Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen
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- Jonas Peters
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1 Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen 1. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. a) y = x + x 6 b) y = x 3 3x + x c) y = (x + 4)(x + x ) d) y = x 4 5x + 4 e) y = x 3 + x 13x + 10 f) y = x 4 x 3 5x +50x g) y = x 4 + 6x 3 + 9x h) y = x 3 5 i) x 19 x + 1 y = x5 x 4 3x 3 x x j) y = 1 k) 8 (x4 + 6x + 8) y = x 6 4x 3 5. Bestimmen Sie die Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen von f a mit D f =! in Abhängigkeit vom Parameter a!. a) f a (x) = (x 1)(x + )(x a) b) f a (x) = a(x + 3)(x +1)(x a) c) f a (x) = (x )(x + )(x a) d) f a (x) = x(x + 4)(x 3)(x + a) e) f a (x) = x 3 + ( a)x 4ax f) f a (x) = x 4 (4 + a)x + 4a g) f a (x) = x 4 + ax 3 + 4x 4ax h) f a (x) = x 6 + (a 5)x 4 + (4 5a)x + 4a 3.0 Geben Sie jeweils eine Funktionsgleichung an. 3.1 Eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit dem Leitkoeffizienten 4 hat die Nullstellen -7, - und Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat den Leitkoeffizienten -1,5 und bei -1 und 9 jeweils eine doppelte Nullstelle. 3.3 Eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit dem Leitkoeffizienten 1,75 hat bei 0 eine einfache und bei - eine dreifache Nullstelle.
2 3.4 Der Graph einer Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-achse, schneidet die x-achse unter anderem bei -5 und und schneidet die y-achse bei Von einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit der Funktionsgleichung f(x) = ax 3 + bx + cx + d sind die folgenden Nullstellen und ein Punkt des Graphen bekannt. Geben Sie die Koeffizienten a, b, c und d an. 4.1 x 1 = 1; x = ; x 3 = 5; P(3 / 16) 4. x 1 = 3 (dreifach); P(5 /16) 4.3 x 1 = (zweifach); x = 1; P(1/ 8) 5. Zu drei der fünf Funktionsgleichungen sind die Graphen abgebildet. Ordnen Sie den Graphen die passenden Gleichungen zu. Skizzieren Sie zu den verbleibenden Gleichungen die Graphen. f(x) = 3x 3 + 9x + 3x 9; g(x) = 0,15x 3 4x + 7x; h(x) = 0,5x 3 + x 1,5x 9; i(x) = x 3 + 4; j(x) = (x + ) 3
3 6. Ordnen Sie den abgebildeten Graphen die jeweils zugehörige Funktionsgleichung zu. f(x) = 3+ x ; g(x) = 0,5(x 1)(x 4) 3 ; h(x) = x 4 4x + 3; i(x) = 0,5x 1; j(x) = (x 1)(x + 3)(x + ); k(x) = 0,x(x + 4) ; l(x) = 1 5 x3 8 5 x 16 5 x; m(x) = 0,5x3 + x + 0,5x Gegeben ist die Funktion f a mit der Definitionsmenge D fa =! und a! durch f a (x) = 0,5ax 4 + (1+ a)x 3 + x. 7.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von f a in Abhängigkeit vom Parameter a sowie deren Vielfachheiten. 7. Berechnen Sie den Wert von a, für den der Graph von f a durch den Punkt P(/3) verläuft.
