Gleichungen, Umformungen, Terme

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1 Springer-Lehrbuch

2 Thomas Rießinger Gleichungen, Umformungen, Terme Umgang mit Formeln leicht gemacht

3 Thomas Rießinger Bensheim, Deutschland ISSN Springer-Lehrbuch ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Iris Ruhmann Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg

4 Vorwort Auch wenn Sie der Schule schon lange entwachsen sind, gibt es viele Gelegenheiten, sich an den alten Schulstoff zu erinnern, der so schön in einem hinteren Winkel des Gehirns versteckt war. Vielleicht machen Sie ja nach der Schule eine Ausbildung oder beginnen ein Studium und stellen dabei fest, dass man auch hier an Aufsätzen und etwas Mathematik nicht vorbeikommt. Vielleicht haben Sie sich auch nach einigen Jahren der Berufstätigkeit entschlossen, noch einmal etwas Neues anzugehen und eine Weiterbildung zu absolvieren, und was kann Ihnen dabei begegnen? Die alten Bekannten aus der Schule, Sprachen, Mathematik, vielleicht auch Physik, und irgendjemand wird sicher von Ihnen erwarten, dass Sie sich ein wenig darin auskennen. Und vor allem: Sobald Ihre Kinder ins schulfähige Alter geraten, muss man damit rechnen, dass sie sich mit ihren Fragen an Sie wenden. So einfach ist das aber nicht. Auch wenn Ihre Kinder, Ihre Ausbilder oder Ihre Dozenten sich das vielleicht denken, ist es doch völlig unmöglich, dass Sie sich über all die Jahre alles gemerkt haben, was die Schule Ihnen jemals geboten hat. An vieles werden Sie sich vage erinnern, manches werden Sie noch ganz genau wissen, aber einiges ist auch einfach weg. Das ist nicht weiter schlimm, so geht es jedem. Wichtig ist nur, dass Sie sich wieder mit dem Stoff befassen, um Ihren Kindern helfen oder Ihre Prüfer zufriedenstellen zu können, und sofern es dabei um Mathematik geht, möchte ich Sie in diesem Buch ein wenig unterstützen. So schlimm ist die nämlich gar nicht, obwohl vor allem die sogenannte Algebra oft zu Unbehagen führt. Da wird eben nicht mehr nur mit Zahlen gerechnet, sondern es treten Buchstaben auf, Formeln werden gebildet, Gleichungen werden gelöst, und das alles kann einen schon abschrecken. Muss es aber nicht. Es ist schon wahr: In der Algebra lernt man, mit Formeln umzugehen, mit irgendwelchen Ausdrücken, aber wenn man langsam und von vorne damit anfängt, ist auch das halb so wild. Auch die Mathematiker kochen nur mit Wasser, sie betreiben keine Geheimwissenschaft, und auf den folgenden Seiten will ich Ihnen zeigen, dass auch Algebra nicht weh tut. Was in der Schule an Algebra behandelt wird, werden Sie auch in diesem Buch finden. Es geht hier nicht um abstrakte Höhen und gewaltige Theorien, sondern darum, Ihnen die Schulalgebra so zu erklären, dass Sie damit umgehen können. V

5 VI Vorwort Anfangen werde ich an der Stelle, wo üblicherweise die Probleme anfangen: beim Rechnen mit Buchstaben, beim Umgang mit Formeln. Dann werde ich Sie durch die Algebra führen, die man bis zum Ende der Mittelstufe behandelt, natürlich immer an Beispielen orientiert, damit Sie etwas davon haben. Und damit das nicht alles nur graue Theorie bleibt, finden Sie nicht nur immer wieder Gelegenheit, selbst zu üben, sondern am Ende des Buches auch die Lösungen zu den Übungsaufgaben. Das Buch basiert zu großen Teilen auf dem Buch Keine Angst vor Algebra, das 2007 bei Spektrum Akademischer Verlag erschienen ist. Die verwendeten Texte wurden für dieses neue Buch überarbeitet. Alles klar? Dann fangen wir jetzt an. Bensheim, Frühjahr 2016 Thomas Rießinger

6 Inhaltsverzeichnis 1 Terme und Gleichungen Terme Vereinfachung von Termen Lineare Gleichungen Lineare Funktionen Eigenschaften linearer Funktionen Lineare Ungleichungen Und noch mehr Terme Summen mit mehreren Variablen Produkte mit mehreren Variablen Produkte und Potenzen von Summen Bruchterme Rechnen mit Bruchtermen Bruchgleichungen Lineare Gleichungssysteme Gleichungen mit zwei Unbekannten Rechnerische Methoden Anwendungen und Systeme mit drei Gleichungen Reelles und Quadratisches Quadratwurzeln und irrationale Zahlen Rechnen mit Wurzeln Quadratische Funktionen Quadratische Gleichungen Biquadratische Gleichungen, Wurzelgleichungen und Bruchgleichungen Linearfaktoren Polynomdivision VII

7 VIII Inhaltsverzeichnis 5 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Potenzen Wurzeln Logarithmen Exponentialgleichungen Lösungen Terme und Gleichungen Und noch mehr Terme Lineare Gleichungssysteme Reelles und Quadratisches Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Sachverzeichnis

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