit l Freiheitsgraden. l Gruppen n Werte je Gruppe PTB: A Henrion 005 ~ 67

68 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) Statistische Erwartung dieser Schätzer*: E E E { } σ s T (erwartungstreu) T { } σ s W (erwartungstreu) W { } s σ + σ (verzerrt bezüglich ) GM B n W σ B σ Richtige Schätzung demnach: B s GM s W n *Ableitung des Zusammenhangs auf extra- PowerPoint PTB: A Henrion 005 ~ 68

69 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) Im Kontext von Ringversuchs- Auswertungen: σ W Wiederholvarianz (Varianz unter Wiederholbedingungen eines Labors) σ B Zwischen- Labor- Varianz (Labor- Labor- Variabilität) Schätzung Labor- Meßunsicherheit ( Präzision ): GUM- Terminologie: s s + Lab Lab W u s + W s s B B (Nähere Diskussion am Beispiel: CH 7) PTB: A Henrion 005 ~ 69

70 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) Anhang: Statistische Implikationen sw ist eine within- Varianz gemittelt über die Werte aller Labors s l W s i l i Solches Pooling setzt voraus, daß alle aus ein und derselben Grundgesamtheit stammen (sog. Varianzhomogenität ) s i Verfahren Test Varianzhomogenität: z.b. Bartlett- Test (Lehrbücher) Vorteil für Ringversuchsteilnehmer: gepooltes vereinigt auf sich die Freiheitgrade aller Labors (zuverlässigere Schätzung als!!) s W s i PTB: A Henrion 005 ~ 70

71 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) Test Signifikanz des extrahierten s B : σ +σw > Ausdruck { } n E sgm n B { } E s σ W W 0 σ B > 0 σ B Dementsprechend testet man das Verhältnis gegen F ( ν ν α ) GM, W, ν l l( n ) Fˆ mit und Freiheitsgraden GM α ν W α bei Irttumsrisiko ( stat. Sicherheit ) n s GM / s W F ˆ > F( tabelliert) indiziert Signifikanz s B PTB: A Henrion 005 ~ 7

72 Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA) Nachtrag: Im Zusammenhang mit der Aufstellung von Unsicherheits- Budgets wird offenbar stets verwendet, selbst wenn nicht signifikant. s B Dies ist konservativ, sorgt aber dafür, daß man sich auf der sicheren Seite befindet. Im Kontext der Aufstellung von Modellen/ Prüfung auf Vorhandensein von Einflußgrößen (Effekten) wäre das natürlich falsch. In diesem Kurs beschränken wir uns auf erstere Fragestellung. PTB: A Henrion 005 ~ 7

73 Gefragt, woran er gerade arbeite, antwortete er: Ich habe große Mühe. Ich bereite meinen nächsten Irrtum vor. Brecht PTB: A Henrion 005 ~ 73