Die Geburt der Astronomie

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1 Die Geburt der Astronomie 1. Der mittlere Radius der Umlaufbahn des Mars um die Sonne ist 1,5 mal so groß wie der der Erde. Wie lange braucht der Mars um die Sonne zu umrunden? T Mars = 1,5 3 a 1,87a. Zeige, dass die Umlaufdauer eines Himmelskörpers um einen Zentralkörper mit zunehmenden Radius seiner Umlaufbahn wächst. T 0 bezeichnet die Umlaufdauer eines Himmelskörpers um den Zentralkörper. r 0 ist der zu dieser Umlaufbahn gehörige Radius, der beliebig klein sein kann. Aus dem dritten Kepler schen Gesetz folgt für die Umlaufdauer T mit dem Radius r T (r) = ( r r 0 ) 1,5 }{{} 1,falls r r 0 T Fahrplanauszug km Ort RB500 ICE110 0 Mittenwald ab Garmisch-Partenkirchen an Garmisch-Partenkirchen ab Murnau ab Weilheim an Weilheim ab München Hbf an (a) Erstelle ein t s Diagramm und ein t v Diagramm; trage für jeden Zeitpunkt der Fahrt Ort und Geschwindigkeit für jeden der beiden Züge (mit jeweils unterschiedlicher Farbe) in das zugehörige Diagramm. (b) Vergleiche die Linien der beiden Züge im t s Diagramm zwischen Weilheim ab und München Hbf an. Welche Aussage kannst du über die beiden Geschwindigkeiten aus der Steigung der beiden Linien machen? (c) Ermittle die Geschwindigkeit des ICE110 zwischen je zwei Haltestellen. (d) Ermittle die Durchschnittsgeschwindigkeit der beiden Züge zwischen Mittenwald und München. 4. 1

2 5. Aus dem Fahrplan der eingleisigen Bahnstrecke Garmisch Partenkirchen Murnau ist folgender Fahrplanauszug gegeben: km Haltestelle RB1883 RB189 Ankunft Abfahrt Ankunft Abfahrt 0 Garmisch Partenkirchen 7:16 6:56 9 Oberau 7:07 7:08 7:03 7:09 14 Eschenlohe 7:01 7:0 7:15 7:16 19 Ohlstadt 6:57 6:57 7:0 7:1 9 Murnau 6:51 7:8 (a) Stelle die Fahrt der beiden Züge in einem graphischen Fahrplan (= gemeinsames Zeit Ort Diagramm, t s Diagramm) dar. (DIN A4 quer, Maßstab auf der Zeitachse: 1 cm für min, Bereich 6:50 Uhr 7:40 Uhr, Maßstab auf der Ortsachse: 1 cm für km) (b) Berechne die Geschwindigkeit der Züge auf den einzelnen Streckenabschnitten. Wie kann man die dafür benötigten Daten aus der Tabelle, wie aus dem Diagramm entnehmen? (c) Auf welchem Abschnitt ist welcher Zug am langsamsten, wo welcher am schnellsten? Woran erkennt man dies im Diagramm? (d) Der Zug RB189 muss gleich nach dem ersten Streckenabschnitt in Oberau 6 min warten, um den Gegenzug passieren zu lassen. Wie erkennt man diese Situation im Diagramm? Überlege dir Optimierungsmöglichkeiten für den Fahrplan. (e) Der Zug RB1883 hat Verspätung. Ab welcher Verspätung wäre es sinnvoll, den Zug RB189 in Oberau nicht warten zu lassen, um die Züge in einem anderen Ort passieren zu lassen? Probiere graphisch verschiedene Möglichkeiten aus. (a) t s Diagramm: 0 auf der t Achse entspricht der Uhrzeit 6:50 Uhr.

3 s in km 30 RB1883 RB t in min (b) RB1883 Garmisch Partenkirchen Oberau: 9km 0km 7h16min 7h8min = 9km 8min = 67,5 km h Oberau Eschenlohe: 14km 9km 7h7min 7hmin = 5km 5min = 60 km h Eschenlohe Ohlstadt: 19km 14km 7h1min 6h57min = 5km 4min = 75 km h Ohlstadt Murnau: 9km 19km 6h57min 6h51min = 10km 6min = 100 km h RB189 Garmisch Partenkirchen Oberau: 9km 0km 7h3min 6h56min = 9km 7min = 77 km h Oberau Eschenlohe: 14km 9km 7h15min 7h9min = 5km 6min = 50 km h Eschenlohe Ohlstadt: 19km 14km 7h0min 7h16min = 5km 4min = 75 km h Ohlstadt Murnau: 9km 19km 7h8min 7h1min = 10km 7min = 86 km h (c) Beide Züge sind auf dem Abschnitt von Eschenlohe nach Oberau am schnellsten. Im 3

