Algorithmen I - Tutorium 28 Nr. 9

Transkript

1 Algorithmen I - Tutorium 28 Nr : Spaß mit Graphen und Graphtraversierung Marc Leinweber marc.leinweber@student.kit.edu INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK (ITI), PROF. DR. JÖRN MÜLLER-QUADE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Agenda 1 Graphrepräsentation 2 Tiefensuche 3 Breitensuche 4 Aufgaben Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

3 Graphen Definition Wir nennen G einen gerichteten Graphen, G = (V, E), E V V wobei V als Knotenmenge, E als Kantenmenge bezeichnet wird. Wir nennen zwei Knoten adjazent, falls sie durch eine Kante verbunden werden. Wir nennen einen Knoten und eine Kante inzident, falls der Knoten ein Endpunkt der Kante ist. Kennt jemand Beispiele? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

4 Graphrepräsentation Adjazenzfeld Adjazenzliste Adjazenzmatrix Implizite Repräsentation Hashing Man kann sich noch weitere Repräsentationen ausdenken und das werden wir auch Grundprinzip Wählt die Repräsentation nach dem Programm, das ihr gerade schreibt. Welche Repräsentation erscheint dir wann sinnvoll? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

5 Adjazenzfeld Wir interpretieren Knoten als Zahlen von 0... n 1. Die können wir dann als Array-Indizes verwenden Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

6 Adjazenzfeld Wir halten uns ein int - Array V[0... n 1] sowie ein Array E für die Kanteninformationen E[V[i]] enthält die erste von Knoten i ausgehende Kante. Die anderen Kanten folgen dann sequentiell bis E[V[i + 1]]. Das bedeutet outdegree(i) = V[i + 1] V[i], falls i n 2 Und für n 1? outdegree(n 1) = E.length V[n 1] Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

7 Adjazenzliste Wieder Array V. Statt Indizes speichern wir diesmal verkettete Listen mit Kanteneinträgen. Unterschiede zum Adjazenzfeld: dynamischer d.h. schnelles Einfügen und Löschen von Kanten Speicherverbrauch? Cache-Performance? Adressierung kann je nach Rechnerarchitektur teuer sein (Pointer sind Adressen) Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

8 Adjazenzmatrix M {0, 1} n n mit M ij = 1 (i, j) E Aufgabe Zeichnet den durch folgende Matrix dargestellten Graphen und gebt eine Darstellung als Adjazenzfeld und Adjazenzliste an. Ist der Graph ein DAG? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

9 Adjazenzmatrixeigenschaften Eigenschaften Speicherverbrauch gut bzw. schlecht je nach Dichte des Graphen (O(n 2 )) Was ist die maximale Anzahl an Kanten in einem Graphen (ohne Parallelkanten)? Graphtraversierung: Schnell bei dichtem Graphen (verglichen mit Adjazenzfeld und Adjazenzliste), langsam sonst Erreichbarkeit von Knoten durch Matrixmultiplikation Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

10 Hashing Was machen wir, wenn wir unsere Knoten nicht mit den Zahlen 0 bis n 1 identifizieren können oder wollen? Statt einem Array V nehmen wir eine Hashtabelle und hashen Knoten auf Adjazenzlisten. Das ist hilfreich, wenn man sich nicht zu viel Mühe geben will, denn das ist in 2 Minuten implementiert. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

11 Tiefensuche (DFS = depth-first search) procedure dfs(node : n) mark(n) foreach (n, m) E do if ( marked(m)) dfs(m) Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

12 Tiefensuche - do it! Aufgabe Starte eine Tiefensuche von Knoten 0! Schreibe in rot den Schrittindex an die Kante. Markiere dabei forward-kanten blau, backward-kanten rot, cross-kanten gelb und tree-kanten grün. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

13 Tiefensuche - Fakten DAG Laufzeit: O( V + E ) optimal: nein, man findet eventuell einen langen Pfad vor einem (deutlich) kürzeren nicht-rekursiv: ja, möglich! findet Anwendung bei der Suche starker Zusammenhangskomponenten (SCC) Wie finde ich mit DFS Kreise? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

14 Breitensuche (BFS = breadth-first search) procedure bfs(node : s) q : Queue, n : Node q.push(s); mark(s) while( q.empty()) n := q.pop() foreach (n, m) E do if( marked(m) do q.push(m); mark(m) Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

15 Breitensuche - do it! Aufgabe Starte eine Breitensuche von Knoten 0!! Schreibe in rot den Schrittindex an die Kante. Markiere dabei forward-kanten blau, backward-kanten rot, cross-kanten gelb und tree-kanten grün. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

16 Breitensuche - Fakten Laufzeit: O( V + E ) optimal: Ja, man findet immer den Weg der wenigsten Kanten. Dafür ist man langsamer als bei der Tiefensuche. Speicheraufwand: O( V + E ). Das kann die iterative Tiefensuche viel besser! Kürzeste Wege Wie finde ich mit einer modifizierten Breitensuche kürzeste Wege? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

17 A I: Heaps Aufgabe I Ein Array A[1..h] stellt einen impliziten binären Heap dar. Gib den Index für Elternknoten, linkes Kind und rechtes Kind von Knoten i an, gegeben sie existieren. parent(i) = i 2 kind L (i) = 2i kind R (i) = 2j + 1 Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

18 A II: Quickselect Aufgabe II Was ermittelt der Quickselect-Algorithmus? Wie lauten Worst-Case-Laufzeit und erwartete Laufzeit im Θ-Kalkül? Ermittelt das Element mit Rang k über einer Folgen von n Elementen. WC: Θ(n 2 ) AC: Θ(n) Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

19 A III: Heaps Aufgabe III Wie lautet die Heap-Eigenschaft? Wie hoch ist der Baum bei n Elementen? v V : parent(v) v Höhe log(n) Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

20 A IV: Algorithmenentwurf Aufgabe IV Ein Anagramm ist eine Zeichenkette, welche durch Permutation der Zeichen aus einer anderen Zeichenkette entstanden ist. Auch ist jede Zeichenkette ein Anagramm von sich selbst. 1 Gib eine Funktion f (s) auf Zeichenketten an, die zwei Wörtern genau dann das gleiche Bild zuordnet, wenn sie Anagramme sind. 2 Gegeben sei eine Menge S von Zeichenketten. Gib einen effizienten Algorithmus an, der zu einem Anfragestring q feststellt, ob S ein Anagramm davon enthält. Die Laufzeit soll nicht von S abhängen. Berechne vorher eine Datenstruktur, die die Anfrage ermöglicht. Die Vorberechnung zählt nicht zur Anfragezeit. q ist bei Vorberechnung unbekannt. Benutze die Funktion aus 1. Begründe Korrektheit und Laufzeit. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

21 A IV: Algorithmenentwurf 1 f (s) sortiert die Zeichen von s lexigrafisch. 2 Löse mit Hashtabelle. Berechne Hashtabelle H mit zufälligem h aus universeller Familie und Tabelle der Größe Θ( S ). Speichere in H alle Bilder von S unter f. Eine Anfrage ist dann eine Anfrage an nach h(f (q)) an H. Die Laufzeit ist unabhängig von S, da nach Satz 1 nur eine konstante Anzahl Kollisionen erwartet wird. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22

22 Was haben wir heute gemacht? Graphdarstellung Graphtraversierung Aufgaben Viel Erfolg und eine super Woche! Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /22