Hauptprüfung Abiturprüfung 2018 (ohne CAS) Baden-Württemberg
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- Philipp Waltz
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1 Hauptprüfung Abiturprüfung 08 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis A Hilfsmittel: GTR und Merkhilfe allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz Juni 08
2 Aufgabe A. Der Graph der Funktion f mit 4 3 f(x) 0,3x,8x 8,3x 7,6x 6 beschreibt modellhaft für 0 x 3,8 das Profil eines Geländequerschnitts (siehe Abbildung). Die positive x-achse weist nach Osten und f(x) gibt die Höhe über dem Meeresspiegel an (eine Längeneinheit entspricht 00 Meter). Eine Brücke führt in West-Ost-Richtung auf einer konstanten Höhe von 500 Meter über dem Meeresspiegel über das Tal. a) Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt des Profils. Bestimmen Sie die Stelle, an der das Gelände am steilsten ist. Bestimmen Sie die Länge der Brücke. Ermitteln Sie die durchschnittliche Steigung des Geländeprofils zwischen dem östlichen Ende der Brücke und dem höchsten Punkt des Profils. (5 VP) b) An einem Punkt der Brücke, der im Modell die Koordinaten P(/5) hat, wird ein 30 Meter langes Seil befestigt, das senkrecht nach unten hängt. Das untere Ende des Seils soll zu jedem Punkt des Geländeprofils einen Mindestabstand von 5 Meter haben. Untersuchen Sie, ob dieser Mindestabstand eingehalten wird. (3 VP) c) Eine Drohne steigt vertikal von einer Position auf, die durch den Punkt D(,5/f(,5)) dargestellt wird. Die Drohne verfügt über eine Kamera. Ermitteln Sie, ab welcher Höhe über dem Gelände die Kamera den Ort auf der Brücke erfassen kann, der durch den Punkt P(/5) dargestellt wird. (4 VP) d) Bei der Schneeschmelze füllt sich das Tal mit Wasser. Dabei entsteht ein See, der im Querschnitt 30 Meter breit ist. Berechnen Sie die durchschnittliche Tiefe der Querschnittsfläche des Sees. (3,5 VP) Aufgabe A. Für jede reelle Zahl k ist eine Funktion f k mit x x f k(x) k e x e gegeben. a) Bestimmen Sie die Nullstelle von f k. ( VP) b) Zeigen Sie, dass f k eine Stammfunktion von f k ist. Der Graph von f schließt mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimmen Sie ihren Inhalt exakt. (3,5 VP)
3 Aufgabe A. Lösungen a) Der Höhenunterschied ergibt sich aus den Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes: GTR: Koordinaten des Hochpunktes sind H(,55/6,85) Koordinaten des Tiefpunktes sind T(0,65/3,85) Höhenunterschied: 6,85 3,85 = 3 Der Höhenunterschied beträgt ca. 300 m. Die Stelle, an der das Gelände am steilsten ist entspricht der Stelle, an dem sich der betragsmäßig größte Wert der Ableitungsfunktion f(x) befindet. GTR: An dem rechten Schaubild erkennt man, dass die Ableitungsfunktion an der Stelle x = 0 den betragsmäßig größten Wert annimmt. Das Gelände ist an der Stelle am steilsten, die im Modell die x-koordinate 0 hat. Die Länge der Brücke ergibt sich durch den Schnitt der waagrechten Geraden y = 5 mit dem Schaubild von f(x). Die Gerade schneidet das Schaubild von f bei x = 0,6 und x =,36. Länge der Brücke:,36 0,6 =, Die Länge der Brücke beträgt ca. 0 m. 3
4 Durchschnittliche Steigung: Östliches Ende der Brücke: A(,36/5). Höchster Punkt des Profils: H(,55/6,85) 6,85 5 Steigung der Strecke AH beträgt mah,55,55,36 Die durchschnittliche Steigung beträgt ca.,55. b) Das untere Ende des Seils befindet sich im Punkt P*(/4,7), weil er 30 Meter unterhalb des Punktes P(/5) liegt. Berechnung des minimalen Abstandes des Punktes P*(/4,7) vom Graphen von f: Hierzu wählt man einen allgemeinen Punkt auf dem Graphen von f: B(u/f(u)). P*B d(u) (u ) (f(u) 4,7) Gesucht ist das absolute Minimum der Funktion d(u) mit 0 u 3,8: GTR: Für u =, ergibt sich ein lokales Minimum mit d(,) = 0,. Untersuchung der Randwerte: d(0) =,64 und d(3,8) = 3,04 Da die Randwerte keine kleineren Werte ergeben, liegt bei u =, ein abolutes Minimum vor. Der minimale Abstand beträgt 0, = Meter und ist damit größer als der geforderte Mindestabstand von 5 Meter. Der Mindestabstand wird folglich überall eingehalten. c) Skizze: 4
5 Koordinaten: P(/5) und D(,5/ f(,5)) D(,5/ 6,84) Vom Punkt P(/5) aus wird eine Tangente an den Graphen von f gelegt. Ansatz für die Tangentengleichung: y f(u) (x u) f(u) Einsetzen des bekannten Punktes P(/5): 5 f(u) ( u) f(u) Lösung der Gleichung mit dem GTR: Die Lösung lautet u =,07. Tangentengleichung an den Graphen von f an der Stelle u =,07 mit dem GTR: y,4x 3,58 (rechte Abbildung) Bestimmung des Punktes E auf der Tangente mit x =,5 (oberhalb von D) y,4,5 3,58 7, Also ist E(,5/7,). Senkrechter Abstand von D und E: 7, 6,84 = 0,7. Ab einer Höhe von ca. 7m kann die Kamera den Ort auf der Brücke erfassen. d) Da nur die Breite des Sees bekannt ist, benötigt man die Information, an welchen Stellen der See beginnt bzw. endet. Der See beginnt an der Stelle x und endet 30 Meter später an der Stelle x + 0,3. Es muss also gelten: f(x) f(x 0,3) Die einzige sinnvolle Lösung im Sachzusammenhang lautet x = 0,5. Der See liegt also im Intervall [0,5; 0,8]. Mit f(0,5) 3,93 stellt die Gerade y = 3,93 die Seeoberfläche dar. 5
6 Die Tiefe des Sees wird durch die Funktion h(x) 3,93 f(x) (Abstand zwischen Seeoberfläche und Geländequerschnitt) ausgedrückt. Durchschnittliche Tiefe: 0,8 h(x)dx 0,05 0,8 0,5 (GTR) 0,5 Die durchschnittliche Tiefe beträgt ca. 5, m. Aufgabe A. a) Bedingung für Nullstelle: f k (x) 0 x x k e x e 0 x e (k x) 0 Lösung mit Satz vom Nullprodukt x Gleichung I): e 0 ist nicht lösbar k Gleichung II): k x 0 x b) Es gilt x x f k (x) (k ) e x e Wenn f k eine Stammfunktion von f k ist, dann muss gelten: f k (x) f k (x) f (x) (k ) e e x e k x x x (Anwendung der Produktregel) x x x x x x k e e e x e k e x e f k(x) Damit ist die Stammfunktionseigenschaft nachgewiesen. Flächeninhalt: Die Funktion f (also k = ) besitzt die Nullstelle x. Die Grenzen des Integrals sind daher x = 0 (y-achse) und x = A f (x)dx f (x) f () f (0) 4e e (4e 0) e 4 6
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