4 Diagramm erkennt man das, dass auf diesen Abschnitten die Linien am steilsten sind. (d) Das Warten eines Zuges erkennt man im Diagramm, dass die Linie waagrecht verläuft. Die beiden Züge fahren aneinander vorbei, wenn sich ihre Linien schneiden. Man könnte die RB189 4 Minuten später losfahren lassen. (e) Die beiden Züge sollten dann in Eschenlohe aneinander vorbeifahren. Die RB189 ist um 7:15 Uhr in Eschenlohe, die RB1883 normalerweise um 7:01 Uhr. Das heißt die RB1883 sollte dazu 14 Minuten Verspätung haben. 6. Die Masse der Sonne ist etwa mal so groß wie die der Erde und ihr Radius etwa 110 mal so groß wie der der Erde. Um welchen Faktor ist die Gewichtskraft eines Körpers an der Sonnenoberfläche größer als an der Erdoberfläche? Ein recht gut trainierter Sprinter schafft es seine Geschwindigkeit beim Start von 0 in etwa 5 Sekunden auf 10 m s zu steigern. Das bedeutet, dass er eine durchschnittliche Beschleunigung von m s erreicht. Wenn wir eine Masse des Sprinters von 75kg unterstellen, benötigt er nach dem zweiten Newtonschen Gesetz dazu eine Kraft von F = ma = 75kg m s = 150N. Dies entspricht in etwa einer Gewichtskraft von 15kg. Ist der Sprinter so schwach oder woran liegt es, dass er so langsam beschleunigt? Der Sprinter kann nur dann eine beschleunigende Kraft erfahren, wenn er Kontakt mit dem Boden hat. Damit die mittlere beschleunigende Kraft dann 150N ist, muss die beschleunigende Kraft während dieser Zeit bedeutend größer sein. 8. Wie schnell kann ein (professioneller) Rennradfahrer fahren? Bergab: Die Frequenz mit der ein Profi tritt ist etwa 00 1 min. Die größte Übersetzung die er zur Verfügung hat ist 53 : 1 und der Radumfang beträgt,00m. Der Berg soll nicht so steil sein, dass der Rennradfahrer nicht mehr treten muss. v = 00 1 min 53 1,00m = 9,4 m s = 106 km h Bergauf: Ein Radprofi kann etwa eine Dauerleistung von 500 W erbringen. Wir sehen von Reibungsverlusten und vom Luftwiderstand ab und nehmen an, dass die Steigung 10% beträgt. Die Masse des Radfahrers inclusive Rennrad soll 85 kg betragen. P = mgh t = mgh = mg 0,1 l t P P v = l t = l P mg 0,1 l = P mg 0,1 = 6,00 m s = 1,6 km h 9. Eratosthenes ( v.chr.) berechnet den Erdradius 4

5 Die ägyptischen Städte Alexandria und Syene (heute Assuan) liegen auf dem gleichen Sonnenstrahlen Längengrad (Meridian). Am Tag der Sommersonnwende spiegelte sich zur Mittagszeit Syene 5000 Stadien die Sonne im tiefen Brunnen von Syene, d.h. Alexandria die Sonne stand genau senkrecht über Syene ϕ ϕ = 7, (Syene liegt auf dem Wendekreis des Krebses).ZurgleichenZeitwarfdieSonneim5000 Stadien ( 800 km) nördlich gelegenen Alexandria einen kleinen Schatten (siehe Abb.). Berechne den Erdradius. Welche anderen Argumente für die kugelförmige Gestalt der Erde konnten zur damaligen Zeit noch vorgebracht werden, welche gibt es heute? R = b ϕ = 800km π 6, km 7, 180 Schiffe, kreisförmiger Schatten bei Mondfinsternissen heute: Blick aus einem Raumschiff 10. Aristarch aus Samos ( v.chr.) berechnet das Verhältnis der Entfernungen Erde-Sonne und Erde-Mond Nebenstehende Abbildung zeigt die Lage von Erde, Sonne und Mond, wenn von der Erde aus der Mond gerade als Halbmond erscheint. Aristarch aus Samos, der auch ein heliozentrisches Weltbild vorgeschlagen hatte, bestimmte den Winkel Sonne- Erde-Mond etwas ungenau zu ϕ 87. Berechne daraus das Verhältnis der Entfernungen Erde-Sonne und Erde-Mond. Sonne Berechne den wahren Wert des Winkels ϕ aus den heute bekannten Entfernungen SE = 1, km und ME = km. Mond ϕ Erde ES EM = 1 cosϕ = 19,1; in Wirklichkeit: ES EM = 1, km 3, km = 389 cosϕ = EM ES = 3, km 1, km = 0,0057 = ϕ = 89,85 Ein kleiner Fehler beim Winkel bewirkt einen sehr großen Fehler im Verhältnis ES EM. 11. (a) Erkläre anhand geeigneter Skizzen das Zustandekommen einer Sonnen- und einer Mondfinsternis. (b) Es gibt ringförmige und totale Sonnenfinsternisse. Schätze auf Grund dieser Tatsache den Radius der Sonne ab (R Mond = 1738km). 5

