Zulassungsprüfung Stochastik,

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1 Zulassungsprüfung Stochastik, 5.5. Wir gehen stets von einem Maßraum (Ω, A, µ) bzw. einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) aus. Die Borel σ-algebra auf R n wird mit B n bezeichnet, das Lebesgue Maß auf R n wird mit λ n bezeichnet. Aufgabe (4 Punkte) (a) Seien f n : Ω [, ) messbar. Zeigen Sie: f := f n ist messbar, und es gilt fdµ = f n dµ. n= (b) Sei b > und f : (, ) R, f(x) = f(x) = n=. Beweisen Sie e bx e kbx. (c) Seien a >, b > und f : (, ) R, f(x) = xe ax. Beweisen Sie e bx Die Funktionen g n := n messbar. Wegen k= (, ) f(x)dλ(x) = (a+kb) 2. f k sind als endliche Summen messbarer Funktionen lim g n = n k= ist f als Grenzwert messbarer Funktionen messbar. Es gilt sogar f k g n ր f (n ) also folgt mit dem Satz von der monotonen Konvergenz fdµ = lim n g n dµ = lim n k= n f k dµ = k= f k dµ. Es handelt sich um die geometrische Reihen ( e bx ) k. Wegen b > gilt e bx < für alle x >, also konvergiert obige Reihe für alle x > gegen e bx.

2 Laut (b) gilt f(x) = xe ax kbx. Für k N und R > gilt R also xe ax kbx dx = xe x(a+kb) a+kb = Re R(a+kb) a+kb xe ax kbx dx = (, ) R + a+kb R e x(a+kb) dx = R (a+kb) 2e ax kbx xe ax kbx dλ(x) = R (a+kb) 2. (a+kb) 2 Die Behauptung folgt nun mit (a) und der obigen Reihendarstellung von f. { e x Aufgabe 2 (4 Punkte) SeiX eine Zufallsvariable mit Dichtef(x) = πx x > sonst. Sei Y eine weitere Zufallsvariable, die bei gegebenem X = x > normalverteilt ist mit Erwartungswert und Varianz 2x. (a) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte f von Y und X. (b) Beweisen Sie, dass für die bedingte Dichte f X Y von X gegeben Y gilt. (c) Sind Y und X unabhängig? f X Y (x y) = (+y 2 )e (+y2 )x (, ) (x) (d) Bestimmen Sie P(X x Y) für x >. Um welche Verteilung handelt es sich? (e) Bestimmen Sie E(X Y) und Var(X Y). Seien f X und f Y die Randdichten von (X,Y). Für die bedingte Dichte f Y X von Y gegeben X gilt Auflösen nach f(x, y) ergibt für x > Für x ist f(x,y) =. f Y X (y x) = f(x,y) f X (x) wenn f X(x) >. f(x,y) = f(y x)f X (x) = = π e x(+y2). x π e xy2 πx e x 2

3 Aus (a) ergibt sich f Y (y) = π Es gilt somit für x > e x(+y2) dx = π(+y 2 ) e x(+y 2 ) f X Y (x y) = f(x,y) ) f Y (y) = π e x(+y2 = e x(+y2) (+y 2 ). π(+y 2 ) = π(+y 2 ). Für x ist f X Y (x y) =. Die Zufallsvariablen X, Y sind nicht unabhängig, da die gemeinsame Dichte nicht Produkt der Randdichten ist. Zu (d) Es handelt sich um eine E(+Y 2 )-Verteilung, somit gilt für x > P(X x Y) = e x(+y 2). Zu (e) Wegen (d) kann man Erwartungswert und Varianz von E(+y 2 ) verwenden: E(X Y = y) = Var(X Y) = xf X Y (x y)dx = +y 2 = E(X Y) = +Y 2 (+Y 2 ) 2. Aufgabe 3 (8 Punkte) Sei X ij die Anzahl der zahlenden Kunden in einem Warenhaus, die in der j-ten Minute der i-ten Stunde in der Zeit zwischen 6: und 2: zahlen. Es sei E(X ij ) = 5, Var(X ij ) =, die X ij seien unabhängig. Sei X die Anzahl der zahlenden Kunden in diesen vier Stunden. Y sei die Anzahl der Kunden, die bargeldlos während dieser vier Stunden zahlen. Wir gehen im folgenden davon aus, dass X normalverteilt ist. (a) Bestimmen Sie E(X) und Var(X). (b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 35 Kunden während der 4 Stunden bezahlen. (c) /6 der Kunden zahlt bargeldlos. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Verteilung von Y. (d) Die Kapazität für bargeldloses Zahlen liegt bei 66. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kapazität überschritten wird. (e) Bei n beobachteten Tagen sei N die Anzahl der Tage, an denen die Kapazität für bargeldloses Zahlen überschritten wird. Bestimmen Sie die Verteilung von N. (f) Diskutieren Sie die Annahme der Normalverteilung für X. 3

