D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu. MC-Fragen Serie 1. Einsendeschluss: Freitag, der :00 Uhr

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1 D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu MC-Fragen Serie 1 Einsendeschluss: Freitag, der :00 Uhr 1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Eine divergente Folge ist nicht beschränkt. Jede beschränkte Folge ist konvergent. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Eine nicht beschränkte Folge divergiert. 2. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Falls lim n a 2n = α R, und lim n a 2n+1 = α, dann folgt lim n a n = α. Sei (a n ) n 1 eine konvergente Folge, und σ eine Permutation von {1, 2, 3,... } (d.h. eine Bijektion der Menge {1, 2, 3,... } auf sich selbst). Dann konvergiert auch die Folge (b n ) n 1, b n = a σ(n), n N. 3. Gegeben sei die Folge a n = 3n2 Aussagen sind richtig? 2(n+1), n = 1, 2, 3,.... Welche der folgenden Die Folge ist monoton wachsend. Die Folge ist beschränkt. Die Folge ist divergent. Die Folge besitzt keinen Limes in R. 1

2 4. Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen 0 konvergiert. Welche der folgenden Aussagen gelten? Wenn die Folge (a n ) n N konvergiert, dann ist (a n+1 a n ) n N eine Nullfolge. Wenn die Folge (a n+1 a n ) n N eine Nullfolge ist, konvergiert (a n ) n N. Jede beschränkte Folge hat unendlich viele konvergente Teilfolgen. 5. Die Zahlenfolge ( 1)n (n 2 +2) n 3 2n 2 +n hat zwei verschiedene Häufungspunkte divergiert nach konvergiert mit Grenzwert 0 6. Sei k=1 a k eine reelle Reihe mit k N : a k 0. Die Reihe konvergiert......genau dann, wenn die Folge der Partialsummen nach unten beschränkt ist....genau dann, wenn (a k ) eine monoton wachsende Nullfolge ist...., falls ε > 0 n 0 N k n 0 : a k < ε. 7. Sei ( ) k 2 i eine komplexe Reihe. Diese Reihe besitzt den Grenzwert k=0 1 + i. 1 2 i i. 2

3 8. Die Potenzreihe 2 n n=1 n n zn ist auf dem Rand ihres Konvergenzkreises überall absolut konvergent. überall konvergent, aber nicht überall absolut konvergent. überall konvergent ausser in endlich vielen Punkten. nirgendwo konvergent. 9. Es gilt, dass n 1 ableiten, dass n 1 ( 1) n n ( 1) n nicht absolut konvergiert. Kann man daraus n nicht absolut konvergiert? Ja. Nein. 10. Betrachte die Folge Welche Aussage stimmt? { n, n gerade, a n = n ungerade. 1, n (e) (f) (g) Die Folge hat einen Häufungspunkt. Die Folge hat keinen Häufungspunkt. Die Folge konvergiert. Die Folge hat eine konvergente Teilfolge. Die Folge hat zwei verschiedene konvergente Teilfolgen. Die Folge ist nach unten beschränkt. Die Folge ist beschränkt. 3

4 11. Was sagt das Quotientenkriterium über die Konvergenz der Reihe n 1 ( 1)n 1 n aus? Die Reihe konvergiert. Die Reihe divergiert Nichts. 12. Sei 0 q < 1. Was sagt das Quotientenkriterium über die Konvergenz der Reihe n 1 n1000 q n aus? Die Reihe konvergiert. Die Reihe divergiert Nichts. 13. Sei q > 0. Betrachten Sie die Folge a n = q ( n. n 1 + n) 1 Dann gilt: falls 0 < q < 1, konvergiert a n gegen 0. falls 0 < q < 1, konvergiert a n gegen e. falls q > 1, konvergiert a n gegen e. divergiert falls q > 1. (e) falls q < 1, ist a n beschränkt. 14. Sei (a n ) n eine Folge in R. Wir definieren b n = a n+n0, wobei N 0 = 100. Wählen Sie die richtigen Antworten. Falls lim n a n existiert, existiert lim n b n, und die Grenzwerte müssen zusammenfallen. Falls lim n a n existiert, existiert lim n b n, aber es ist nicht nötig, dass die Grenzwerte gleich sind. lim n a n existiert genau dann, wenn lim n b n existiert. 4

5 15. Sei f : N N eine Permutation der natürlichen Zahlen und sei (a n ) n eine Folge in R. Wir definieren die Folge b n = a f(n). Falls lim n a n existiert, existiert lim n b n und es gilt lim n a n = lim n b n. Falls lim n a n existiert, existiert lim n b n aber es muss nicht unbedingt lim n a n = lim n b n sein. 16. Sei (a n ) n eine Folge in R und sei H die Menge ihrer Häufungspunkte. Es immer gilt H. Falls (a n ) n unbeschränkt ist, gilt H =. Falls (a n ) n beschränkt ist, ist H. Falls (a n ) n unbeschränkt ist, ist H immer endlich. 17. Der Wert von n=0 ( 3π 4 i) n 1 n! ist: 1 + i i. 1 + i i. (e) Keine der Aussagen trifft zu. 5

6 18. Aus dem Cauchy-Kriterium folgt, dass für jede konvergente Reihe n=1 a n und für jedes ɛ > 0 ein N N existiert, sodass für alle n m N die Abschätzung n a k < ɛ gilt. k=m Wahr. Falsch. 19. Welche der folgenden Aussagen sind im Allgemeinen richtig? n=1 a n konvergiert (a n ) n ist eine Nullfolge. (a n ) n ist eine Nullfolge n=1 a n konvergiert. (a n b n für alle n N und n=1 b n konvergiert) n=1 a n konvergiert. n=1 a n konvergiert Die Folge (a n ) n ist monoton fallend. 20. Sei (a n ) n eine Folge reeller Zahlen. Dann haben die beiden Potenzreihen a n z n und n=1 na n z n 1 n=1 denselben Konvergenzradius. Wahr. Falsch. 6