Technische Universität München Fakultät für Mathematik Algorithmische Diskrete Mathematik WS 2012/2013 Prof. Dr. P. Gritzmann 22.

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1 Note: Name Vorname Matrikelnummer Studiengang Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten Hörsaal Reihe Platz Technische Universität München Fakultät für Mathematik Algorithmische Diskrete Mathematik WS 0/0 Prof. Dr. P. Gritzmann. Februar 0 Hinweise: Überprüfen Sie die Angabe: Es gibt (inklusive Deckblatt und Übersichtsblatt mit zwei Seiten) insgesamt Seiten mit Aufgaben. Vergleichen Sie die Angaben mit dem Übersichtsblatt. Die Arbeitszeit beträgt 0 Minuten. Jede Aufgabe ist in dem unmittelbar anschließenden Platz zu bearbeiten. Alle Antworten sind sorgfältig zu begründen. Verwenden Sie einen dokumentenechten Stift. Verwenden Sie nicht die Farben Rot und Grün. Zum Bestehen sind voraussichtlich mindestens Punkte nötig! Das letzte Blatt mit der Aufgabenübersicht kann zur Bearbeitung abgetrennt werden. Bei vorzeitiger Abgabe sind alle Blätter einschließlich des Übersichtsblattes abzugeben! Es sind keinerlei Hilfsmittel zugelassen. Erstkorrektur () Zweitkorrektur () Nur von der Aufsicht auszufüllen: Hörsaal verlassen von: bis: Vorzeitig abgegeben um: Besondere Bemerkungen:

2 Aufgabe (ca. Punkte) Seite Gegeben sei der gewichtete Graph G = (V, E; φ) gemäß folgender Zeichnung: v v v v v v v v 0 v Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Kruskal einen minimalen Spannbaum. Zeichnen Sie dazu die einzelnen Schritte des Algorithmus in die unten abgebildeten Graphen ein. v v v v v v v v v 0 v v v v v v v 0 v v v v v v v v v v v 0 v v v v v v v 0 v v

3 v v v v v v v v v 0 v v v v v v v 0 v v v v v v v v v v v 0 v v v v v v v 0 v v

4 Aufgabe (ca. Punkte) Seite Gegeben sei ein Knapsack-Problem mit Gegenständen durch folgende Daten: Gewichtsvektor: Werte: Gewichtsschranke (Kapazität): ρ = w = (,,, ) T c = (,,, ) T a) Berechnen Sie algorithmisch die optimale Lösung des Problems unter Angabe aller relevanten Zwischenschritte. Zeichnen Sie den zugehörigen Schichtgraphen in den karierten Bereich unten. Achten Sie darauf, dass hre Rechenschritte nachvollziehbar sind. b) Geben Sie die optimale Lösung des Knapsack-Problems sowie Gewicht und Wert des optimalen Knapsack an.

5 Aufgabe (ca. Punkte) Seite Gegeben sei folgendes Standardnetzwerk N = (s, t, V, E, β) und folgender Fluss ξ auf N: N: s v v v v t ξ: s v v v v t Zeichnen Sie das Augmentationsnetzwerk N ξ in untenstehenden Graphen ein: N ξ : v s v v t v

6 Aufgabe (ca. + Punkte) Seite Sei G = (V, E) ein Digraph. Wir bezeichnen den ngrad eines Knotens v V bezüglich einer Kantenmenge E E mit deg in,e (v). Eine Teilmenge M E heißt ngrad-matching in G, wenn deg in,m (v) für alle v V gilt, d. h. jeder Knoten in V ist zu höchstens einer eingehenden Kante in M inzident. Sei M := {M E : M ist ein ngrad-matching in G} und U = (E, M). a) Zeigen Sie, dass U ein Unabhängigkeitssystem ist. b) Beweisen Sie, dass U sogar ein Matroid ist.

7 Fortsetzung von Aufgabe Seite

8 Aufgabe (ca. Punkte) Seite Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung für hre Antworten an! a) Jedes Matroid besitzt mindestens einen Kreis. b) Ein Unabhängigkeitssystem ist genau dann ein Matroid, wenn alle Kreise gleich groß sind. c) Es gibt einen gewichteten Digraphen G = (V, E; φ), der zwei Knoten s, t V besitzt, so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind: Für jeden Knoten v V \ {s} existiert ein s-v-weg in G. Es gibt einen negativen gerichteten Kreis in G. Die Länge aller s-t-kantenzüge ist nach unten beschränkt.

