, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

Transkript

1 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte: % xµ ( f(x) = " # e ' * & " ), - + < x < +, " > 0. Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = " # e % tµ ( x ' * & " ), dt. + Wenn uns die Wahrscheinlichkeit P interessiert, mit der bei einem normalverteilten Zufallsexperiment ein Ereignis auftritt, dessen Zahlenwert im Intervall (a,b] liegt, so müssen wir den Ausdruck bilden: P(a< X" b) = F(b) #F(a) = Anmerkungen % e# & ḇ t#µ ( ' #, ) + * dt # % e# & t#µ ) a ( + - ' * dt = % #, e# & ḇ ( ' a t#µ ) + * dt. Die Dichtefunktion f(x) ist symmetrisch zur Geraden x=µ. Ihr Aussehen erinnert an eine Glocke. Wir sprechen deshalb auch von einer Glockenfunktion. Das Maximum der Dichtefunktion zeigt den Wert der größten Wahrscheinlichkeitsdichte an. Das Maximum liegt im Zentrum der Verteilung bei x=µ. 3 Die Fläche unter der Dichtefunktion ist. 4 Eine Stammfunktion zu f(x) kann nicht berechnet werden. 5 Die beiden einzigen Variabeln in der Normalverteilung sind die Parametergrößen µ und σ. Wir skizzieren einige Kurven, indem wir die Parameter µ und σ verändern und lesen aus den Skizzen die Bedeutung der Parameter für die Normalverteilung ab. Die nachfolgenden Grafiken zeigt zunächst drei Kurven mit dem Mittelwert µ=0 und den drei Standardabweichungen σ=0.5 (schlanke Glockenkurve, blau), σ=(mittlere Glockenkurve, rot) und σ= (flache Glockenkurve, oliv). Je kleiner σ ist, desto schlanker und höher wird der Kurvenverlauf der Wahrscheinlichkeitsdichte. Darunter sind drei Kurven mit σ= und den drei Mittelwerten µ=-, rot, µ=, blau, und µ=.5, violett.. Die Glockenkurven verschieben sich mit den µ - Werten. Für positive µ wandern sie um µ nach rechts, für negative µ- Werte wandern sie nach links. Der Flächeninhalt unter allen Kurven ist immer gleich.

2 39 Wir formulieren nun die wichtige Aussage: Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass X irgendeinen Wert zwischen x=a und x=b annimmt, also a<x b gilt, definiert durch: P(a<X"b) = F(b)#F(a) = % e# & t#µ ) ( + ' * b, dt. a

3 40 Bedauerlicherweise können wir dieses Integral nicht elementar auflösen; wir können es aber mit der Substitution u = t "µ # nebst du = dt überführen in eine "normierte" Normalverteilung " mit dem Mittelwert µ=0 und der Varianz σ =: "(#) = # ' e %u du. Normierte Normalverteilung %& Zwischen x und ξ bzw. F(x) und Φ(ξ) gelten die Zusammenhänge: " = x #µ Die Funktion bzw. "(u) = # e% u, % & < u < &, & F(x) = "(#) = " x µ ) ( +. ' % * heißt Dichte der Standardnormalverteilung. Für die Standardnormalverteilung Φ(ξ) existieren Tabellen in der Literatur aus denen wir die Wahrscheinlichkeiten ablesen können. Diese Ergebnisse können wir dann zurück ü- bertragen auf unser nicht normiertes Problem. Beispiele Die Messfehler bei einer Beobachtung seien normalverteilt mit den Parametern µ= und σ=. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(X 3) einen Zahlenwert X 3 abzulesen bzw. wie groß ist der Zahlenwert der Verteilungsfunktion F(x=3)? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen Messwert zu erhalten, der zwischen µ-σ=- und µ+σ=3 liegt? Wir illustrieren zunächst die zugehörige Glockenkurve f(x) und die Verteilung F(x). Die analytischen Ausdrücke unserer Graphen sehen so aus: f(x) = % x( " # # e ' * & ), + < x < +, und F(x) = % t( x " # # e ' * & ), dt. + Bild der Gausskurve f(x) mit µ= und σ=. Die grüne Fläche repräsentiert die Wahr-scheinlichkeit für ein Ergebnis zwischen x=- und x=3.