4 Laut Definition gilt X = 4 36 i=j= X ij. Somit gilt E(X) = Var(X) = 4 6 E(X ij ) = = 36 i= j= 4 6 Var(X ij ) = 24. i= j= Da X normalverteilt ist mit den Parametern aus (a) folgt ( ) P(X > 35) = P(X 35) = Φ Φ(,65) =, Laut Angabe gilt Y = X 6, damit folgt E(Y) = E(X) = 6, Var(Y) = Var(X) = also Y N ( ) 6, 2 3. Zu (d) Aufgrund von (c) ergibt sich mit der Standardnormalverteilung ( ) 6 P(Y > 66) = P(Y 66) = Φ =,2. 666,67 Zu (e) Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag die Kapazität überschritten wird ist p =,2. Somit ist N B(n,p) verteilt. Zu (f) X Summe einer großen Anzahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit endlicher Varianz. Mit dem zentralen Grenzwertsatz kann man daher davon ausgehen, dass X normalverteilt ist. Aufgabe 4 (2 Punkte) Für x R sei x die größte ganze Zahl, die kleiner als x ist, z.b. 3, = 3, 3,8 = 3. Sei X Exp(λ) und die diskrete Zufallsvariable Y := X. (a) Beweisen Sie, dass für die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y gilt: P(Y = y) = e λy( e λ), y N. (b) Um welche bekannte Verteilung handelt es sich in (a)? Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y. 4

5 (c) Bestimmen Sie einen Maximum Likelihood Schätzer für λ aus einer Stichprobe von unabhängig und identisch verteilten Y,...Y n Y. (d) Gegeben sei eine Stichprobe mit Stichprobenlänge 5, Stichprobenmittel,6 und Stichprobenvarianz 4. Bestimmen Sie den Maximum Likelihood Schätzwert für λ. P(Y = y) = P(y X < y +) = P(y < X y +) = P(X y +) P(X y). Für die Verteilungsfunktion von gilt P(X x) = e λx und somit folgt weiter ( P(Y = y) = e λ(y+)) ( e λy) = e λy e λ(y+) = e λy( e λ). Es handelt sich um die geometrische Verteilung, Geo( e λ ) = NB(, e λ ). Damit folgt Aus der Likelihood L ergibt sich L(λ) = E(Y) = e λ e e λ, Var(Y) = λ ( e λ ) 2. n e ( λyi e λ) = ( e λ) n n i= l(λ) = lnl(λ) = nln ( e λ) n λy i i= n l (λ) = ne λ e λ y i = n n e λ i= l (λ) = neλ ( e λ ) 2 < i= i= y i e λyi Aus l (λ) = ergibt sich wegen l (λ) < der ML-Schätzer n+ n y i ( ) ˆλ = ln i= +ȳ n = ln mit ȳ = n y i. ȳ n Zu (d) y i i= Laut (c) erhält man den Schätzwert ˆλ = ln ( ) +ȳ ȳ = ln i= ( ) +,6,6 =,49. Aufgabe 5 (24 Punkte) In der folgenden Tabelle sind die relativen Sterbehäufigkeiten in % eines homogenen Kollektivs der letzten Jahre aufgezeichnet. 5

6 Jahr rel. Häuf. (% ) 3,5 3,46 3,46 3,38 3,36 3,3 3,7 2,98 2,8 2,75 Bezeichnet man mit x i das Jahr und mit y i die relative Häufigkeit, so wird für die Zufallsvariablen Y i das Modell Y i = a+bx i +ε i, i =,..., untersucht. Die ε i seien unabhängig und N(,σ 2 )-verteilt. Sie können verwenden: x = 5,5; (x i x) 2 = 82,5 y = 3,29; i= i= (y i y) 2 =,725; i= (y i y)(x i x) = 7,47. Stützen die Daten die Behauptung, dass die Sterblichkeit (a) vom Beobachtungsjahr abhängt? (b) sich jedes Jahr um, % -Punkte verringert? Beide Aussagen sollen zu einem Niveau von α = 5 % erfolgen. Zu untersuchen ist die Hypothese H : b =. Es ergeben sich folgende Schätzwerte: 7,47 ˆb = =,9 82,5 ˆσ 2 = ) (,725 7,472 =, ,5,75 se(ˆb) = 82,5 =,95 T = ˆb b se(ˆb) =,9,95 = 9,439. H wird abgelehnt, denn T > t 8;,975 = 2,38. Somit wird die Hypothese, dass die Sterblichkeit nicht vom Beobachtungsjahr abhängt, verworfen. Zu untersuchen ist nun die Hypothese H : b =,. Mit den Werten aus (a) ergibt sich nun die Testgröße T = ˆb b se(ˆb) =,9+, =,53., 95 Die Hypothese, dass sich die Sterblichkeit jähhrlich um, % verbessert wird also nicht verworfen. 6