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1 Lehrstuhl C für Mathematik (Analysis Prof Dr Holger Rauhut Aachen, den 373 Wiederholungsklausur zur Höheren Mathematik I SoSe 3 Variante A Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DIN-A4-Blättern Keine Fotokopien oder Ausdrucke Taschenrechner sind nicht zugelassen Bewertung: Es gibt drei Typen von Aufgaben Die einzelnen Teile werden wie folgt bewertet: I: (Aufgaben I-I3 Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte Nutzen Sie für die Lösungen von diesem Teil Ihr eigenes Papier II: (Aufgaben II-II4 Sie müssen das richtige Ergebnis in die entsprechenden Kästchen des Antwortbogens für diesen Teil eintragen Darüberhinaus können Sie im Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein Es werden nur die Einträge in den jeweiligen Kästchen des Antwortbogens bewertet III: (Aufgaben III-III3 Hier müssen Sie Aussagen Wahrheitswerte zuordnen Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: ( 3 = 6 ( + = 3 ( Pkt Antwort ( ( Punkte W W W F 3 F W 4 F F Antwort ( ( Punkte 5 F - 6 W F 8 - W Es gibt keine Minuspunkte Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen zu diesem Teil stehen! Bitte geben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu diesem Teil an Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I: ( Pkt Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Gültigkeit der folgenden Ungleichung für alle n N: n k= k k n n(n+ Aufgabe I: Es sei die folgende ( -Matrix A gegeben duch ( 7 8 A = 8 7 ( Pkt a Bestimmen Sie die Eigenwerte zusammen mit den zugehörigen Eigenräumen der Matrix A b Bestimmen Sie eine ( -Matrix B, so dass gilt: A = B B Es sei B gegeben durch ( b b B = b b Geben Sie die Einträge b,b,b,b R explizit an Aufgabe I3: Es seien die folgenden Vektoren im R 3 bzw R gegeben: a =, a =, a 3 =, b = ( (, b = ( Pkt Weiter sei L : R 3 R eine lineare Abbildung mit den folgenden Eigenschaften: L(a = b, L(a = b, L(a 3 = b +b Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix A = M(E,L,E 3, dh die Matrix A, so dass für alle x R 3 die Gleichung L(x = Ax gilt Teil II Aufgabe II: Beantworten Sie die folgenden Fragen zu komplexen Zahlen (+4++ Pkt a Skizzieren Sie die folgende Teilmenge der komplexen Zahlen: M = {z C z +z, Im(z z } b Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z 3 = 4 3+4i c Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil von z = 4 (i+ 3 d Bestimmen Sie das Argument ϕ ( π,π] von z = ( e iπ 6 ( e i3π 4

3 Aufgabe II: (4++++ Pkt Beantworten Sie die folgenden Fragen zu Determinanten, Eigenwerten und Eigenvektoren Es sei die folgende (3 3-Matrix A gegeben durch A = 3 a Bestimmen Sie das charakteristische Polynom p(λ der Matrix A und geben Sie es in der Form p(λ = ( (λ λ (λ λ (λ λ 3 mit λ,λ,λ 3 R an b Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A c Bestimmen Sie den Eigenraum zum Eigenwert 3 der Matrix A d Es sei B = A E, wobei E die (3 3-Einheitsmatrix bezeichnet Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Bx = e Bestimmen Sie die Determinante der folgenden (5 5-Matrix C gegeben durch 7 3 C = Aufgabe II3: Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der konvergenten Folge (a n n N (n+ a a n = n für n N n! b a n = für n N n 3n c a =, a n+ = + (a n a n für n N (++4+ Pkt d a n = n a n +b n für n N, wobei a und b positive reelle Zahlen mit a b sind Aufgabe II4: (++ Pkt Für a,b,c R seien eine Gerade g und eine Ebene E im R 3 wie folgt definiert: t x g = bt R 3 t R, E = x R 3 ax x +cx 3 = x 3 a Für welche Parameterwerte a, b, c schneiden sich g und E überhaupt nicht? b Für welche Parameterwerte a,b,c schneiden sich g und E in genau einem Punkt? c Für welche Parameterwerte a,b,c ist g in E enthalten?

