K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 13. Übung: Woche vom (Lin.Alg.

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1 Übungsaufgaben 13. Übung: Woche vom (Lin.Alg. II): Heft Ü 3: 1.1.3; (a,b); 1.1.8; ; (b); (c); (b,d); Hinweis 1: 3. Test (Integration, analyt. Geom.) ist seit 9.1. freigeschalten (bis 29.1.) Hinweis 2: Klausurtermin (geplant):

2 Beispiel(e) zur Matrixinvertierung Beispiel 1(VL): A = 2 3 0, A 1 = , denn: = Beispiel 2: A = , A 1 = , denn (unbedingt die Probe machen!!):

3 A E I I II II III III E A 1

4 Determinanten (Buch, Kap. 4.1) Def. 4.1: Jeder quadratischen Matrix A = (a ij ) K n n ist durch det A := A := a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n die Zahl det A K zugeordnet. Sie wird als Determinante von A bezeichnet. Dabei ist A ij K die Adjunkte (oder das algebraische Komplement) des Elements a ij. Bsp. n = 2: A 11 = a 22, A 12 = a 21 det A = a 11 a 22 a 12 a 21.

5 Die Adjunkten sind definiert durch a 11 a 1,j 1 a 1,j+1... a 1n.... A ij := ( 1) i+j a i 1,1 a i 1,j 1 a i 1,j+1... a i 1,n a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j+1... a i+1,n.... a n1 a n,j 1 a n,j+1... a nn. A ij ist also die mit ( 1) i+j multiplizierte Determinante der Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

6 Laplacescher Entwicklungssatz S atz 4.1: Die Determinante det A der Matrix A K n n kann durch eine Entwicklung nach einer beliebigen Zeile k oder Spalte l berechnet werden. Genauer gilt a 11 a a 1n a 21 a a 2n n n = a kµ A kµ = a µl A µl µ=1 µ=1 a n1 a n2... a nn

7 Vorzeichenregel ( Schachbrettregel ) Die Vorzeichen für die Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes sind durch folgendes Muster festgelegt:

8 Spaltenvektoren einer Matrix Die Vektoren a 1 = a 11 a 21.,, a j = a 1j a 2j.,, a n = a 1n a 2n. a n1 a nj a nn werden als Spaltenvektoren der Matrix A = (a ij ) bezeichnet. Damit kann A und die Determinante wie folgt geschrieben werden A = (a 1,, a j,, a n ) det A = det(a 1,, a j,, a n ) Eine analoge Betrachtungsweise ist bzgl. Zeilenvektoren möglich.

9 Linearität von det A bezüglich einer Spalte Seien λ, µ R, dann gilt det(a 1,..., a i 1, λa i + µb i, a i+1,..., a n ) = λ det(a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n )+ µ det(a 1,..., a i 1, b i, a i+1,..., a n ). Diese und die weiter aufgeführten Eigenschaften gelten sinngemäß auch in bezug auf Zeilenvektoren Achtung(!): Im allgemeinen gilt det(a + B) det A + det B, det(λa) = λ n det A λ det A

10 Invarianz gegenüber Spaltenkombinationen Seien λ R und i k. Dann gilt det(a 1,..., a n ) = det(a 1,..., a k 1, a k + λa i, a k+1,..., a n ), Man kann also das λ-fache der i-ten Spalte zur k-ten Spalte addieren, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Vorzeichenwechsel bei Spaltentausch Tauscht man zwei Spalten einer quadratischen Matrix miteinander, so wechselt die Determinante das Vorzeichen, also gilt det(a 1,..., a i,..., a k,..., a n )= det(a 1,..., a k..., a i,..., a n )

11 Determinante bei linear abhängigen Spalten Ist eine Spalte einer quadratischen Matrix eine Linearkombination aus anderen Spalten dieser Matrix, so verschwindet die Determinante der Matrix, d.h. n det(a 1, a 2,..., a k 1, λ µ a µ, a k+1,..., a n ) = 0. µ=1 µ k Weitere Eigenschaften der Determinante det A = det A, det E = 1, det O = 0

12 Determinante für reguläre/singuläre Matrizen Sei A K n n. Dann gilt det A 0 A ist reguär Rang A = n Die dazu äquivalente Aussage det A = 0 A ist singulär Rang A < n Determinantenmultiplikationssatz Seien A, B K n n. Dann gilt det(a B) = det(a) det(b).

13 det Determinanten von Dreiecksmatrizen u 11 u 12 u 13 u 1n 0 u 22 u 23 u 2n 0 0 u 33 u 3n = u 11 u u nn = n j=1 u jj u nn Damit kann auch der Gausssche Algorithmus zur Determinantenberechnung benutzt werden (bei exakter Rechnung) Verallgemeinerung für Blockdreiecksmatrizen: A = A 1 C, A 1 K n 1 n 1, A 2 K n 2 n 2, n 1 + n 2 = n. 0 A 2 Dann gilt det A = det A 1 det A 2.