4 8.0 Gegeben ist die Funktion f a mit der Definitionsmenge D fa =! und a! durch f a (x) = 0,5(x 4 + (a 9)x 9a). 8.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von f a in Abhängigkeit vom Parameter a sowie deren Vielfachheiten. 8. Die Zeichnung zeigt die Funktionsgraphen für a = 0; a = 1; a = -9 und a = -1. Ordnen Sie diese Parameter den zugehörigen Graphen zu. 9. Die Funktion f a: y = x 3 (3+a)x + (3a-4)x + 4a mit a R hat bei x = 5 eine Nullstelle. Bestimmen Sie den Wert für a und alle Nullstellen der Funktion Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) = 1 mit. 4 (x3 + kx kx 8) k R 10.1 Zeigen Sie, dass x 1 = für alle Werte von k eine Nullstelle von f k ist und zerlegen Sie damit den Term f k(x) in ein Produkt mit genau einem Linearfaktor. 10. Untersuchen Sie, für welche Werte von k die Funktion f k neben x 1 = noch mindestens eine weitere Nullstelle besitzt. Achten Sie dabei auch auf die Sonderfälle k = -6 und k = Berechnen Sie nun k so, dass die Funktion f k(x) bei x = - eine doppelte Nullstelle hat. (Abitur 001 AII)
5 11. Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) = 1 mit. 8 x4 + x 3 + kx k R k > 0 Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Fallunterscheidung Lage und Vielfachheit sämtlicher Nullstellen der Funktion f k. (Abitur 1999 Nachtermin) 1. Gegeben sind die reellen Funktionen f a (x) = 1. 3 x3 3x (a + )x mit a R Bestimmen Sie die Anzahl, Lagen und Vielfachheiten der Nullstellen der Funktion f a(x). Achten Sie dabei auch auf den Sonderfall a = Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) = 1. 8 (x3 4kx + 4k + x) mit k R 0 Ermitteln Sie alle Nullstellen der Funktionen f k(x) und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit von k. 14. Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) = k x x 3 mit k R. Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von k. 15. Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) = 1. 3 (x3 kx + k x) mit k R k 0 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f k in Abhängigkeit von k. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. (Abitur 007 AI) 16. Gegeben ist die reelle Funktion f k (x) = k. 16 x4 + k x3 mit k R k>0 und D fk = R Der Graph wird mit bezeichnet. (Abitur 008 AII) Bestimmen Sie Lage und Vielfachheit der Nullstellen der Funktion f k. Untersuchen Sie den Graphen G fk G fk auf Symmetrie.
6 17.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f k (x) = x ( x k 1) mit k! k 0. k Der Graph einer solchen Funktion wird mit G fk bezeichnet. (Abitur 009 AII) 17.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f k in Abhängigkeit von k. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. 17. Bestimmen Sie die Werte von k so, dass der jeweils zugehörige Graph durch den Punkt P(-3/3) geht. G fk 18.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f a (x) = 1. (Abitur 010 AI) 8 x(x a)(x 5) mit D fa =! und a! 18.1 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen von f a. 18. Bestimmen Sie a! so, dass der Punkt P(4/-0,5) auf dem Graphen der Funktion f a liegt. 19. Gegeben sind die reellen Funktionen f a (x) = 1. (Abitur 011 AI) 9 (x a)(x + 3x 10) mit D fa =! und a! Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Lage und Vielfachheiten der Nullstellen von f a. 0.0 Gegeben sind die reellen Funktionen g a (x) = 1 4 (x4 + (6a 4)x 3 + (1a 1a)x ) mit D ga =! und a! +. (Abitur 01 AII) 0.1 Untersuchen Sie in Abhängigkeit von a das Symmetrieverhalten von bzgl. des Koordinatensystems. 0. Berechnen Sie, für welche Werte von a die Funktion g a genau eine Nullstelle besitzt. G ga
7 1. Gegeben sind die reellen Funktionen f a :x! 1 und 1 ( x3 ax + a x) mit x,a! a 0. (Abitur 013 AI). Bestimmen Sie die Nullstellen von f a und deren Vielfachheit in Abhängigkeit von a.. Gegeben sind die reellen Funktionen f t (x) = x +1. Bestimmen Sie die Nullstellen von f t sowie deren Vielfachheiten in Abhängigkeit von t. (Abitur 013 AII) ( ) (x t) D ft =! t! 3.0 Gegeben sind mit dem Parameter k! \ 0 die quadratischen Funktionen h k :x! kx + ( k 1) x k + 1 4k. (Abitur 014 AII) 3.1 Untersuchen Sie, für welchen Parameterwert k der Graph von h k symmetrisch zum Koordinatensystem ist. Erläutern Sie Ihr Vorgehen. 3. Weisen Sie nach, dass D = k 3 + 4k 4k die Diskriminante der Gleichung h k (x) = 0 ist. 3.3 Bestimmen Sie nun diejenigen Werte k, für die die quadratische Funktion h k mindestens eine Nullstelle besitzt. 4. Gegeben sind die ganzrationalen Funktionen { } und D hk =! ( ) mit D fa =!, a! und a > 0 f a :x! a x 3 + x 7x + 4 Zerlegen Sie f a(x) in Linearfaktoren und geben Sie die Nullstellen der Funktion f a mit der jeweiligen Vielfachheit an. (Abitur 015 AII).
