Sechste Vorlesung: Gravitation II

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1 Sechste Vorlesung: Gravitation II 6.1 Das Einstein-Hilbert-Funktional 6.2 Relativistische Elektrodynamik 6.3 Spurfreiheit des Energie-Impuls-Tensors T αβ em *

2 6.1 Das Einstein-Hilbert-Funktional Wir wollen skizzieren, wie sich die materiefreien Feldgleichungen R µν R 2 g µν = 0 für µ, ν = 0, 1, 2, 3 (6.1) aus einem Variationsprinzip ableiten lassen. Diese Skizze verbleibt unvollständig. Zum detaillierten Studium verweisen wir auf die Literatur. Wir schließen an die Ausführungen des Abschnitts 5.4 an. Wir wollen zunächst den Ricci-Skalar in eine für uns brauchbare Form überführen. Hilfssatz. Es gilt R µϑ = Rµνϑ ν, µ, ν = 0, 1, 2, 3. (6.2) Beweis. Denn wir berechnen R µϑ (5.15) = g τν R τµνϑ (5.19) = g τν g τσ R σ µνϑ = ν σr σ µνϑ = R ν µνϑ. (6.3) Folgerung. Dann gilt auch R (5.16) = g µϑ R µϑ = g µϑ Rµνϑ ν (5.18) = g { µϑ Γ ν ϑµ,ν Γν νµ,ϑ + Γν ντ Γτ ϑµ Γν ϑτ νµ} Γτ. (6.4) Mit David Hilbert stellen wir uns nun auf den Standpunkt, daß das Integral G R(g µν (x), Γ σ µν (x), Γσ µν,τ (x)) g dx (6.5) mit g := det (g µν ) µ,ν für eine optimale Wahl der Metrik (g µν ) µ,ν einen stationären Wert besitzt. Beachte dabei g < 0. Schließlich bedeutet G ein vierdimensionales Integrationsgebiet. Dessen spezielle Wahl sowie das globale Verhalten des Integranden bestimmen die Sinnvolligkeit des Integrals. Gesucht sind also die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen des zu (6.5) gehörigen Variationsproblems. Wir wollen nicht nach den g µν und dessen ersten und zweiten Ableitungen differenzieren. Vielmehr betrachten wir die g µν und Γ σ µν als eigenständige Funktionen. Es liegt also ein Funktional folgender Form vor: ( L f i (x), f ) i x (x) dx, i = 1,..., N. (6.6) k G Hilfssatz. Das Euler-Lagrange-System zu (6.6) lautet L f i = 4 k=1 x k Beachte die sukzessiven Ableitungen auf der rechten Seite! L f i,k, i = 1,..., N. (6.7) 55

3 Aufgabe 6.1. Verifizieren Sie (6.7). Für die weiteren Rechnungen geben wir die Konvention nach (5.7) auf, da schlicht die Indizes ausgehen. Wir wenden (6.7) auf (6.5) an: Mit R = g µϑ R µϑ folgt Satz. Die Euler-Lagrange-Gleichungen zu (6.5) lauten ( ) g g µϑ R g αβ µϑ = 0, Γ γ αβ Das liefert die wichtige ( ) g g µϑ R µϑ = 3 =0 ( ) g g µϑ R µϑ x Γ γ. αβ, (6.8) Folgerung. Das erste System aus (6.8) liefert die Einsteinschen Feldgleichungen (6.1). Beweis. Es müssen insbesondere die partiellen Ableitungen von g bestimmt werden. Wir entwickeln nach der µ-ten Zeile: 1 g = det (gµν ) µ,ν = g µν G µ ν, µ {0, 1, 2, 3}, (6.9) mit den (vorzeichenbehafteten) Unterdeterminanten G µ ν, welche durch Streichen der µ-ten Zeile und ν-ten Spalte entstehen. Es folgt Um die G µν zu eliminieren, berechnen wir aus (6.9) Mit (6.10) ist also Nun beachten wir so daß sowie g αβ 1 g = Gα β. (6.10) g λµ 1 g = g λµg µν G µ ν = ν λ Gµ ν = Gµ λ bzw. g λµ = gg µ λ. (6.11) 1 g αβ g = 1 g g βα. (6.12) 0 = ( ) 1 g αβ g g = 1 g g g αβ = 1 2 g g g g 1 + g, (6.13) αβ gαβ g g αβ = ( g) g βα (6.14) g g = 1 g gβα. (6.15) αβ 2 Nach (6.4) und unser Interpretation des Variationsproblems wirken die Ableitungen nach den g αβ nicht auf den Ricci-Tensor R µν. Die erste Gleichung in (6.8) liefert also 0 = ( ) g g µϑ R g αβ µϑ = 1 g gαβ g µϑ R µϑ + g R αβ 2 = ( g R αβ 1 ) (6.16) 2 Rg αβ. Es folgen die gesuchten Gleichungen (6.1). 56

