Adaptive Systeme. Mehrere Neuronen, Assoziative Speicher und Mustererkennung. Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

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1 Adaptive Systeme Mehrere Neuronen, Assoziative Speicher und Mustererkennung Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

2 Modell eines Neuron x x 2 x 3. y y= k = n w k x k x n Die n binären Eingangssignale x k {,} werden vom Neuron aufsummiert. Sobald die (gewichtete) Summe der Eingangssignale x k eine gewisse Schwelle übersteigt, feuert das Axon und das Ausgangssignal y geht von auf, realisiert durch die Stufenfunktion σ. Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 2

3 Neuronen Schicht x x 2 x 3.. θ θ 2. y y 2 n y j = k = w jk x k j y j = n k = w jk x k x n- x n θ m y m y= W x Werden m Neuronen zu einer Schicht mit n gemeinsamen Eingängen zusammengefasst, so werden den n Eingangssignalen m Ausgangssignale zugeordnet. Es entsteht eine Abbildung f:{,} n {,} m. Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 3

4 Mehrere Neuronen als Schicht Wenn k Neuronen unabhängig voneinander denselben Eingangsvektor x verarbeiten, so liefert jedes Neuron ein Teilergebnis des Ausgabevektors y. Bei m Neuronen entstehen aus dem n dimensionalen Eingangssignal m unabhängige Ausgangssignale y m. Eine solche Neuronenschicht kann genauso trainiert werden wie ein einzelnes Neuron: Jedes Neuron k wird solange mit den p Eingangsvektoren x, =,, p trainiert, bis alle erwünschten Ausgabewerte y k y k erlernt wurden. Für die Konvergenz gelten die selben Aussagen, wie bei einem einzelnen Perzeptron. Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 4

5 Mustererkennung Mit Hilfe einer Schicht von Neuronen lassen sich recht einfach und schnell Muster erkennen und klassifizieren. Nach der Trainingsphase hat das Neuronale Netz ein Gedächtnis der erlernten Muster und assoziiert die zugehörigen Ausgabe- mit den Eingangsdaten. Mit m Neuronen gibt es maximal 2 m Zustände. Es lässt sich allerdings nur eine beschränkte Anzahl von Mustern erlernen und diese dürfen nicht zu ähnlich sein, ansonsten kommt es zu Fehlklassifikationen. Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 5

6 Assoziative Mustererkennung Ein assoziativer Speicher soll eine Menge {x (),...,x (p) } von Mustern mit dem Satz {d (),...,d (p) } von Ausgaben korrekt klassifizieren. Alle Muster sollen k n Einsen enthalten. Initialisiert wird die Gewichtsmatrix mit W () =. Das Training erfolgt mit den p Eingabemustern: w jk =d j x k {,} W =W W =,, p D. h. in der Matrix W werden alle Elemente auf gesetzt, wenn sowohl x j als auch d k gleich sind. Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 6

7 Das assoziative Gedächtnis Als Bias wird w j =k-½ gewählt, nach dem Training hat die Matrix dann die Belegung: und für alle Vektoren gilt daher: W jk = max d j x k = p W x j = k w jk x k = k d j x k = k x k =k w j Falsche Einsen im Ausgabekanal y j können nur dann entstehen, wenn ein Vektor x bei allen k Einträgen auf einen passenden Gewichtsvektor w k trifft. Die Wahl von w j ermöglicht keine Fehlertoleranz. Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 7

8 Falsche Assoziationen Training Das Beispiel illustriert das Zustandekommen einer falschen Ausgabe am Beispiel k=2. Erlernt wurden drei Tupel (x (ν),d (ν) ) die entsprechenden Matrixeinträge sind mit gekennzeichnet. Eine spätere Abfrage mit dem zweiten Vektor ergibt die in rot gekennzeichnete falsche Ausgabe. d Hamming x, x d Hamming d, d Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 8

9 Adaline Adaline ist ein Kunstwort aus ADAptive LInear NEuron und ist formal analog zum Perzeptron gebaut. Adaline verwendet einen gegenüber dem Perzeptron abgewandelten Trainingsalgorithmus: w jk = d j w j x x k D.h. die Hebbsche Lernregel wird ohne Auswertung der Transferfunktion angewendet. Im Trainingsmodus besteht Adaline nur aus einer reinen Matrizenmultiplikation, d.h. ist eine lineare Abbildung, für die das Superpositionsprinzip gilt. Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 9

10 Linearer assoziativer Speicher Ohne Anwendung der Transferfunktion entsteht ein linearer assoziativer Speicher dessen optimale Lösung sich analytisch berechnen lässt: p E [W ]= = y d 2 2 E [W ]= 2 = p m j= n k= w jk x k d j 2 Das Minimum erfüllt das Gleichungssystem W E jk = E = p w = jk i w ji x i d j x k = Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme

11 Matrixgleichung des LAM Die zugehörige Matrizengleichung lautet: W XX T =D X T W =D X T XX T welche formal die Lösung besitzt, sofern die quadratische Matrix (XX T ) invertierbar ist. Da die Mustervektoren x (ν) jedoch i.a. nicht linear unabhängig sind, ist dies meistens nicht der Fall und es existiert eine ganze Schar von Lösungsmatrizen W. Als zusätzliche Forderung wird daher gefordert, dass 2 die Quadratsumme jk w jk der Gewichte gleichzeitig mit E[W] minimiert wird. Die neue Forderung lautet: E [W ]+λ jk w 2 jk =E [W ]+λ W 2 =min Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme

12 Pseudoinverse Dies führt zur Matrixgleichung W XX T =D X T XX T Die Matrix ist für alle Werte λ> positiv definit und invertierbar. W =lim DX T XX T =: D X Mit der Pseudoinversen X =lim X T XX T Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 2

13 Gradientenverfahren Ebenso ist es möglich mittels eines Gradientenverfahrens eine Nährung zu finden, in dem als Lernregel angewandt wird. Diese erfüllt i.a. nicht mehr die Forderung, dass ein Minimum der Gewichte gefunden wird. Sind die Vektoren statistisch mit gleichem Gewicht verteilt, kann die vereinfachte Lernregel p Δ W =μ ν= ( d (ν) W x (ν) )( x (ν) ) T W = d W x x T, = / p angewandt werden, d.h. zusätzliche Vektoren erfordern keine komplette Neuberechnung von W. Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 3

14 Einbeziehung der Transferfunktion Mit einer stetig differenzierbaren Transferfunktion gilt für ein beliebiges Musterpaar (x,d): E w jk = i w ji x i d j ' i w ji x i x k und die Anwendung des Gradientenverfahrens liefert die Lernregel: w jk = d j y j ' y j x k = e j ' y j x k Die Bedingung y j {,} ist jetzt nicht mehr streng gegeben, sondern die Bildmenge ist das Intervall [,] Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 4

15 Übung/Praktikum Formulieren Sie die Hebbschen Lernregeln für die stetigen Transferfunktionen. Berechnen Sie die Ableitung σ c '(x) der Fermi- und Tanh- Funktion und drücken Sie diese durch σ c (x) aus. Implementieren Sie entsprechende Lernalgorithmen. Testen Sie mit den Beispielen des And und Or Problems. Sie wollen Oberflächenvektoren x R 3 ; x = der Einheitskugel klassifizieren nach den drei Kriterien oben/unten, links/rechts und vorne/hinten, d.h auf Zielvektoren d {,} 3 abbilden. Formulieren Sie einen entsprechenden Lernalgorithmus. Wogegen konvergiert die Matrix W? Prof. Dr. N. Wulff Adaptive Systeme 5

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