8 5.0 Gegeben sind die reellen Funktionen mit D ht =! und t!. (Abitur 016 AI) h t :x! 1 x(tx 1)(x + 4)(x 3) Bestimmen Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen der Funktion h t in Abhängigkeit von t. 5. Begründen Sie, welche der im Folgenden dargestellten Graphen zur Funktionenschar h t gehören können und welche nicht. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung mithilfe der ganzzahligen Nullstellen und ggf. des Grenzverhaltens bzw. des Leitkoeffizienten. Geben Sie für den Fall, dass der Graph zur Funktionenschar h t gehört, den zutreffenden Wert von t an. 6. Gegeben ist die Funktionenschar g a :x! 0,5(x 3 ax ) mit x,a ". Ermitteln Sie die Nullstellen von g a und geben Sie deren Vielfachheit in Abhängigkeit von a an. (Abitur 016 AII)
9 Lösungen 1.a) Lösungsformel = und x = -3 b) Ausklammern und dann Lösungsformel = 0, x = 3 und x = c) Lösungsformel = -4, x = - und x 3 = 1 d) Substitution = 1, x =, x 3 = -1 und x 4 = - e) Eine Lösung durch Ausprobieren ( x 1 = 1) und dann Polynomdivision (x 1)(x + 3x 10) Lösungsformel x = -5 und x 3 = f) Ausklammern x(x 3 x 5x + 50) Lösung durch Ausprobieren (x = ) und dann Polynomdivision (x 3 x 5x + 50) = (x )(x 5) = 0, x =, x 3 = 5 und x 4 = -5 g) x (x + 6x + 9) Lösungsformel / = 0 und x 3/4 = -3 h) Eine Lösung durch Ausprobieren (x 1 = ) und dann Polynomdivision (x )(x 0,5x 10,5) Lösungsformel =, x = -3 und x 3 = 3,5 i) Ausklammern Lösung durch Ausprobieren erraten (x = ) und dann Polynomdivision die Gleichung dritten Grades liefert wieder durch Ausprobieren eine weitere Lösung (x 3 = -1); führe wieder Polynomdivision durch löse die entstehende quadratische Gleichung mit der Lösungsformel keine weiteren reellen Nullstellen; j) Substitution keine reellen Nullstellen 3 k) Substitution = 5 1,7 und x = 1 a) (x 1)(x + )(x a) = 0 = 1 x = x 3 = a a = 1: zwei Nullstellen bei x 1 = 1 (doppelt) und bei x = (einfach) a = : zwei Nullstellen bei x 1 = 1 (einfach) und bei x = (doppelt) a! \ ;1 { } : drei Nullstellen bei x 1 = 1 (einfach),bei x = (einfach) und = a (einfach)