4 4 Bild der Gauss- Verteilung F(x) mit µ= und σ=. Die Werte der roten Kurve F(x) stellen die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis x dar, mit "# < X x. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis auftritt, dass zwischen x=- und x=3 liegt, ist durch die grüne Fläche repräsentiert. Unsere Ergebnisse könnten wir auch direkt aus dem Bild zur Gauss-Verteilung F(x) ablesen. Aus dem Bild lesen wir ab: F(3)=0.84; also ist die Wahrscheinlichkeit gleich 84%, eine Zahl x 3 abzulesen. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit gleich 6%, eine Zahl x - abzulesen. Daraus errechnen wir für die Wahrscheinlichkeit einen Messwert abzulesen, der zwischen µ-σ=- und µ+σ =3 liegt: F(3)- F(-)= =0.68 " 3. Offensichtlich müssen wir diese Rechnung aber stets wieder von vorn beginnen, wenn sich die Parameterwerte ändern. Mit der Standard-Normalverteilung besitzen wir nun ein Instrument, das es uns erlaubt, Bild und Tabelle nur einmal erstellen zu müssen, und daraus für alle Parameterwerte µ und σ die jeweiligen Wahrscheinlichkeitsberechnungen herzuleiten. Wir wollen deshalb beispielhaft die obigen Ergebnisse aus der Standardform ablesen. Zunächst transformieren wir zu diesem Anlass die Formeln in die Standardform und rechnen aus, wie sich die Zahlenwerte mit der Substitution u = x " verändern: x = a " u = a #µ % ' x = a = 3 " u a = 3 # u = x # µ = ' & x = b = " u b = ## x = b " u = b #µ ' = # ' =,µ = " ( S = =und µ S = µ + ) # µ, +. = 0 * - Außerdem errechnen wir für die Substitution dx=du und somit insgesamt: "(u) = # e% u, % & < u < &, und "(#) = # % ( e& u du. &' Die Werte von µ und σ in der Standardform sind also stets µ S =0 und σ S =. Außerdem ergibt die Standardform u a = für x=a=3 und u b =0 für x=b=. Daraus rechnen wir folgende Ergebnisse: Φ(u=)=F(x=3)=0.84 und Φ(µ S +σ S =0+=)-Φ(µ S -σ S =0-=-)= =0.68.

5 4 In der Grafik sieht dies nun so aus: Bild der Standard- Gausskurve f(x) mit µ=0 und σ=. Die grüne Fläche repräsentiert die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis zwischen u=- und u= (bzw. zwischen x=- und x=3). Bild der Standard- Gaussverteilung Φ(u) mit µ=0 und σ=. Die Werte der roten Kurve Φ(u) stellen die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis u dar, mit "# < U u. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Instrument der Standardform fassen wir so zusammen: Die Wahrscheinlichkeit, dass die normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung σ einen Wert annimmt, der kleinergleich x ist, lautet: & F(x) = P(X " x) = # x µ ) ( + = #(u), mit u = x µ. ' % * % Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert größer x annimmt, ist dann: -F(x)=P(X>x)=-Φ(u). Die Wahrscheinlichkeit, dass die normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung σ einen Wert x mit a<x b annimmt, lautet: & F(b) " F(a) = P(a < X # b) = b "µ ) & ( + " a "µ ) ( + = (u ' % 3 * ' % 3 * b ) " (u a ). u b u a

6 43 Normalverteilungen erhalten ihre besondere Bedeutung auch durch ihre Anwendung auf die Theorie der Messfehler (s. Nachfolgende Kapitel). Zufällige Messfehler, das sind solche, die nicht einer systematischen Abweichung unterworfen sind, besitzen im Regelfall eine Normalverteilung. Für den Wissenschaftler, der Messwerte abliest, stellt sich dabei häufig die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit Messwerte außerhalb einer vorgegebenen Toleranz liegen. Bei einer einseitigen Abgrenzung nach oben lautet dann die Frage: Wie heißt der noch zu tolerierende Grenzwert x T für den F(x T )=P(X x T )=p ist bzw. wie heißt der entsprechende Standardwert u T mit Φ(u T )=P(U u T )=p T? Zu jedem vorgegebenen Wert von p T existieren Werte x T bzw. u T. Den Grenzwert u T nennen wir die Quantile der Standardnormalverteilung. Solche Werte werden tabellarisch aus der Standard-Normalverteilung abgelesen. In unserem obigen Beispiel ist etwa u T = die Quantile, die den Bereich U u T begrenzt, aus dem wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 84% die Zufallsvariablen ablesen. Anmerkung Für große Werte von n können wir die Normalverteilung verwenden, um die Poisson- bzw. die Binomialverteilung anzunähern. Die Binomialverteilung besitzt den Mittelwert µ=n p und die Varianz σ =n p q. Als Näherung setzen wir diese Werte in die Formel für die Dichtefunktion bzw. die Verteilungsfunktion der Gausskurven ein: f B (x) = " # n# p # q e % xn#p ( ' * & n#p#q ) und F B (x) = " #n#p # q x % tn#p ( ' * & n#p#q ), e dt. + Beispiel aus Das Bild zeigt die Gauss- Glockenkurve (grüne Linie), die Binomial- bzw. die Poissonverteilung (gelbe bzw. violette Punkte) und die Beobachtungswerte (grüne Punkte). Die Parameterwerte erhalten wir aus dem Experiment: n=608 und µ " x = Daraus errechnen wir p = µ = und setzen n µ = " für Gauss. Grafische Darstellung zum Beispiel in mit Gausskurve, Binomi- Poissonverteilung und beobachteter relativer Häufigkeit von α-teilchen pro Zeitintervall.

