Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden

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1 Mathematik I für Naturwisseschafte Dr. Christie Zehrt Übug (für Pharma/Geo/Bio) Ui Basel Besprechug der Lösuge: 1. Oktober 018 i de Übugsstude Aufgabe 1 Sid die folgede Abbilduge f : X Y umkehrbar? Begrüde Sie Ihre Atworte. (a) X = { Studierede a der Ui Basel }, Y = N, f(x) = Geburtsjahr vo x. (b) X = {Studierede a der Ui Basel}, Y = {blau, grü, brau}, f(x)= Augefarbe vo x. (c) X = Y = N, f(x) = x. (d) X = Y = R, f(x) = x 3 1. Aufgabe (a) Bestimme Sie alle x i R, für die gilt: (i) 1 x x = 8 (ii) 3 x < 5 (iii) x 6x+5 = 3 (b) Überprüfe Sie Ihre Resultate aus Teilaufgabe (a), idem Sie für jede (U-)Gleichug die rechte ud die like Seite je als eie Fuktio vo x auffasse ud die Graphe dieser Fuktioe i ei Koordiatesystem zeiche. Aufgabe 3 Utersuche Sie die Folge a = ( 1) 5 c = b = ( 1) + 1 d = e = ( 1) +7 f = 3 1 auf Kovergez (d.h. begrüde Sie mit eiem Recheweg oder i Worte, warum die Folge koverget oder(bestimmt) diverget sid) ud bestimme Sie gegebeefalls de Grezwert. Aufgabe 4 Es gilt lim = 1 (vgl. Vorlesug). Bestimme Sie N N, so dass < 10 4 für alle N.

2 Zusatzaufgabe Aufgabe 5 Welche Fuktiosterme beötigt ma, um das folgede Muster darzustelle? Gebe Sie die Fuktiosterme ud die zugehörige Defiitiosbereiche a. Aufgabe 6 Bestimme Sie alle x i R, für die gilt: (i) x x = 1 x3 (ii) x 4 > x Überprüfe Sie Ihre Resultate, idem Sie für die Gleichug, bzw. Ugleichug die rechte ud die like Seite je als eie Fuktio vo x auffasse ud die Graphe dieser Fuktioe i ei Koordiatesystem zeiche. Aufgabe 7 Sei f(x) = 1 3 (x ) + 1. Bestimme Sie zuächst die Bildmege f(r). Bestimme Sie aschliessed zwei grösstmögliche Teilmege D 1, D vo R, so dass f : D i f(d i ) umkehrbar ist. Wie laute die zugehörige Umkehrfuktioe? Aufgabe 8 Beweise SiemitHilfevoSatz.3(SeitedesSkripts),dassdieFolge(a ) N mita = +1 koverget ist. Aufgabe 9 Es gilt lim 3+ = 1 3. (a) Bestimme Sie N N, so dass < 10 6 für alle N. (b) Zeige Sie, dass es zu jedem ε > 0 ei N N gibt, so dass < ε für alle N.

3 Lösugshiweise Aufgabe 1 Defiitio vo umkehrbar ud Beispiele dazu: Skript, Seite Oder: f ist umkehrbar geau da, we weder Problem (1) och Problem () (s. Seite 1) auftritt. (a) (1) Ist jedes N = Y das Geburtsjahr eies x X? () Habe je zwei verschiedee Studierede verschiedee Geburtsjahre? f umkehrbar Atwort ist zweimal ja (b) (1) Gibt es je ei(e) Studierede(r) mit blaue, grüe, bzw. braue Auge? () Habe je zwei verschiedee Studierede verschiedee Augefarbe? (c) Aufpasse, da X = Y = N (icht R)! (d) Graph vo f aschaue (d.h. Satz 1.1 awede). Aufgabe (a) Mit Falluterscheidug wie im Skript, Seite 16 17, um de Betrag aufzulöse. Für (iii) gebe die Nullstelle vo f(x) = x 6x+5 Auskuft, wo f(x) < 0 gilt. (b) Lösuge für (ii) zum Beispiel sid alle x, für welche der Graph vo f(x) = 3 x uterhalb des Graphe vo g(x) = 5 liegt. Aufgabe 3 a : Geometrische Folge. c, d, e : Vorgehe wie i de Beispiele auf Seite 1 des Skripts. f : I eiem Bruch darstelle, da wie für c, d, e vorgehe. Aufgabe 4 Aalog zum. Beispiel (mit ε = = 10 ) auf Seite 19 (ute) des Skripts. Bzw. es ist das 4. Beispiel auf Seite 0 für ε = Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) Das Muster besteht aus 4 Parabel. Die eie ist der Graph vo f : R R, f(x) = x. Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) (i) Mit Falluterscheidug x 0 ud x < 0. (ii) Mit Falluterscheidug x 4 0 ud x 4 < 0. Ugleichug auf die Form f(x) < 0 brige ud Nullstelle vo f bestimme. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Wie sieht der Graph vo f aus? Da aalog zum Beispiel f(x) = x vo Seite 14. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Zeige Sie erstes, dass die Folge a beschräkt ist (utze Sie, dass < + 1 für im Zähler vo a ). Zeige Sie zweites, dass die Folge a mooto wachsed ist. Dies ist der Fall, we a a +1 für alle N, bzw. we a +1 a 1. Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe) (a) Die like Seite der Ugleichug i eiem Bruch schreibe, da die Ugleichug ach auflöse (wie im. Beispiel auf Seite 19). (b) I der Rechug für (a) die Zahl 10 6 durch ε ersetze (vgl. 4. Beispiel, Seite 0).