10 b) a(x + 3)(x +1)(x a) = 0 = 3 x = 1 x 3 = a a = 3: zwei Nullstellen bei x 1 = 3 (doppelt) und bei x = 1 (einfach) a = 1: zwei Nullstellen bei x 1 = 3 (einfach) und bei x = 1 (doppelt) { } : drei Nullstellen bei x 1 = 3 (einfach),bei x = 1 (einfach) a! \ 3; 1 und = a (einfach) c) (x )(x + )(x a) = 0 = x = x 3 = a x 4 = a a = 4 : zwei Nullstellen bei x 1 = (doppelt) und bei x = (doppelt) a = 0 : drei Nullstellen bei x 1 = (einfach), bei x = (einfach) und = 0 (doppelt) a < 0 : zwei Nullstellen bei x 1 = (einfach) und bei x = (einfach) a! + \ 4 { } : vier Nullstellen bei x 1 = (einfach),bei x = (einfach), = a (einfach) und bei x 4 = a (einfach) d) x(x + 4)(x 3)(x + a) = 0 = 0 x = 4 x 3 = 3 x 4 = a x 5 = a a = 16 : vier Nullstellen bei x 1 = 4 (doppelt), bei x = 0 (einfach), = 3 (einfach) und bei x 4 = 4 (einfach) a = 9 : vier Nullstellen bei x 1 = 4 (einfach), bei x = 0 (einfach), = 3 (doppelt) und bei x 4 = 3 (einfach) a = 0 : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (dreifach), bei x = 4 (einfach) und = 3 (einfach) a > 0 : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (einfach), bei x = 4 (einfach) und = 3 (einfach) { } : fünf Nullstellen bei x 1 = 0 (einfach),bei x = 4 (einfach), a! 0 \ 16; 9;0 = 3 (einfach), bei x 4 = a (einfach) und bei x 4 = a (einfach)
11 e) x 3 + ( a)x 4ax = 0 x(x + ( a)x 4a) = 0 = 0 x + ( a)x 4a = 0 D = ( a) 4 1 ( 4a) = 4a 8a a = 4a + 8a + 4 = (a + ) (a ) ± (a + ) x /3 = x = a x 3 = a = 0 : zwei Nullstellen bei x 1 = 0 (doppelt) und bei x = (einfach) a = 1: zwei Nullstellen bei x 1 = 0 (einfach) und bei x = (doppelt) a! \ 1;0 { } : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (einfach), bei x =a (einfach) und = (einfach) f) x 4 (4 + a)x + 4a = 0 Substitution : z = x z (4 + a)z + 4a = 0 D = (4 + a) 4 1 4a = a + 8a a = a 8a +16 = (a 4) (4 + a) ± (a 4) z 1/ = z 1 = a z = 4 Resubstitution : 1) x = a = a x = a ) x = 4 x 3 = x 4 = a = 0 : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (doppelt), bei x = (einfach) und = (einfach) a = 4 : zwei Nullstellen bei x 1 = (doppelt) und bei x = (doppelt) a! \ 0;4 { } : vier Nullstellen bei x 1 = a (einfach), bei x = a (einfach), x 3 = (einfach) und bei x 4 = (einfach)
12 g) x 4 + ax 3 + 4x 4ax = 0 x( x 3 + ax + 4x 4a) = 0 = 0 x 3 + ax + 4x 4a = 0 x = ( x 3 + ax + 4x 4a) :(x ) = x + (a )x + a x + (a )x + a = 0 D = (a ) 4( 1)(a) = a 4a a = a + 4a + 4 = (a + ) x 3/4 = ( a) ± (a + ) x 3 = x 4 = a a = 0 : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (doppelt), bei x = (einfach) und = (einfach) a = : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (einfach), bei x = (doppelt) und = (einfach) a = : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (einfach), bei x = (einfach) und = (doppelt) { } : vier Nullstellen bei x 1 = 0 (einfach), bei x = (einfach), a! \ ;0; = (einfach) und bei x 4 = a (einfach)