14 Unterdeterminanten Sei A K n n. Die Determinante einer k k - Untermatrix von A heißt k-reihige Unterdeterminante von A. Eine Matrix A K m n hat genau dann den Rang p, wenn mindestens eine p-reihige Unterdeterminante von A nicht 0 ist, jede mehr als p-reihige Unterdeterminante von A verschwindet.

15 det A = a b a sin σ b cos σ ab b a a 3 sin σ b 3 cos σ a 3 b b 2 a sin σ cos σ cos σ sin σ E6 = a b a sin σ b a a 3 sin σ sin σ cos σ cos σ sin σ = 1 a b b a ( cos 2 σ + sin 2 σ ) = a 2 + b 2.

16 Zwei Anwendungen zu Determinanten Eine Inversenformel Satz: Es gilt für jede Matrix A K n n A A = A A = A E n A 1 = 1 A A, falls A 0 Die Cramersche Regel Satz: Sei Ax = b ein LGS mit det(a) 0. Dann gilt für die eindeutig bestimmte Lösung x = A 1 b x i = det(a i) det(a), i = 1(1)n, hierbei ist A i := (a 1,, a i 1, b, a i+1,, a n )

17 Eigenwertprobleme (Kap. 4.7) Def. 4.36: Die Zahl λ C heißt Eigenwert einer Matrix A C n n, wenn es einen Vektor x C n mit x 0 gibt, so dass A x = λx Jeder Vektor x 0, der diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ. Satz 4.24: λ C ist genau dann ein Eigenwert von A C n n, wenn det(a λe) = 0

18 Charakteristisches Polynom Def. 4.37: Das Polynom χ A mit χ A (t) := det(a te), t C heißt charakteristisches Polynom der Matrix A C n n. Algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes Satz 4.25: Ein Eigenwert von A ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms χ A und umgekehrt. Die Matrix A K n n besitzt die Eigenwerte λ 1,..., λ p mit den algebraischen Vielfachheiten m(λ 1 ),..., m(λ p ), so dass p m(λ i ) = n. i=1

19 Eigenwertproblem für reelle Matrizen Matrizen A R n n C n n werden beim Eigenwertproblem sinnvollerweise als spezielle komplexwertige Matrizen aufgefaßt. Das charakteristische Polynom einer reellwertigen Matrix hat nur reellwertige Koeffizienten, die Eigenwerte sind entweder reell oder Paare konjugiert komplexer Zahlen (mit jeweils gleicher Vielfachheit). Die Eigenvektoren (EV) zu komplexen Eigenwerten (EW) sind i.a. komplexwertig (für reelle EW: reelle EV λ R x λ R n ). Für spezielle reelle Matrizen gelten spezielle Eigenschaften.

20 Eigenraum zum Eigenwert λ Def. 4.38: Sei λ ein Eigenwert der Matrix A K n n. Dann heißt die Menge Eigenraum zum Eigenwert λ. V λ := {x C n A x = λx} V λ ist ein Untervektorraum des C n. Satz 4.26: Gehören die Eigenvektoren x 1,..., x r zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,..., λ r der Matrix A, dann sind sie linear unabhängig.

21 Ein Beispiel in C 2 2 A = 2 3 i 1 2 i 2 (2 λ) 2 = 1 2 [1 + 3i] = e i π 3 λ 1 = 2 + e i π = 2 [ A λ1 E ] = i λ 2 = 2 e i π = i 3 i 1 2 i i = ei π 6 2e i π ei π 2 e i π i GA: 1. Zeile mit e i π 6 und 2. Zeile mit 2e i π 2 multipl. - ergibt: 1 2e i π ( ) e i π 3 Lsg. (x 1 -BV, x 2 = t) : x = t 1 2e i π

22 EV: x 1 = 1 ( ) 1 3i, analog: x 2 = 1 ( ) 1 + 3i Geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes Def. 4.38: Sei λ ein Eigenwert von A K n n. Dann heißt g(λ) := dim V λ die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ. Satz: Sei λ ein Eigenwert von A K n n. Dann gilt g(λ) = n Rang(A λe) und 1 g(λ) m(λ) n. Satz 4.27: Eine Matrix A K n n hat genau dann n linear unabhängige Eigenvektoren, wenn algebraische und geometrische Vielfachheit bei jedem Eigenwert von A übereinstimmen.

23 Eigenwerte spezieller Matrizen Bei Dreiecksmatrizen sind die Diagonalelemente die Eigenwerte. Ist λ Eigenwert von A, so besitzt die Matrix A + ɛe den Eigenwerte λ + ɛ mit der gleichen algebraischen Vielfachheit. Ist λ Eigenwert von A, so ist λ m (m N) Eigenwert von A m. A und A haben das gleiche charakteristische Polynom und somit die gleichen Eigenwerte. A ist singulär λ = 0 ist EW von A Ist A regulär und ist λ Eigenwert von A, so ist λ 1 Eigenwert von A 1 (A regulär λ i 0 i).