4 Ergebisse Aufgabe 1 (a) f ist icht umkehrbar. De zum Beispiel ist die atürliche Zahl 5000 icht das Geburtsjahr eies/eier Studierede (d.h ist icht i der Bildmege, gehört aber zum Zielbereich X). Oder: Es gibt zwei verschiedee Studierede, die dasselbe Geburtsjahr (z.b. 1998) habe. (b) f ist icht umkehrbar. De es gibt zwei (ud mehr) verschiedee Studierede, die dieselbe Augefarbe habe. (c) f ist icht umkehrbar, de es gibt zum Beispiel kei x N mit f(x) = x = 3, d.h. die Zahl 3 liegt icht i der Bildmege vo f. (d) f ist umkehrbar, de: (1) Es gilt f(r) = R, daf eiepolyomfuktio vougerademgrad ist. Die Bildmege f(x) ist also gleich dem gaze Zielbereich Y. () Jede Parallele zur x-achse scheidet de Graphe vo f i geau eiem Pukt, bzw. f ist streg mooto wachsed ud deshalb (ach Satz 1.1) umkehrbar. Aufgabe (a) (i) x = 4 (ii) x ( 1,4) (iii) x 1 = 3 7 0,35, x =, x 3 = 4, x 4 = ,65 (b) (i) (ii) (iii) Aufgabe 3 lim a = 0, also koverget (b ) N : diverget lim c = 0, also koverget lim d =, also bestimmt diverget lim e = 1, also koverget lim f = 0, also koverget

5 Aufgabe 4 Das kleistmögliche N ist N = 10 4 = Begrüdug: Die Bedigug +1 1 < 10 4 = ( ) ist gleichbedeuted mit 1 +1 < (die like Seite umforme geau wie im 4. Beispiel auf Seite 0 des Skripts). Diese Ugleichug gilt u geau da, we +1 > Die Bedigug ( ) ist also erfüllt für alle 10000, d.h. N = Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) f 1 (x) = x, f (x) = x, f 3 (x) = x, f 4 (x) = x Für alle Fuktioe gilt D = R. Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) (i) Die Lösuge sid x 1 = 0, x =, x 3 =. Die Lösug x 1 = 0 erket ma sofort. Für x > 0 ist x = x ud die Gleichug darf durch x dividiert werde. Ma erhält 1 = 1 x ud damit x =. Für x < 0 ist x = x ud ma erhält 1 = 1 x, also x 3 =. (ii) Alle x im offee Itervall ( 1 17, ) (,56; 1,56) sid Lösuge. Für x 4 erhält ma die Ugleichug x x+4 < 0. Der Graph der Fuktio f 1 (x) = x x+4 ist eie ach obe geöffete Parabel. Die obige Ugleichug hat also geau da Lösuge, we f 1 zwei Nullstelle hat. Dies ist jedoch icht der Fall (Lösugsformel für die quadratische Gleichug x x+4 = 0 beutze). Für x < 4 erhält ma die Ugleichug x +x 4 < 0. Die Lösugsformel für die quadratische Gleichug x +x 4 = 0 liefert u die beide Lösuge x 1, = 1± 17. Da auch f (x) = x +x 4 eie ach obe geöffete Parabel ist, erfülle also alle x mit x < x < x 1 die Ugleichug. (i) (ii)

6 Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Der Graph vo f ist eie (ach obe geöffete) Parabel mit Scheitelpukt (, 1). Also ist die Bildmege f(r) = {y R y 1} = [1, ). Weiter ist f umkehrbar eierseits auf D 1 = [, ) ud adererseits auf D = (,]. Die Umkehrfuktio vo f 1 : [, ) [1, ), f 1 (x) = 1 3 (x ) +1 ist f 1 1 : [1, ) [, ), f 1 1 (x) = 3(x 1)+. Die Umkehrfuktio vo f : (,] [1, ), f (x) = 1 3 (x ) +1 ist f 1 : [1, ) (,], f 1 (x) = 3(x 1)+. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Erstes gilt a = +1 = +1 < = 1, also ist die Folge a beschräkt (durch die Schrake K = 1). Zweites gilt für alle N, dass a +1 = (+1) a (+) = ++1 > = 1 ud damit ist a +1 > a für alle. Also ist die Folge mooto (sogar streg mooto) wachsed. Nach Satz.3 ist die Folge koverget. Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe) (a) Es gilt = 3(3+) Die Ugleichug ist also äquivalet zu ud 10 6 = (3+) < > > ,56 Das heisst, die Ugleichug ist erfüllt für alle. Also N =. (b) Sei ε > 0. Da gilt für N > 9ε 3, dass = 3(3+) 3(3N +) < 3(3( 9ε 3 )+) = ε für alle N. Dieses N ist kleistmöglich, was icht ubedigtötig ist. Ma ka auch N > 1 ε wähle ud grober abschätze: = 3(3+) < 1 3+ < 1 3 < 1 1 < ε für alle N. N

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