13 h) x 6 + (a 5)x 4 + (4 5a)x + 4a = 0 x 1 = 1 ( x 6 + (a 5)x 4 + (4 5a)x + 4a) :(x 1) = x 5 + x 4 + (a 4)x 3 + (a 4)x 4ax 4a x 5 + x 4 + (a 4)x 3 + (a 4)x 4ax 4a = 0 x = 1 ( x 5 + x 4 + (a 4)x 3 + (a 4)x 4ax 4a) :(x +1) = x 4 + (a 4)x 4a x 4 + (a 4)x 4a = 0 Substitution : z = x z + (a 4)z 4a = 0 D = (a 4) 4 1 ( 4a) = a 8a a = a + 8a +16 = (a + 4) ( a + 4) ± (a + 4) z 1/ = z 1 = 4 z = a Resubstitution : 1) x = 4 x 3 = x 4 = ) x = a x 5 = a x 6 = a a = 1: vier Nullstellen bei x 1 = 1 (doppelt), bei x = 1 (doppelt), = (einfach) und bei x 4 = (einfach) a = 4 : vier Nullstellen bei x 1 = 1 (einfach), bei x = 1 (einfach), = (doppelt) und bei x 4 = (doppelt) a = 0 : fünf Nullstellen bei x 1 = 1 (einfach), bei x = 1 (einfach), = (einfach), bei x 4 = (einfach) und bei x 5 = 0 (doppelt) a > 0 : vier Nullstellen bei x 1 = 1 (einfach), bei x = 1 (einfach), = (einfach) und bei x 4 = (einfach) a! \ 4; 1 { } : sechs Nullstellen bei x 1 = 1 (einfach), bei x = 1 (einfach), = (einfach), bei x 4 = (einfach), bei x 5 = a (einfach) und bei x 6 = a (einfach) 3.1 f(x) = 4(x + 7)(x + )(x 3) 3. f(x) = 1,5(x +1) (x 9) 3.3 f(x) = 1,75x(x + ) 3
14 3.4 f(x) = a(x + 5)(x )(x 5)(x + ) P(0 /1) einsetzen : a 5 ( ) ( 5) () = 1 100a = 1 a = 0,01 f(x) = 0,01(x + 5)(x )(x 5)(x + ) 4.1 f(x) = a(x +1)(x )(x 5) P(3 / 16) einsetzen : a 4 1 ( ) = 16 8a = 16 a = f(x) = (x +1)(x )(x 5) = x 3 1x + 6x + 0 a = b = 1 c = 6 d = 0 4. f(x) = a(x + 3) 3 P(5 /16) einsetzen : a 8 3 = 16 a = 1 3 f(x) = 1 3 (x + 3)3 = 1 3 (x3 + 9x + 7x + 7) a = 1 3 b = 9 3 c = 7 3 d = f(x) = a(x 1)(x ) P(1/ 8) einsetzen : a 0 1 = 8 (f) Es gibt keine Funktion mit den geforderten Eigenschaften.
15 5. f(x) = 0 = 1 x = 1 x 3 = 3 g(x) = 0 = 0 x = 30,14 x 3 = 1,86 h(x) = 0 = x = 3 (doppelt) 3 i(x) = 0 = 4 1,59 j(x) = 0 = (dreifach) f(x) 1 j(x) h(x) 3 6. f(x) = 0 keine Nullstellen g(x) = 0 = 1 x = 4 (dreifach) h(x) = 0 = 1 x = 1 x 3 = 3 x 4 = 3 i(x) = 0 x = j(x) = 0 = 1 x 3 x 3 = k(x) = 0 = 0 x = 4 (doppelt) l(x) = 0 = 0 x = 4 (doppelt) m(x) = 0 = 1 x = x 3 = 3 k(x), l(x) 1 g(x) j(x), m(x) 3 h(x) 4