4 Bemerkungen: 1. Um nachzuweisen, daß die Γ γ αβ tatsächlich die bekannten Christoffel-Symbole darstellen, investiert man die zweiten Gleichungen aus (6.8). 2. Addiert man im Integranden von (6.5) einen zusätzlichen Term κl mat, so läßt sich die rechte Seite in (5.14) aus dem besprochenen Variationsprinzip realisieren. Aufgabe 6.2. Durch Überschieben der inhomogenen Feldgleichungen (5.14) mit g ωµ und anschließender Spurbildung (Summation über ω = ν) zeige man Folgern Sie dann die modifizierte Form der Feldgleichungen R = 8πg c 4 T mit T := T ν ν. (6.17) R µν = 8πg c 4 ( T µν T ) 2 g µν. (6.18) Aufgabe 6.3. Gelegentlich führt man eine kosmologische Konstante Λ > 0 ein und verlangt R µν R 2 g µν + Λg µν = 8πg c 4 T µν. (6.19) Zeigen Sie, daß dann gilt R + 4Λ = 8πg T. (6.20) c4 Was folgern Sie für materiefreie Räume? 6.2 Relativistische Elektrodynamik Um der rechten Seite der Feldgleichungen mehr Anschauung zu verleihen, stellen wir zum Abschluß dieses Kapitels den Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik (Spezielle Relativitätstheorie) auf. Definition. Das elektromagnetische Feld wird beschrieben durch einen schiefsymmetrischen Feldstärketensor 0 E x E y E z (F αβ E x 0 B z B y ) α,β = E y B z 0 B x. (6.21) E z B y B x 0 Dabei bedeuten E = (E x, E y, E z ) und B = (B x, B y, B z ) das elektrische bzw. magnetische Feld (beide werden in gleichen Einheiten gemessen). Mit der Ladungsdichte ϱ e (x, t) und der Stromdichte j(x, t) gelten die Maxwellschen Gleichungen div E = ϱ e, rot B = c j + 1 c E t, Hilfssatz. Das System (6.22) ist äquivalent zu rot E = 1 c B t, div B = 0. (6.22) mit der Ableitung α :=. x α α F αβ = c jβ, β = 0, 1, 2, 3, (6.23) 57