9 Aufgabe (ca. Punkte) Seite Sei G = (V, E; φ) ein gewichteter Digraph mit φ : E R 0 und sei s V. Für einen Kantenzug K = (e, e,..., e k ) mit e, e,..., e k E sei die Bandbreite des Kantenzugs K. ϕ(k) := min e K φ(e) Wir betrachten das folgende Problem maximale Bandbreite: Eingabe: Ein gewichteter Digraph G = (V, E; φ) mit φ : E R 0, ein Knoten s V. Aufgabe: Bestimme für jedes v V die maximale Bandbreite eines s-v-weges in G. Ändern Sie den Dijkstra-Algorithmus so ab, dass er das Problem maximale Bandbreite korrekt löst. Ergänzen Sie dazu die Kästchen in folgendem Algorithmus. Sie brauchen nicht zu beweisen, dass der Algorithmus korrekt arbeitet. S {s} ξ(s) for v N aus (G, s) do ξ(v) φ ( (s, v) ) for v V \ (N aus (G, s) {s}) do ξ(v) 0 while N aus (G, S) do Wähle v for v N aus (G, v ) \ S do ξ(v) S S {v } return ξ

10 Aufgabe Gegeben sei der gewichtete Graph G = (V, E; φ) gemäß folgender Zeichnung: v v v v v v v v 0 v Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Kruskal einen minimalen Spannbaum. Zeichnen Sie dazu die einzelnen Schritte des Algorithmus in die unten abgebildeten Graphen ein. Aufgabe Gegeben sei ein Knapsack-Problem mit Gegenständen durch folgende Daten: Gewichtsvektor: w = (,,, ) T Werte: c = (,,, ) T Gewichtsschranke (Kapazität): ρ = a) Berechnen Sie algorithmisch die optimale Lösung des Problems unter Angabe aller relevanten Zwischenschritte. Zeichnen Sie den zugehörigen Schichtgraphen in den karierten Bereich unten. Achten Sie darauf, dass hre Rechenschritte nachvollziehbar sind. b) Geben Sie die optimale Lösung des Knapsack-Problems sowie Gewicht und Wert des optimalen Knapsack an. Aufgabe Gegeben sei folgendes Standardnetzwerk N = (s, t, V, E, β) und folgender Fluss ξ auf N: N: v s v v v t ξ: v s v v t v Zeichnen Sie das Augmentationsnetzwerk Nξ in untenstehenden Graphen ein: Aufgabe Sei G = (V, E) ein Digraph. Wir bezeichnen den ngrad eines Knotens v V bezüglich einer Kantenmenge E E mit deg in,e (v). Eine Teilmenge M E heißt ngrad-matching in G, wenn deg in,m (v) für alle v V gilt, d. h. jeder Knoten in V ist zu höchstens einer eingehenden Kante in M inzident. Sei M := {M E : M ist ein ngrad-matching in G} und U = (E, M). a) Zeigen Sie, dass U ein Unabhängigkeitssystem ist. b) Beweisen Sie, dass U sogar ein Matroid ist.

11 Aufgabe Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung für hre Antworten an! a) Jedes Matroid besitzt mindestens einen Kreis. b) Ein Unabhängigkeitssystem ist genau dann ein Matroid, wenn alle Kreise gleich groß sind. c) Es gibt einen gewichteten Digraphen G = (V, E; φ), der zwei Knoten s, t V besitzt, so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind: Für jeden Knoten v V \ {s} existiert ein s-v-weg in G. Es gibt einen negativen gerichteten Kreis in G. Die Länge aller s-t-kantenzüge ist nach unten beschränkt. Aufgabe Sei G = (V, E; φ) ein gewichteter Digraph mit φ : E R 0 und sei s V. Für einen Kantenzug K = (e, e,..., ek) mit e, e,..., ek E sei ϕ(k) := min φ(e) e K die Bandbreite des Kantenzugs K. Wir betrachten das folgende Problem maximale Bandbreite: Eingabe: Ein gewichteter Digraph G = (V, E; φ) mit φ : E R 0, ein Knoten s V. Aufgabe: Bestimme für jedes v V die maximale Bandbreite eines s-v-weges in G. Ändern Sie den Dijkstra-Algorithmus so ab, dass er das Problem maximale Bandbreite korrekt löst. Ergänzen Sie dazu die Kästchen in folgendem Algorithmus. Sie brauchen nicht zu beweisen, dass der Algorithmus korrekt arbeitet.