16 7.1 0,5ax 4 + (1+ a)x 3 + x = 0 x (0,5ax + (1+ a)x + ) = 0 / = 0 0,5ax + (1+ a)x + = 0 D = (1+ a) 4 0,5a = a + a +1 4a = a a +1 = (a 1) x 3/4 = ( 1 a) ± (a 1) a x 3 = a x 4 = a = 0 : zwei Nullstellen bei x 1 = 0 (doppelt) und bei x = (einfach) a = 1: zwei Nullstellen bei x 1 = 0 (doppelt) und bei x = (doppelt) a! \ { 0;1} : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (doppelt), bei x = a = (einfach) (einfach) und 7. 0,5a 4 + (1+ a) 3 + = 3 8a a + 8 = 3 a = ,5(x 4 + (a 9)x 9a) = 0 x 4 + (a 9)x 9a = 0 Substitution : z = x z + (a 9)z 9a = 0 D = (a 9) 4 1 ( 9a) = a 18a a = a +18a + 81 = (a + 9) ( a + 9) ± (a + 9) z 1/ = z 1 = 9 z = a Resubstitution : 1) x = 9 = 3 x = 3 ) x = a x 3 = a x 4 = a a = 9 : zwei Nullstellen bei x 1 = 3 (doppelt) und bei x = 3 (doppelt) a = 0 : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (doppelt), bei x = 3 (einfach) und = 3 (einfach) a > 0 : zwei Nullstellen bei x 1 = 3 (einfach) und = 3 (einfach) a! \ 9 { } : vier Nullstellen bei x 1 = 3 (einfach), bei x = 3 (einfach), = a (einfach) und bei x 4 = a (einfach) 8. f 0 (x) 3 f 1 (x) 4 f 9 (x) 1 f 1 (x) 9. Einsetzen der Nullstelle 0 = 5 3 (3 + a)5 + (3a 4)5 + 4a 6a = 30 a = 5 Nullstellen der Funktion y = x 3 8x + 11x + 0: x 1 = 5, x = 4 und x 3 = -1
17 10.1 f k () = 1 4 (3 + k k 8) = 1 (8 + 4k 4k 8) = 0 4 (x 3 + kx kx 8) :(x ) = x + (k + )x + 4 (x 3 x ) (k + )x kx 8 (k + )x kx 4x) 4x 8 (4x 8) f k (x) = 1 4 (x )(x + (k + )x + 4) 10. Nullstellen: f k(x) = 0 = x + (k + )x + 4 = 0 x /3 = (k + ) ± (k + ) = (k + ) ± k + 4k 1 D = k + 4k 1 = (k )(k + 6) Mindestens eine weitere Nullstelle, wenn D 0. Skizze: D = 0 : (k )(k + 6) = 0 k 1 = k = 6 k 1 = x /3 = eine weitere Nullstelle k = 6 x /3 = keine weitere Nullstelle D > 0 : k ] ; 6[ ] ; [ für k ] ; 6[ [ ; [ hat f k(x) mindestens eine weitere Nullstelle 10.3 aus Teilaufgabe b) folgt: k =
18 11. Nullstellen: f k(x) = x (x + 8x + 8k) = 0 x 1/ = 0 x 3/4 = 8 ± k 8 ± 64 3k = 1) ) 64 3k = 0 k = / = 0 (doppelte Nullstelle) x 3/4 = 4 (doppelte Nullstelle) 64 3k > 0 0 < k < / = 0 (doppelte Nullstelle) x 3 = 8 + x 4 = k 64 3k (einfache Nullstelle) (einfache Nullstelle) 3) 64 3k < 0 k > / = 0 (doppelte Nullstelle) 1. Nullstellen: f a(x) = x3 3x (a + )x = x x 3x (a + ) = 0 = 0 x 3x (a + ) = 0 x /3 = 3 ± 9 4 ( (a + )) 4 = 3 ± 5 + 8a 4 1) 5 + 8a = 0 a = 5 8 : zwei Nullstellen = 0 (einf ache Nullstelle) x = 3 (doppelte Nullstelle) 4 ) 5 + 8a > 0 a > 5 8 (außer a = ) : drei Nullstellen = 0 (einfache Nullstelle) x = 3+ x 3 = a (einfache Nullstelle) a (einfache Nullstelle) 4 3) 5 + 8a < 0 a < 5 8 : eine Nullstelle = 0 (einf ache Nullstelle) 4) a = : 1 3 x3 3x = x (x 3) = 0 zwei Nullstellen = 0 (doppelte Nullstelle) x = 3 (einfache Nullstelle)
