Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen

Transkript

1 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 1 Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen Anna Weller Seminar zur Numerik im SS 2018, Universität zu Köln 10. April 2018 Ziel dieses Vortrags: Einführung in die Theorie der Orthogonalpolynome Motivation und Definition Eigenschaften von Orthogonalpolynomen Ausblick: Berechnung und Anwendungen Verwendete Literatur: [G] W. Gautschi, Orthogonal Polynomials, Oxford University Press, [P] R. Plato, Numerische Mathematik kompakt, Vieweg, 3. Auflage, [W] W. Walter, Analysis 2, Springer, 5. Auflage, 2002.

2 Motivation Polynominterpolation Allgemeines Interpolationsproblem: Gegeben: Stützstellen t 0,..., t n R Daten f 0,..., f n R Gesucht: Stetige Funktion g mit g(t i ) = f i für alle i = 0,..., n. 200 (ti, fi ) g Polynome Reelles Polynom: p(t) = a k t k + a k 1 t k a 1t + a 0, wobei a i R, k N 0 P: Raum aller reellen Polynome Polynominterpolation: Interpolation mit Polynomen, d.h. g P Einfaches Ableiten und Integrieren von Polynomen Nützlich zur numerischen Integration und Lösung von Differentialgleichungen Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 2

3 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 3 Motivation Polynominterpolation Wie finden wir passende Polynome? Basis bestimmen, durch die alle Polynome in P dargestellt werden können Warum ist eine Orthogonalbasis sinnvoll? Sei {v 1, v 2} Basis des R 2 Exkurs Orthogonalbasis Jedes v R 2 besitzt Darstellung v = c 1v 1 + c 2v 2 mit c 1, c 2 R Effiziente Berechnung der Koeffizienten c 1, c 2 und der Darstellung von v? Betrachte nun Orthogonalbasis {w 1, w 2} bezüglich des Skalarprodukts w 1, w 2 = w T 1 w2, d.h. w 1, w 2 = 0 Dann gilt v, w 1 = c 1 w 1, w 1 + c 2 w 2, w 1 = c 1 w 1, w 1 Wegen Orthogonalität ist c 1 = v, w 1 / w 1, w 1 Für Orthonormalbasis mit w 1, w 1 = 1 sogar c 1 = v, w 1 Verallgemeinerung des Begriffs der Orthogonalität für Polynome nötig

4 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 4 Grundlagen aus der Maßtheorie Riemann-Integral f : [a, b] R beschränkte Funktion T = {t 0,... t n} Partition von [a, b] und t k := t k t k 1 n Obersumme: O T (f ) := sup k=1 t [t k 1,t k ] f (t) t k n Untersumme: U T (f ) := inf k t [t k=1 k 1,t k ] oberes und unteres Riemann-Integral b f (t)dt = inf O T (f ) und a T Verallgemeinerung: Riemann-Stieltjes Integral [W] b a f (t)dt = sup U T (f ) T λ : [a, b] R monoton wachsende Funktion, λ k := λ(t k ) λ(t k 1 ) n n O T,λ (f ) := sup f (t) λ k und U T,λ (f ) := inf f (t) λ k k=1 t [t k 1,t k ] t [t k=1 k 1,t k ] oberes und unteres Riemann-Stieltjes Integral b f (t)dλ(t) = inf O T,λ(f ) und a T b a f (t)dλ(t) = sup U T,λ (f ) T

5 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 5 Orthogonalpolynome - Grundlegende Definitionen λ : [a, b] R monoton wachsend mit induziertem positiven Maß dλ dλ mit endlichen Momenten µ r (dλ) := R tr dλ(t), d.h. µ r < für r = 0, 1, 2,... P Raum der reellen Polynome, P d Raum der reellen Polynome mit Grad d Für u, v P definiere inneres Produkt (u, v) dλ := u(t)v(t)dλ(t) R mit zugehöriger Norm u dλ := (u, u) dλ Orthogonalität: Zwei Polynome u und v aus P heißen orthogonal, falls (u, v) dλ = 0 Bemerkung In Anwendungen meistens absolut stetige Maße dλ Dann ist dλ(t) = ω(t)dt ω Gewichtsfunktion auf R, nicht negativ und integrierbar (u, v) dλ = u(t)v(t) dλ(t) = u(t)v(t) ω(t) dt R R Im Folgenden häufig (, ) = (, ) dλ und = dλ, wenn Maß aus Zusammenhang bekannt

6 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 6 Normierte Orthogonalpolynome und Orthonormalpolynome Normiertes Polynom: π k (t) = a k t k + a k 1 t k a 1t + a 0 mit a k = 1. Normierte Orthogonalpolynome π k ( ; dλ) = π k ( ) im Hinblick auf das Maß dλ erfüllen (i) (π k, π l ) = 0 für k l und k, l = 0, 1, 2,... (ii) π k > 0 für k = 0, 1, 2,... Eigenschaften π 0, π 1,... π n linear unabhängig Jedes p P n besitzt eindeutige Darstellung n p = c k π k k=0 für c k R π 0, π 1,... π n bilden Orthogonalbasis von P n Orthonormal-Polynome π( ; dλ) = π( ) Normalisierung π k = π k / π k, k = 0, 1, 2,... { 0 falls k l, ( π k, π l ) = δ kl := 1 falls k = l.

