Grenzen der Mathematik

Transkript

1 Grenzen der Mathematik

2 Dirk W. Hoffmann Grenzen der Mathematik Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik 3. Auflage

3 Dirk W. Hoffmann Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft Karlsruhe, Deutschland ISBN ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2011, 2013, 2018 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Verantwortlich im Verlag: Andreas Rüdinger Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, Berlin, Germany

4 Vorwort Das Unmögliche zu erkennen, ist eine intellektuelle Leistung, die den Menschen einzigartig macht. In der Physik haben uns die Einstein sche Relativitätstheorie oder die Heisenberg sche Unschärferelation Grenzen aufgezeigt, die wir niemals überwinden werden. Die Aussagen sind negativ, und gerade deshalb verbreiten sie eine unwiderstehliche Faszination. Es ist das Unmögliche, das uns noch stärker zu fesseln vermag als das Mögliche. Auch die Mathematik ist von ähnlichen Negativresultaten betroffen. Die mathematische Logik des zwanzigsten Jahrhunderts hat fundamentale Erkenntnisse hervorgebracht, die uns die Grenzen dieser präzisen Wissenschaft in aller Klarheit vor Augen führen. So wissen wir heute, dass sich der Begriff der Wahrheit selbst für so scheinbar einfache Theorien wie die Zahlentheorie nicht in Einklang mit dem Begriff der Beweisbarkeit bringen lässt. Es ist unmöglich, die Mathematik in einem formalen System einzufangen, in dem alle wahren Aussagen beweisbar und alle falschen Aussagen unbeweisbar sind. Dieses Buch entführt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik. Es ist mein erklärtes Ziel, die Konzepte, Methoden und Ergebnisse dieser Disziplin in verständlicher Form offenzulegen, ohne einen Verlust an Tiefe zu erleiden. Wo immer es möglich ist, habe ich versucht, die Definitionen und Sätze mit Beispielen zu motivieren und durch zahlreiche Querbezüge in ihren sachlichen und historischen Kontext einzuordnen. Beweise von Sätzen, die nur am Rand eine Rolle spielen, sind bewusst nur skizzenhaft aufgenommen, oder es wird darauf hingewiesen, wo ein Beweis nachgeschlagen werden kann. In diesem Sinn kann das vorliegende Buch die formal präzise Literatur aus dem Bereich der mathematischen Logik nicht an jeder Stelle ersetzen und will es auch gar nicht. Allem Anderen voran möchte ich die Faszination transportieren, die dieses Teilgebiet der Mathematik unzweifelhaft ausstrahlt. Sie, liebe Leser, müssen beurteilen, inwieweit mir dies gelungen ist. Vorwort zur dritten Auflage Inzwischen sind die Grenzen der Mathematik in der dritten Auflage erschienen. Genau wie zur ersten Auflage habe ich auch zur zweiten Auflage zahlreiche Zuschriften erhalten, über die ich mich sehr gefreut habe. Namentlich erwähnen möchte ich Henning Dieterichs, Dr. Bernd Grave, Dr. Olaf von Grudzinski, Dr. Wolfgang Heinrich, Tankred Hirschmann, Patrick Holzer, Thomas Klimpel, Joachim Lillig und Prof. Dr. Ronald Ortner, die mir mit zahlreichen Hinweisen geholfen haben, Fehler im Manuskript der zweiten Auflage zu beseitigen. Eine inhaltliche Änderung hat in dieser Auflage das Kapitel Modelltheorie erfahren. Ich habe es um eine skizzenhafte Beschreibung der Forcing-Technik ergänzt, die im Jahr 1963 von Paul Cohen entdeckt wurde und heute zu den Standardinstrumenten für das Führen von Unabhängigkeitsbeweisen gehört. Karlsruhe, im Januar 2018 Dirk W. Hoffmann

5 Symbolwegweiser Definition Satz, Lemma, Korollar Leichte Übungsaufgabe Mittelschwere Übungsaufgabe Schwere Übungsaufgabe Lösungen zu den Übungsaufgaben In wenigen Schritten erhalten Sie die Lösungen zu den Übungsaufgaben: 1. Gehen Sie auf die Webseite 2. Geben Sie den neben der Aufgabe abgedruckten Webcode ein. 3. Die Musterlösung wird als PDF-Dokument angezeigt. Alternativ können Sie ein PDF-Dokument abrufen, das alle Musterlösungen gesammelt enthält.

6 Inhaltsverzeichnis 1 Historische Notizen Wahrheit und Beweisbarkeit Der Weg zur modernen Mathematik Rätsel des Kontinuums Auf den Spuren der Unendlichkeit Macht der Symbole Aufbruch in ein neues Jahrhundert Grundlagenkrise Axiomatische Mengenlehre Hilberts Programm und Gödels Beitrag Grenzen der Berechenbarkeit Auferstanden aus Ruinen Übungsaufgaben Formale Systeme Definition und Eigenschaften Entscheidungsverfahren Aussagenlogik Syntax und Semantik Aussagenlogischer Kalkül Prädikatenlogik erster Stufe Syntax und Semantik Prädikatenlogischer Kalkül Prädikatenlogik mit Gleichheit Prädikatenlogik höherer Stufe Syntax und Semantik Henkin-Interpretation Übungsaufgaben Fundamente der Mathematik Peano-Arithmetik Syntax Semantik Axiome und Schlussregeln...141

7 VIII Inhaltsverzeichnis 3.2 Axiomatische Mengenlehre Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF-Axiome Das Auswahlaxiom Mengenlehre als Fundament der Mathematik Einbettung der natürlichen Zahlen Ordinalzahlen Definition und Eigenschaften Der Unendlichkeit entgegen Ordnungstypen und Wohlordnungen Transfinite Induktion Kardinalzahlen Übungsaufgaben Beweistheorie Gödel sche Unvollständigkeitssätze Der erste Unvollständigkeitssatz Arithmetisierung der Syntax Primitiv-rekursive Funktionen Arithmetische Repräsentierbarkeit Gödels Diagonalargument Rossers Beitrag Das Diagonalisierungslemma Das Wahrheitsprädikat von Tarski Das Berry-Paradoxon Der zweite Unvollständigkeitssatz Hilbert-Bernays-Löb-Kriterien Der Satz von Löb Gödels Sätze richtig verstehen Der Satz von Goodstein Übungsaufgaben Berechenbarkeitstheorie Berechnungsmodelle Turing-Maschinen Erweiterungen des Basismodells Alternative Beschreibungsformen Universelle Turing-Maschine Registermaschinen Die Church sche These Grenzen der Berechenbarkeit Das Halteproblem...296

8 Inhaltsverzeichnis IX Der Satz von Rice Folgen für die Mathematik Unentscheidbarkeit der PL Unvollständigkeit der Arithmetik Hilberts zehntes Problem Diophantische Repräsentierbarkeit Codierung von Registermaschinen Übungsaufgaben Algorithmische Informationstheorie Algorithmische Komplexität Die Chaitin sche Konstante Unvollständigkeit formaler Systeme Übungsaufgaben Modelltheorie Meta-Resultate zur Prädikatenlogik Modellexistenzsatz Kompaktheitssatz Satz von Löwenheim-Skolem Nichtstandardmodelle von PA Abzählbare Nichtstandardmodelle Überabzählbare Nichtstandardmodelle Das Skolem-Paradoxon Boolesche Modelle Boolesche Algebren Boolesche Mengen Boolesche Semantik Forcing Übungsaufgaben Literaturverzeichnis 421 Bildnachweis 429 Namensverzeichnis 431 Sachwortverzeichnis 435