Probeklausur Signale + Systeme Kurs TIT09ITA

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1 Probeklausur Signale + Systeme Kurs TIT09ITA Dipl.-Ing. Andreas Ströder 13. Oktober 2010 Zugelassene Hilfsmittel: Alle außer Laptop/PC Die besten 4 Aufgaben werden gewertet. Dauer: 120 min 1

2 Aufgabe 1 (30 Punkte) a) Ein zeitdiskretes System mit Eingangsgröße u[n] und Ausgangsgröße y[n] werde durch folgende Differenzengleichung beschrieben: Ist das System y[n] = 1 3 linear? ja nein zeitinvariant? ja nein autonom? ja nein kausal? ja nein deterministisch? ja nein ein IIR-System? ja nein ein FIR-System? ja nein ( u[n] + u[n 1] + u[n 2] ) Bestimmen Sie die Impulsantwort h[n] des Systems und skizzieren Sie diese. Ist die Impulsantwort ein Leistungssignal oder ein Energiesignal? b) Die Impulsantwort eines zeitkontinuierlichen LZI-Systems sei gegeben durch h(t) = 2σ(t) Ist die Impulsantwort kausal? Ist das System kausal? Wieviele Speicherelemente benötigt man, um das System zu realisieren? Geben Sie die Gleichung bzw. Differentialgleichung des Systems an. Wie lautet die Sprungantwort des Systems? c) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe des Signals y(t) = e jωt + e jωt. 2

3 Aufgabe 2 (30 Punkte) Gegeben sei das Signal x(t) = U ] [0, T t, t T mit T > 0, U > 0 Das Signal werde periodisch fortgesetzt mit der Periodendauer T. a) Skizzieren Sie das Signal im Bereich t [ 2T, 2T ]. b) Ist das Signal gerade, ungerade oder keins von beiden? c) Enthält das Signal einen von Null verschiedenen Gleichanteil (ja/nein)? Falls ja, bestimmen Sie diesen. Falls nein, erläutern Sie, warum. d) Berechnen Sie für das Signal die komplexe Fourierreihe mit den Koeffizienten c k (k Z). e) Bestimmen Sie die folgenden Kenngrößen des Signals: die Momentanleistung P (t) im Intervall [ 0, T ] die mittlere Leistung P im Intervall [ 0, T ] den Effektivwert x eff 3

4 Aufgabe 3 (30 Punkte) Das Übertragungsverhalten des im folgenden skizzierten Übertrangungsgliedes wird durch die Differentialgleichung T u a (t) + u a (t) = T u e (t) beschrieben, wobei T = RC die Zeitkonstante des Systems, u e (t) das Eingangssignal und u a (t) das Ausgangssignal bezeichnet. a) Ist das System realisierbar? Skizzieren Sie den zugehörigen Signalflußplan in transponierter Direktform II. (Tip: Formen Sie die DGL in geeigneter Weise um) b) Zeigen Sie, daß die Sprungantwort des Systems durch gegeben ist. a(t) = σ(t) e t/t c) Bestimmen Sie die Impulsantwort h(t) des Systems. Wie lautet die Reaktion des Systems auf die Anregung u e (t) = U δ(t) d) Berechnen Sie mithilfe der unter c) ermittelten Impulsantwort die Reaktion des Systems auf die Anregung u e (t) = U sin(ωt), ω > 0, t R. (Tip: Faltung, kausales System, nichtkausale Anregung) 4

5 Aufgabe 4 (30 Punkte) Gegeben sei ein zeitdiskretes, dynamisches LZI-System, das der folgenden Differenzengleichung genügt: y[n] ay[n 1] = u[n] mit a R \ {0} Hierbei bezeichne u[n] die Eingangsgröße und y[n] die Ausgangsgröße des Systems. a) Handelt es sich um ein FIR-System oder ein IIR-System? Bestimmen Sie die Ordnung des Systems. Wieviele Speicherelemente werden für eine Minimalrealisierung benötigt? b) Skizzieren Sie den Signalflußplan des Systems in transponierter Direktform II. c) Zeigen Sie, das die Impulsantwort des Systems durch h[n] = a n σ[n] gegeben ist. d) Skizzieren Sie die Impulsantwort für die Fälle a = 2, a = 1, a = 1/2, a = 2, a = 1, a = 1/2. e) Für welche Werte von a ist h[n] beschränkt? Für welche Werte von a gilt lim h[n] = 0? n f) Bestimmen Sie die Reaktion des Systems auf die Anregung u[n] = b n σ[n] mit b R Betrachten Sie die Fälle b = a (Resonanz) und b a getrennt. 5

6 Aufgabe 5 (30 Punkte) Das dynamische Verhalten des im folgenden skizzierten Übertragungsgliedes wird mit T = RC durch die Differentialgleichung T u a (t) + u a (t) = T u e (t) beschrieben, wobei u e (t) das Eingangssignal und u a (t) das Ausgangssignal bezeichnet. a) Geben Sie die komplexen Wechselstrom-Impedanzen Z R und Z C des Widerstandes R und der Kapazität C an. b) Bestimmen Sie den Frequenzgang des Übertragungsgliedes. G(jω) = U a(jω) U e (jω) c) Bestimmen Sie die Impulsantwort des Systems durch inverse Fouriertransformation des Frequenzgangs. (Tip: Beachten Sie Differentiationsregel für den Zeitbereich) d) Wie lautet die Fouriertransformierte U e (jω) für das Eingangssignal e) Bestimmen Sie und vereinfachen Sie soweit wie möglich. u e (t) = u 0 σ(t)? U a (jω) = G(jω) U e (jω) f) Ermitteln Sie u a (t) durch Rücktransformation von U a (jω). 6