7 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 7 Positiv-Definitheit des inneren Produkts Erinnerung Maß dλ mit endlichen Momenten µ r = R tr dλ(t) für r = 0, 1, 2,... inneres Produkt (u, v) = R u(t)v(t)dλ(t) zugehörige Norm u = (u, u) Das innere Produkt heißt positiv definit, falls u > 0 für alle u P Kriterium für die Positiv-Definitheit Hankel-Determinante in den Momenten µ r : µ 0 µ 1... µ n 1 µ 1 µ 2... µ n n := det M n mit M n :=, n = 1, 2, 3, µ n 1 µ n... µ 2n 2 Satz: Inneres Produkt positiv definit auf P genau dann, wenn n > 0 für n = 1, 2, 3,... Beweis: Siehe Gautschi [G]

8 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 8 Existenz normierter Orthogonalpolynome [G] Satz: Inneres Produkt (, ) positiv definit auf P Es existiert eindeutig bestimmte unendliche Folge normierter Orthogonalpolynome {π k } k N0 Beweis: Sei e k (t) := t k für k = 0, 1, 2,... Wende Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren mit π 0 = 1 auf e k an k 1 π k = e k c l π l, c l = (e k, π l ) (π l=0 l, π l ) Mit vollständiger Induktion folgt: π k existiert, da (, ) positiv definit und somit (π l, π l ) > 0 π k eindeutig bestimmt nach Konstruktion π k orthogonal zu allen Polynomen π j mit j < k nach Konstruktion

9 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 9 Beispiel: Tschebyscheff-Polynome [P] Betrachte Maß dλ(t) := 1 1 t 2 dt auf ( 1, 1) und zugehöriges n-tes Tschebyscheff-Orthogonalpolynom T n(t) = cos(n arccos(t)) Orthogonalität Trigonometrische Beziehung: 2 cos(mx) cos(nx) = cos((m + n)x) + cos((m n)x) Substitution t = cos(x) liefert 1 cos(n arccos(t)) cos(m arccos(t)) (T n(t), T m(t)) dλ = dt 1 1 t 2 π = cos(nx) cos(mx)dx 0 = 1 π [cos((m + n)x) + cos((m n)x)] dx 2 0 = 0 für n m.

10 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 10 Rekursive Darstellung Trigonometrische Beziehung cos((n + 1)x) + cos((n 1)x) = 2 cos(x) cos(nx) für m = 1 liefert T n+1 = cos((n + 1) arccos(t)) = 2 cos(arccos(t)) cos(n arccos(t)) cos((n 1) arccos(t)) = 2tT n(t) T n 1(t) T n+1 lässt sich rekursiv aus T n und T n 1 konstruieren, wobei T 0(t) = 1 und T 1(t) = t T n ist ein Polynom, da T n(t) = 2 n 1 t n +... Die ersten Tschebyscheff Orthogonalpolynome sind gegeben durch... T 0(t) = 1 T 1(t) = t T 2(t) = 2t 2 1 T 3(t) = 4t 3 3t T 4(t) = 8t 4 8t T 5(t) = 16t 5 20t 3 + 5t T0 T1 T2 T3 T4 T5

11 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 11 Ausblick Berechnung von Orthogonalpolynomen Drei-Term-Rekursion: Für normierte Orthogonalpolynome π k ( ), k = 0, 1, 2,... gilt π k+1 (t) = (t α k )π k (t) β k π k 1 (t) für k = 0, 1, 2,... π 1(t) = 0, π 0(t) = 1, wobei α k := (tπ k, π k ) (π k, π k ) für k = 0, 1, 2,... β k := (π k, π k ) (π k 1, π k 1 ) für k = 1, 2,... Aufgabe: Berechnung der ersten n Rekursionskoeffizienten α k (dλ) und β k (dλ) Hier: Maß dλ ist implizit gegeben durch Momente µ r = R tr dλ(t) für r = 0, 1, 2,... Konstruiere Rekursionskoeffizienten über die Momente des zugehörigen Maßes Effizienz Momente-basierter Verfahren hängt stark von der Kondition des zugrunde liegenden Problems ab Algorithmus von Tschebyscheff

12 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 12 Ausblick Anwendungen Quadratur-Regeln Verfahren zur numerischen Integration Approximiere Integral mithilfe von Stützstellen Zusammenhang zwischen der Güte der Approximation und der Wahl der Stützstellen Berechnung der Gauss-Quadratur in Matlab Kleinste-Quadrate-Approximation Verfahren zur Lösung von Ausgleichsproblemen Zu N gegebenen Datenpunkten (t i, f i ) finde Polynom ˆp mit für positive Gewichte ω i N i=1 Üblich: ˆp Polynom vom Grad n N ω i (ˆp(t i ) f i ) 2 = min ω i (p(t i ) f i ) 2 p Pn Routinen zur kleinste-quadrate-approximation in Matlab

13 Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 13 Ausblick Sobolev-Orthogonalpolynome Gleichzeitige Approximation einer Funktion und deren Ableitung Betrachte inneres Produkt, das Ableitungen enthält Sobolev-Skalarprodukt (u, v) S = (u, v) dλ0 + (u, v ) dλ1 + + (u (s), v (s) ) dλs Unterschiedliche Maße dλ σ möglich Klassische Drei-Term-Rekursionsrelation gilt nicht für Sobolev-Orthogonalpolynome Finde erweiterte Rekursionsrelation zur Konstruktion von Sobolev-Orthogonalpolynomen