6 (a) Mondfinsternis: Wenn Sonne, Mond und Erde (fast) auf einer Geraden liegen, gibt es eine Finsternis. Eine Mondfinsternis kann es nur bei Vollmond, eine Sonnenfinsternis nur bei Neumond geben. Außerdem muss der Mond bei einer Finsternis in der Erdbahnebene liegen. Bei der Mondfinsternis liegt der Mond im Schatten der Erde. Sonne Halbschatten Erde Kernschatten Mond Sonnenfinsternis: Bei der Sonnenfinsternis liegt der Beobachtungsort auf der Erde im Schatten des Mondes. Der Sichtbarkeitsbereich einer totalen Sonnenfinsternis ist nicht sehr groß und hängt von den momentanen Entfernungen Erde-Mond und Erde-Sonne ab. Sonne Halbschatten Mond Kernschatten Erde (b) Ist die Erde zu weit vom Mond entfernt, dann ist der scheinbare Durchmesser (Winkeldurchmesser) des Mondes kleiner als der der Sonne und man beobachtet eine ringförmige Sonnenfinsternis. Ungefähr aber erscheint der Mond genauso groß wie die Sonne. Aus dem Strahlensatz folgt dann R = 1AE = R Mond r Mond R = 1AE R Mond r Mond = 1, m 1, m 3, m = 6, m 1. Mondentfernung (a) DieOrtePundQliegenaufdem39.Breitengrad bei 11 östlicher und bei 93 westlicher Länge. Berechne a = PQ. (b) Von P und Q aus wird gleichzeitig ein Punkt M des Mondes anvisiert und es werden die Winkel β = 63,000 und γ = 64,000 gegen die Gerade PQ gemessen. Berechne die Entfernung r p = PM. P β a r p Q γ M h (c) Von P aus erscheint der Monddurchmesser unter dem Winkel δ = 9 43,5. Berechne den Radius R M des Mondes. 6

7 (a) ϕ = 39, α = 104, R = 6378km r = Rcosϕ = 4957km a = PQ = rsin α = 781km (b) ε =<) PMQ = γ β = 1,000 Sinussatz: r p a = sin(180 γ) sinε r p = asin116 sin1 = 4, km Q P r α ϕ R ϕ (c) δ = ( ,5 ) = 0, R M = r p tan δ = 1, km 13. In verschiedenen Lehrbüchern findet man verschiedene Definitionen der Länge 1 pc nämlich a oder b in nebenstehender Abbildung (S: Sonne, E: Erde, SE = 1AE). Um welche Strecke unterscheiden sich die beiden Definitionen und wie groß ist der relative Fehler? E S b 1 a P a = 1AE tan1 = 0664, AE b a =, AE = 363km = δ rel = b a b b = 1AE sin1 = 0664, AE = 1, Ordne die Erdentfernungen folgender Sterne der Größe nach: Sirius 8,65 LJ ε-eridani 3,30 pc Barnards Stern 5, m α-centauri, AE Altair Erdbahnradius erscheint unter dem Winkel 0,198 LJ Parsec AE m ϕ Sirius 8,65,65 ε-eridani 3,30 Barnards Stern 5, α-centauri, Altair 0, (a) Schätze ab, aus wie vielen Protonen das Universum besteht. Nimm dazu an, dass das Weltall nur Wasserstoff enthält. 7

8 (b) Das Alter des Universums ist 13, a. Wie viele Sekunden sind das? (c) Nimm an, dass sich das All seit dem Urknall mit Lichtgeschwindigkeit ausgedehnt hat und dass es kugelförmig ist. Wie groß ist dann die Dichte des Universums? Wie viele Wasserstoffatome enthält es pro m 3? (d) Wie groß ist die gesamte Energie W m der Materie des Universums? Es ist fast unglaublich, dass die aus der Gravitation resultierende potentielle Energie des Weltalls gleich W m ist und somit seine Gesamtenergie ziemlich exakt null ist! 16. Welche Dichte hat ein Neutronenstern der 1,5-fachen Sonnenmasse und mit dem Radius R = 0 km? Welche Masse hat ein Kubikzentimeter dieses Sterns? 17. Der Ereignishorizont (Point of no Return) eines schwarzen Lochs der Masse M ist eine Kugelfläche mit dem Radius R S = GM c (Schwarzschildradius), 11 m3 wobei G = 6,67 10 die Gravitationskonstante ist. kgs (a) Berechne den Schwarzschildradius der Sonne und der Erde. (b) Das schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxis hat den Schwarzschildradius R S = 7, km. Welche Masse hat dieses Monstrum? 18. (a) Der Komet Tempel-Tuttle umrundet die Sonne in T = 33,7a und hat die kleinste Sonnenentfernung r 1 = 0,976AE. Berechne die Halbachsen der Kometenbahn und seine größte Entfernung r von der Sonne. Skizziere die Bahn des Kometen und zeichne auch die Erdbahn ein. (b) Der Komet Hale-Bopp hat den Perihelabstand r min = 0,914AE und die Exzentrizität seiner Bahn ist e = 0, Berechne seine Umlaufdauer und die Halbachsen seiner Bahn. (a) T a 3 = C = 1 a AE 3 = a = 3 = 10,335AE C d = a r 1 = 9,359AE = b = a d = 4,386AE r = a+d = 19,694AE T 8