19 13. Nullstellen: f k(x) = (x3 4kx + 4k x) = x(x 4kx + 4k ) = 0 = 0 x 4kx + 4k = 0 x /3 = 4k ± 16k 4 1 4k 1) k = 0 : eine Nullstelle bei x = 0 (dreifache Nullstelle) ) k R + : zwei Nullstellen bei x = 0 (einfache Nullstelle) und bei x = k (doppelte Nullstelle) = 4k = k 14. Nullstellen: f k(x) = k x x 3 = 0 x(k x ) = 0 = 0 k x = 0 x = k x 3 = k 1) k = 0 : eine Nullstelle bei x = 0 (dreifache Nullstelle) ) k R (außer k = 0) : drei Nullstellen bei x 1 = 0 (einfach), f k (x) = 0 bei x = k (einfach) und = k (einfach) 1 3 (x3 kx + k x) = x(x kx + k ) = 0 = 0 x kx + k = 0 1. Fall: k=0. Fall: k 0 x /3 = k ± 4k 4 1 k = k ± 4k 4k eine Nullstelle bei x=0 (dreifache Nullstelle) zwei Nullstellen bei x 1 = 0 (einfache Nullstelle) und bei x = k (doppelte Nullstelle) = k 16. Nullstellen: - k 16 x4 + k x3 = 0 x 3 (- k 16 x + k ) = 0 = 0 - k 16 x + k = 0 x = 8 k f k (x) hat zwei Nullstellen bei x=0 (dreifach) und bei x= 8 k (einfach) Symmetrie: G fk ist weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da unabhängig von k>0 gerade und ungerade Potenzen auftreten.
20 17.1 x ( x k k 1) = 0 x = 0 k k 1 = 0 x = k + k x = k + k x 3 = k + k D = 0 : k + k = 0 k(k +1) = 0 (k 1 = 0) (k 0 nach Voraussetzung) k = 1 k = 1 f 1 hat eine Nullstelle bei x = 0 (dreifach) D > 0 : k + k > 0 Skizze von (k + k) : 18.1 k ] ; 1[ ]0; [ f k hat drei Nullstellen bei x 1 =0 (einfach), x =- k + k (einfach) D < 0 : k + k < ( 3) und bei x =- k + k (einfach) k ] 1;0[ f k hat eine Nullstelle bei x = 0 (einfach) ( 3) k k 1 = 3 9 k k 1 = 1 9 k k = k 9 k = 0 k 1 = 3 k = 3 f a (x) = x(x a)(x 5) = 0 = 0 x = a x 3 = 5 a = 0 : f a hat zwei Nullstellen bei x = 0 (doppelt) und bei x = 5 (doppelt) a = 5: f a hat zwei Nullstellen bei x = 0 (einfach) und bei x = 5 (dreifach) a! \ 0;5 { } : f a hat drei Nullstellen bei x = 0 (einfach), bei x = a (einfach) und bei x = 5 (doppelt) 18. f a (4) = (4 a) (4 5) = 1 4 a = 1 a = 3
21 19. f a (x) = 0 1) x a = 0 x = a ) x + 3x 10 = 0 x /3 = 3 ± ( 10) = x = x 3 = 5 3 ± 49 = 3 ± 7 a = : f hat zwei Nullstellen bei x 1 = (doppelt) und x = -5 (einfach) a = 5 : f -5 hat zwei Nullstellen bei x 1 = (einfach) und x = -5 (doppelt) a! \ 5; { } : f a hat drei Nullstellen bei x 1 = a (einfach), bei x = (einfach) und = -5 (einfach) g a (x) = 1 4 ( x4 + (6a 4)x 3 + (1a 1a)x ) a = 3 : g (x) = 1 4 x4 3 x 3 ist achsensymmetrisch zur