4 Teil III Aufgabe III: ( Pkt a Gegeben seien die folgenden drei Vektoren im R 4 : v = 3, v = 4, v 3 = Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A v,v,v 3 sind linear unabhängig (A v,v,v 3 spannen einen 3-dimensionalen Teilraum des R 4 auf (A3 Der von v,v,v 3 aufgespannte Teilraum enthält den Nullvektor b Es sei V R 3 gegeben durch V = {(x,x R x =, x } Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A V ist ein linearer Unterraum des R (A V ist ein affiner Unterraum des R (A3 V enthält den Nullvektor c Beurteilen Sie jeweils, ob B ein Erzeugendensystem des linearen Unterraums V R 3 mit V = {x R 3 x,(,, = } ist 4 (A B =, 4 (A3 B =, (A B =, 4, d Es sei P der von den Polynomen x x, x x 3, x 3 x 4, x 4 (über R aufgespannte Unterraum der Polynome vom Grad höchstens 4 Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A Das Polynom x+ ist in P enthalten (A Jedes Polynom vom Grad 4 liegt in P (A3 P ist ein 4-dimensionaler Unterraum des Raumes aller Polynome vom Grad höchstens 5 e Wir betrachten für α, β, γ R das folgende lineare Gleichungssystem: α α α 3 x β β x α x γ 3 = β γ x 4 Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A Das Gleichungssystem besitzt unabhängig von α, β, γ eine Lösung (A Für α = β = γ = ist die Lösungsmenge ein -dimensionaler linearer Unterraum des R 4 (A3 Für γ ist die Lösungsmenge ein affiner Unterraum des R 4

5 Aufgabe III: (++3+3 Pkt a Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A Für alle v,v R 3 gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor v 3 R 3, so dass v 3 senkrecht auf v und v steht und weiter {v,v,v 3 } eine positiv orientierte Basis des R 3 ist (A Für jeden linearen Unterraum V von R 3 gibt es eine orthonormale Basis (A3 Jeder Vektor des R 3 steht senkrecht auf dem Nullvektor b Wir betrachten die Matrix M = Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (AM isteineorthogonalematrix,dhmm = E,wobeiE die(3 3-Einheitsmatrixbezeichnet (A Die Spalten von M bilden eine Orthonormalbasis des R 3 (A3 Die Spalten von M sind paarweise orthogonal (A4 Die Spalten von M bilden eine Basis des R 3 ( α 6β c Wir betrachten die Matrix A = 4α 3β Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A Für alle α,β R sind die Spalten von A orthogonal (A Es gibt α,β R, so dass A eine Drehmatrix ist (A3 Für alle α,β R sind die Zeilen von A orthogonal d Es sei D = {x R 3 (x,(,, = π } 6, x =, wobei (, den Winkel zwischen zwei Vektoren bezeichne Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A Der Vektor (,, liegt in D (A D enthält unendlich viele Elemente Aufgabe III3: (3++3 Pkt a Es sei L : R R 3 eine lineare Abbildung Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A Der Kern von L ist ein linearer Unterraum des R 3 (A Das Bild von L ist ein Vektorraum V mit dim(v (A3 Der Nullvektor liegt im Kern von L b Es sei V = R 4 Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A Der Schnitt zweier linearer Unterräume von V ist stets wieder ein linearer Unterraum (A Es gibt zwei affine Unterräume von V deren Schnitt ein linearer Unterraum ist (A3 Jeder affine Unterraum von V ist auch ein linearer Unterraum c Esseien(a n n N und(b n n N zweikonvergentefolgenreellerzahlenmitdenjeweiligengrenzwerten a und b Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (A Die Folge ((a n b n n N konvergiert gegen (a b (A Es gibt ein M >, so dass a n < M für alle n N a n (A3 Es gilt: lim n n =

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