Gib die Faktorenzerlegung an und bestimme Art und Ort der Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen!

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1 Gib die Faktorenzerlegung an und bestimme und Ort der Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen! + x + x + x - 0 x c) + x + x (x+) eine einfache NSt bei 0 mit VzW und eine doppelte bei ohne VzW (x+5)(x-) eine doppelte NSt bei 0 ohne VzW zwei einfache NSt bei -5 und mit VzW c) (x + x + ) eine einfache NSt bei 0 mit VzW

2 Gib die Faktorenzerlegung an und bestimme und Ort der Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen! + 0x + 5x + 50 x + f(x) = x! 6 x! 6 x + x f(x) = (x + )(x + 9x + 6x + ) = (x + )(x + )(x + 7x + ) = = (x + )(x + )(x + )(x + ) vier einfache NSt bei -, -, - und - mit VzW f(x) = ( x! ) 7 x! x + x = x (x! )(x! x! ) = x (x! )(x! )(x + ) x eine dreifache NSt bei 0 mit VzW drei einfache NSt bei, und! mit VzW

3 Aufgabe 0, S. 65, Anschauliche Analysis, Ehrenwirth Verlag Wie lautet der Term einer ganzrationalen Funktion mit folgenden Koeffizienten? a 0 = 7 ; a = - a = ; a = a 0 = -, c) a = ; a 6 = - ; a = ; alle anderen a i = 0 f(x) = -x + 7!,x!, c) 6! x + x

4 Errate eine Nullstelle und berechne die übrigen! + x - 9x - 9-9x + 6x - c) - 6x + 6x - d) - x + x + 98x x = - ; x = ; x = - x = ; x = ; x = c) x = x = x = d) x = 0 ; x = - ; x = x = 7

5 5 Untersuche die Funktionen f und g auf Symmetrie zum Koordinatensystem: f(x) = 5 5 x + 8 5! x x ; D f = R g(x) = 6 x! x! ; D g = R Wie erkennt man am Term einer ganzrationalen Funktion auf einen Blick, ob der Graph symmetrisch zum Koordinatensystem ist? Erkläre damit die Bezeichnungen "gerade Funktion" und "ungerade Funktion"! 5 G f ist symmetrisch zum Ursprung G g ist symmetrisch zur y-achse Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist symmetrisch zur y-achse, wenn das Polynom nur Potenzen von x mit geraden Exponenten enthält; die Funktion heißt dann "gerade Funktion". 0 Hinweis: Das konstante Glied zählt wegen a = a x 0 0 zu den Potenzen mit geraden Exponenten. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn das Polynom nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten enthält; die Funktion heißt dann "ungerade Funktion".

6 6 Gib eine ganzrationale Funktion. Grades an, die für x = 0 den Wert und außerdem folgende Nullstellen hat:, -,,, c) und sonst keine 6 Ansatz: (x) = a( x! x )( x! x )( x! x ) und f(0) f = f(x) = (x! )(x + )(x! ) = x! x! x + f(x) =! (x! )(x! )(x! ) =! x + x! x + c) f(x) =! (x! ) =! x + x! x + oder f(x) =!(x! )(x + ) =! x + x! x +

7 7 Bestimme die Nullstellen und ihre Vielfachheit: f(x) = (x + ) e)! f(x) = (x + ) f) f(x) = (x! ) c) f(x) = (x! ) g)! d) (x! )(x + ) h) + 7x 7 x,, = - dreifache NSt e) x = einfache NSt x = - einfache NSt keine Nullstelle f) x, = doppelte NSt x, = - doppelte NSt c) x, = doppelte NSt g) x = einfache NSt x = - einfache NSt d) x, = 0 doppelte NSt h) x = 0 einfache NSt x = einfache NSt x = - einfache NSt x,5,6 = - dreifache NSt

8 8 Faktorisiere und skizziere! + x! x + 6x + 9x Hinweis: Skizzieren heißt in diesem Fall, dass die Nullstellen in ihrer Vielfachheit richtig sein müssen. Auch die Vorzeichenfelder müssen stimmen. Wo die Hoch- und Tiefpunkte genau liegen, kann unberücksichtigt bleiben. 8 (x + )(x ) (x + )

9 9 Aufgabe 6 c, d, S. 65, Anschauliche Analysis, Ehrenwirth Verlag Faktorisiere und skizziere! f(x) =! x 5 + x! 6x + x! 9x + x! Hinweis: Skizzieren heißt in diesem Fall, dass die Nullstellen in ihrer Vielfachheit richtig sein müssen. Auch die Vorzeichenfelder müssen stimmen. Wo die Hoch- und Tiefpunkte genau liegen, kann unberücksichtigt bleiben. 9 f(x) = -x(x + )(x + )(x )(x ) f(x) = (x - ) (x + )

10 0 Faktorisiere und bestimme die Nullstellen in ihrer Vielfachheit! + x + 5x! 9x! x + x! c) 5! x! x + x! x + d) f(x) = 8x! x! x + x (x - )(x + x + 9) x = 0 und x = ; einfache Nullstellen f(x) = (x + )(x - ) x = - einfache Nullstelle x,, = dreifache Nullstelle c) f(x) = (x )(x + )(x ) x =, x = - einfache Nullstellen x,,5 = dreifache Nullstelle d) f(x) = (x! )(x! )(x + )(x + ) Vier einfache Nullstellen: =! ; x =! ; x = ; x x =

11 Bestimme die gemeinsamen Punkte der Graphen von f und g!! x! x + g(x) =! x + x + x!! x + x! g(x) = x! x! c)! x + x! g(x) = x! x + x + x + c) (/0), (/0), (-/0) (0/-), (/-), (/) c) (/), (-/55)

12 Gegeben ist die Funktionenschar f : x! x " ax + a x; x! R a Gib für a = 0, a =, a = und a = - die sich ergebenden Funktionsterme f 0 (x), f (x), f (x) und f - (x) an! d) Berechne die Nullstellen in Abhängigkeit von a! (Fallunterscheidung!) e) Zeichen unter Berücksichtigung der Ergebnisse aus und die Graphen für a = 0, a =, a = und a = - in dasselbe KOS ein! f (x) = x 0 f (x) = x " x + x f (x) = x " x + x f " (x) = x + x + x f (x) = x(x " a Fallunterscheidung : a = 0: dreifache NSt mit VzW x,, a! 0: eine einf ache NSt mit VzW : x doppelte NSt ohne VzW : x, = 0 = a = 0 (z. B. hat der Graph von f eine einfache NSt bei 0 mit VzW und eine doppelte NSt bei ohne VzW)