7 44 Als weiteres Beispiel dafür, dass die Binomialverteilung bzw. die Poissonverteilung für große n und kleine Wahrscheinlichkeiten p mit der Gausskurve übereinstimmt zeigt das Bild zum Roulettebeispiel mit n=000 Spielen und dem Einsatz auf eine Zahl: p = 37. Darin sind die Ergebnisse der Binomialverteilung als rote und die der Poissonverteilung als grüne Punkte dargestellt. Die Gausskurve mit µ = n"p = und # 000" 36 = n"p " q = 37 ist als blaue Linie eingezeichnet. Mittelwerte von Zufallszahlen und die Normalverteilung Nachdem wir gelernt haben, wie die Normalverteilung analytisch und grafisch aussieht, und wie man mit ihr rechnet, wollen wir uns abschließend zu diesem Thema mit der Frage befassen, wie man sich den Begriff Wahrscheinlichkeitsdichte: % xµ ( f(x) = " # e ' * & " ), - + < x < +, " > 0, veranschaulichen kann. Zu diesem Zweck lassen wir uns von einem Rechenprogramm zunächst einen Datensatz mit einer Anzahl n, z.b. n=5000, Zufallszahlen zwischen den Grenzen a und b, z.b. a=-0 und b=0, ausdrucken. Wir teilen das Intervall [-0,0] in z.b. 0 Teilintervalle "x i,# i # 0, berechnen die relativen Häufigkeiten und die Summenhäufigkeiten dieser Stichprobenwerte und tragen sie in eine Tabelle ein.

8 45 Klasse i "9 "8 "7 "6 "5 "4 "3 " " Relative Häufigkeit h i Summen " häufigkeit Die Tabelle zeigt uns eine Verteilung an, in der alle 0 Intervalle in etwa gleich viele Zahlen enthalten, nämlich f(x) = 0 " h i # Dies ist natürlich zunächst keine Normalverteilung. Die Grafik zeigt zunächst die experimentellen bzw. theoretischen Werte (Säulen bzw. Linien) und bestätigt, dass unser Zufallsgenerator für die 5000 Zahlen kein Intervall bevorzugt. Wir wiederholen nun den Vorgang, bestimmen aber jede einzelne Zufallszahl nicht direkt, sondern als den Mittelwert von weiteren00 Zufallszahlen. Danach gehen wir so vor: Wir teilen den Bereich [-,], der alle Mittelwerte enthält, in 0 Teilintervalle "x i = 0., # i # 0, berechnen die relativen Häufigkeiten dieser Stichprobenwerte und bilden daraus folgende Werte: Relative Häufigkeit im Intervall "x i = h i = g i # f(x "x i "x { i ) i GaussDichte &Relative Häufigkeit im Intervall "x i = g i ' "x i # f(x i ) ' "x i. Mit dem Grenzwert für "x i # 0 entsteht dann: Wir fassen die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen: Relative,% i % 0, h { i = g i " #x i = & f(x)dx =. i= relative Häufigkeiten i= %0 Klasse i ".9 ".7 ".5 ".3 ". "0.9 "0.7 "0.5 "0.3 " Häufigkeit h i g i = h i #x i Außerdem ermitteln wir aus dem Datensatz dessen Mittelwert und Standardabweichung und zeichnen mit diesen beiden empirischen Werten die entsprechende theoretische

9 46 Normalverteilung. Der Vergleich dieser Normalverteilung mit den Werten g i zeigt gute Ü- bereinstimmung. Die orangenen Punkte sind die g i Werte zu einer Gesamtheit von 500 Datenpunkten, während die grünen Punkte aus einer Gesamtheit von 0000 Datenpunkten ermittelt wurden. Je größer der Datensatz, umso besser die Übereinstimmung. Nun wurde das Experiment nochmals wiederholt, um die Bedeutung der Standardabweichung für die Normalverteilung zu veranschaulichen. Zu diesem Zweck wurden neben dem Ansatz, jeden einzelnen Mittelwert des Datensatzes aus 00 Zufallszahlen zu bestimmen, auch zwei weitere Ansätze mit 400 bzw. 900 Zufallszahlen pro Mittelwert gemacht. Je höher die Anzahl von Zufallszahlen pro Mittelwert, umso geringer wird die Standardabweichung der Normalverteilungen. Die blaue Kurve zeigt das Ergebnis mit 900 Zufallszahlen pro Mittelwert, die grüne Kurve zeigt die Kurve mit 400 Zufallszahlen pro Mittelwert und die orangene das Ergebnis für 00 Zufallszahlen pro Mittelwert. Die empirischen Maßzahlen zu diesen drei Kurven sind: n x s " Während sich n mit dem Faktor 4 bzw. 9 steigert, reduziert sich s mit den Faktoren 4 = bzw. 9 = 3. Um Statistik und insbesondere die Normalverteilung zu begreifen, wäre es nun zweckmäßig das Experiment zu diesen drei Kurven beliebig häufig zu wiederholen, um zu erkennen, dass sich jedes mal auf verschiedenen Wegen das gleiche Ergebnis ergibt.