9 y AE x AE 4 (b) d = ea = r min = a d = a(1 e) = a = r min 1 e = 187AE b = a 1 e = 18,5AE T a 3 = C = 1 a AE 3 = T = a 3 C =, a 19. Der Jupitermond Io umrundet den Planeten in der Zeit T Io = 1,77d auf einer Bahn mit der großen Halbachse a Io = 4, 10 5 km. (a) T Eu a 3 Eu (a) Der Jupitermond Europa hat die Umlaufdauer T Eu = 3,55d. Wie lang ist die große Halbachse a Eu der Umlaufbahn von Europa? (b) Eine Jupitersonde soll den Planeten so umrunden, dass ihre kleinste Entfernung (Punkt A) vom Planetenmittelpunkt r 1 =, km und ihre größte Entfernung (Punkt B) r = 8, km ist. Berechne die Länge a der großen Halbachse, die Umlaufdauer T, die Exzentrizität e und die Länge b der kleinen Halbachse der Sondenbahn. (c) Zeichne von der Sondenbahn die Punkte A, B und die beiden Brennpunkte S 1 (Jupiter) und S (10 5 km =1cm). Zeichne auch die Punkte C und D ein, die aus der Kenntnis der kleinen Halbachse resultieren. Konstruiere (mit kurzer Erläuterung) die Bahnpunkte E und F, die von Jupiter die Entfernung r 3 = 3, 10 5 km haben. Welche Entfernung r 4 haben diese Punkte von S? Beweise, dass EF AB gilt. Skizziere jetzt die Bahn unter Ausnutzung von Symmetrien. = T Io a 3 Io a Eu = 3 T Eu a3 Io T Io (b) a = r 1 +r 17 d = C Jup = 4,17 10 km 3 = = a Io 3 = km T Eu T Io = 1,59a Io = 6, km 9

10 T a 3 = C Jup = T = a 3 C Jup =,8d d = a r 1 = km = ea = e = d a = 0,6 b = a d = a 1 e = 0,8a = km (c) r 4 = ES = a r 3 = 6, km k(s 1,r 3 ) k(s,r 4 ) = {E,F} E C E S 1 S = d = km r 3 r 4 r3 +S 1S = 46, km r4 = 6, km = r3 +S 1S = A S 1 S B <) S S 1 E = 90 F D F 0. Ein kurzer Laserpuls wird von einem Teleskop T am Äquator zu einem Spiegel S r auf dem Mond geschickt, dort reflektiert und R E t bei T wieder empfangen, die Zeit t, die R M der Strahl unterwegs war, wird von einer Atomuhr gemessen. Im Verlauf eines Monats misst man die kleinste Zeitdifferenz t min =, s und den größten Wert t max =, s. Der Erdradius ist R E = 6378km, der Radius des Mondes R M = 1738km. (a) Berechne die kleinste (r min ) und die größte (r max ) Entfernung der Mittelpunkte von Erde und Mond. Ermittle daraus die große Halbachse a M und die kleine Halbachse b M der Mondbahn. (b) Die siderische (in einem zu den Sternen ruhenden Koordinatensystem betrachtete) Umlaufdauer des Mondes ist T M = 7,3166d. Welchen Radius hat die kreisförmige Bahn eines geostationären Satelliten, der die Erde in genau einem siderischen Tag (Sterntag), d.h. in d sid = 3h56min4s umrundet? (c) Erkläre das Zustandekommen des Zahlenwertes eines siderischen Tages. (a) r min = c t min r max = c t max a M = r min +r max +R E +R M = 36396km +R E +R M = km = km d M = a M r min = 1104km, e M = d M = 0,0549 a M b M = a M d M = 38380km 10

11 T ( ) (b) T = d sid = 86164s, a 3 = T M T 3 a 3 = a = a M = 498km M T M über Erdoberfläche: x = a R E = 3590km (c) Ein Jahr hat 365,5 4h-Tage und 366,5 Sterntage: 365,5 4h = 366,5 d sid d sid = 365, s = 86164s 366,5 d sid = 3h56min4s Sonne Erde 11