y-achse, weil nur gerade Exponenten auftreten G g 3 a! + \ 3 : G g a weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung g a (x) = x x + (6a 4)x +1a 1a = 0 = 0 x + (6a 4)x +1a 1a = 0 x /3 = 6a + 4 ± 36a 48a (1a 1a) g a hat genau eine Nullstelle, wenn -1a +16 < 0 = 6a + 4 ± 1a +16 1a +16 = 0 a = 4 3 (a 1 = 4 3 ) D a = 4 3 x /3 0 Skizze von ( 1a +16) : a ; ; a 4 3 ; (da a! + )
22 1.. f a (x) = ( x3 ax + a x) = x x ax + a = 0 x ax + a = 0 x /3 = a ( ) 1) a = 0 : x = 0 (dreifache Nullstelle) )a > 0 : x 1 = 0 (einfache Nullstelle) x /3 = a (doppelte Nullstelle) f t (x) = (x +1) (x t) f t (x) = 0 1) x +1 = 0 = 1 ) x t = 0 x = t t = 1: f 1 hat eine Nullstelle bei x = -1 (dreifach) t! \ 1 { } : f t hat zwei Nullstellen bei x 1 = 1 (doppelt) und bei x = t (einfach) 3.1 h k (x) = kx + ( k 1)x k + 1 4k wegen k 0 kann nur Achsensymmetrie vorliegen k 1 = 0 (weil nur gerade Exponenten auftauchen dürfen) k = 0,5 G h0,5 achsensymmetrisch zur y-achse, weil auch die Definitionsmenge symmetrisch kx + ( k 1)x k + 1 4k = 0 ( ) 4 k D = k 1 k 3 + 4k 4k k + 1 4k = 4k 4k +1 k 3 1 = k 3 + 4k 4k k 3 + 4k 4k = 0 k(k 4k + 4) = 0 k 1 = 0 k 4k + 4 = 0 (k ) = 0 k = ( ) : Skizze von k 3 + 4k 4k k ] ;0[ { }
23 4. x 3 + x 7x + 4 = 0 x 1 = 1 (durch Pr obieren) ( x 3 + x 7x + 4) :(x 1) = x + 3x 4 x + 3x 4 = 0 (x 1)(x + 4) = 0 x = 1 x 3 = 4 f a (x) = a (x 1) (x + 4) f a hat zwei Nullstellen bei x = 1 (doppelt) und bei x = - 4 (einfach) x(tx 1)(x + 4)(x 3) = 0 4 = 0 x = 1 x t 3 = 4 x 4 = 3 t = 0 : h 0 hat drei Nullstellen bei x 1 = 0, x = 4 und x 3 = 3 t = 0,5 : h 0,5 hat drei Nullstellen bei x 1 = 0, x = 4 und x 3 = 3 t = 1 3 : h 1 hat drei Nullstellen bei x 1 = 0, x = 4 und x 3 = 3 3 t! \ 0,5;0; 1 3 : h t hat vier Nullstellen bei x 1 = 0, x = 1 t, x = 4 und x = Graph 1 kann zur Funktionenschar h t gehören mit t = 0 h 0 (x) = 1 x(x + 4)(x 3) 4 Hoch drei Funktion mit negativem Leitkoeffizienten (kommt von oben, geht nach unten) Graph kann zur Funktionenschar h t gehören mit t = -0,5 Hoch vier Funktion mit negativem Leitkoeffizienten (kommt von unten, geht nach unten) Graph 3 kann nicht zur Funktionenschar h t gehören, weil es bei Null nie eine doppelte Nullstelle geben kann. 6. 0,5(x 3 ax ) = 0 x 3 ax = 0 x (x a) = 0 = 0 x = a a = 0 : eine Nullstelle bei x = 0 (dreifach) a! \ 0 { } : zwei Nullstellen bei x 1 = 0 (doppelt) und bei x = a (einfach)
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