5 Definition. Wir definieren nun den Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik Tem αβ :η γ F α F γβ + 14 ) ηαβ F γ F γ. (6.24) Aufgabe 6.4. Zeigen Sie, daß T αβ em symmetrisch ist. Aufgabe 6.5. Zeigen Sie T 00 em = 1 8π (E2 + B 2 ), 3 i=1 T 0i em e i = 1 E B (6.25) in der Standardbasis {e 1, e 2, e 3 } des R 3. Die Komponente Tem 00 stellt die Energiedichte des Feldes dar, der Vektor S := c E B ist dessen Energiestromdichte, auch Poynting-Vektor genannt. Unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen gilt ferner für die Divergenz des Energie- Impuls-Tensors α T αβ em = 1 c F βγ j γ. (6.26) Im ladungsfreien Raum (j α = 0) gilt deshalb die Kontinuitätsgleichung der Energie-Impuls- Dichte α Tem αβ = 0. (6.27) 6.3 Spurfreiheit des Energie-Impuls-Tensors T αβ em * Die Antisymmetrie des Feldstärketensors (6.21) begründet die Spurfreiheit des Energie- Impuls-Tensors (6.24). Dieses wollen wir hier prüfen. Wir führen folgende Bezeichnungen ein: Definition. Die gemischten Komponenten eines zweifach kovarianten bzw. zweifach kontravarianten Tensors ergeben sich zu α := gβγ S αγ = g αγ S γβ, α := gβγ S γα = g αγ γ. (6.28) Offenbar gilt für antisymmetrische Tensoren α = g αγs γβ = g αγ γ = α. (6.29) Die unterschiedliche Stellung der Indizes ist nur bei nichtsymmetrischen Tensoren zu beachten. Hilfssatz. Ist S αβ = α symmetrisch, so gilt α = Sβ α =: Sβ α. (6.30) Beweis. Es ist was zu zeigen war. α = g αγs γβ = g αγ γ = α, (6.31) Satz. Der Energie-Impuls-Tensor T αβ := T αβ em der Elektrodynamik ist spurfrei, d.h. T α α = 0 für T αβ := T αβ em. (6.32) 58

6 Beweis. Wir berechnen nämlich T β λ η λα η γ F α F γβ + 14 ) η λαη αβ F γ F γ F β + 1 ) 4 β λ F γf γ F β + 1 ) 4 β λ η γαf α F γ F β + 1 ) 4 β λ F α F α F β 1 ) 4 β λ F α Fα. (6.33) Hierbei beachten wir in der dritten Zeile die Identität η γα F α = F γ, in der letzten Zeile nutzten wir die Eigenschaft (6.29) der Antisymmetrie. Spurbildung liefert T β β Fβ F β 1 ) 4 β β F α Fα = 1 (F β F β F α Fα ) = 0, (6.34) was zu zeigen war. Im allgemeinen ersetzen wir η αβ durch g µν und F αβ usw. durch ihre kovarianten Verallgemeinerungen. Überschieben der Gleichungen (5.14) mit dem metrischen Tensor g γα und T αβ := T αβ em liefert dann R = 0. Ist das ein Widerspruch? Diese und weitere Schwierigkeiten bei der Untersuchung elektromagnetischer Phänomene im Kontext der allgemeinen Relativitätstheorie veranlaßten Einstein, anstelle von (5.14) die Feldgleichungen R µν R 4 g µν = 8πg c 4 T µν (6.35) vorzuschlagen, wobei jetzt auf der rechten Seite der Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik zu setzen ist. Dann hätten wir nach Spurbildung nämlich R = 0! 59

7 Aufgaben zur sechsten Vorlesung 6.1 Verifizieren Sie (6.7). 6.2 Durch Überschieben der inhomogenen Feldgleichungen (5.14) mit g ωµ und anschließender Spurbildung (Summation über ω = ν) zeige man R = 8πg c 4 T mit T := T ν ν. (6.17) Folgern Sie dann die modifizierte Form der Feldgleichungen ( T µν T 2 g µν R µν = 8πg c 4 ). (6.18) 6.3 Gelegentlich führt man eine kosmologische Konstante Λ > 0 ein und verlangt R µν R 2 g µν + Λg µν = 8πg c 4 T µν. (6.19) Zeigen Sie, daß dann gilt R + 4Λ = 8πg T. (6.20) c4 Was folgern Sie für materiefreie Räume? 6.4 Zeigen Sie, daß T αβ em 6.5 Zeigen Sie symmetrisch ist. T 00 em = 1 8π (E2 + B 2 ), 3 i=1 T 0i em e i = 1 E B (6.25) in der Standardbasis {e 1, e 2, e 3 } des R 3. Die Komponente Tem 00 stellt die Energiedichte des Feldes dar, der Vektor S := c E B ist dessen Energiestromdichte, auch Poynting-Vektor genannt. Unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen gilt ferner für die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors α T αβ em = 1 c F βγ j γ. (6.26) Im ladungsfreien Raum (j α = 0) gilt deshalb die Kontinuitätsgleichung der Energie-Impuls-Dichte α Tem αβ = 0. (6.27) 61