13. ABBILDUNGEN EUKLIDISCHEN VEKTORRÄUMEN

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1 13. ABBILDUNGEN in EUKLIDISCHEN VEKTORRÄUMEN 1

2 Orthogonale Abbildungen im R 2 und R 3. Eine orthogonale Abbildung ist eine lineare Abbildung, die Längen und Orthogonalität erhält. Die zugehörige Matrix O nennt man eine orthogonale Matrix. Im R 2 finden sich zwei Typen von orthogonalen Abbildungen: Drehungen um den Ursprung, und Spiegelungen an einer Geraden durch den Ursprung. 2

3 Eine Drehung um den Winkel ϕ wird durch die Matrix ( ) cos ϕ sin ϕ O = sin ϕ cos ϕ gegeben. L(e 2 ) e 2 L(e 1 ) = ( ) cos ϕ sin ϕ ϕ L(e 1 ) e 1 L(e 2 ) = ( ) sin ϕ cos ϕ 3

4 Die Umkehrabbildung ist die Drehung um ϕ, also ( ) O 1 cos( ϕ) sin( ϕ) = sin( ϕ) cos( ϕ) bzw. O 1 = ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) Man beachte, dass O 1 aus O durch Spiegelung an der Diagonalen ( Transposition ) hervorgeht. Wir schreiben O 1 = O T. 4

5 Die Matrix ( cos ϕ sin ϕ O = sin ϕ cos ϕ ergibt eine Spiegelung an der Geraden mit Steigungswinkel ϕ/2 ) e 2 L(e 1 ) e 1 L(e 1 ) = L(e 2 ) = ( ) cos ϕ sin ϕ ( ) sin ϕ cos ϕ L(e 2 ) 5

6 Eine nochmalige Spiegelung an derselben Geraden ergibt die Umkehrabbildung. Hier gilt also O 1 = O = ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) Bemerke: Auch hier entsteht die Umkehrabbildung (in trivialer Weise) durch Transposition der Matrix (Spiegelung an der Diagonalen): O 1 = O T Wir werden sehen, dass sich hier eine allgemeinere Gesetzmäßigkeit zu erkennen gibt. 6

7 Die Matrizen cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ , cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ geben eine Drehung bzw. Drehspiegelung um die x 3 -Achse im R 3. Bemerkenswerterweise sind alle orthogonalen Abbildungen des R 3 von solcher Struktur, wobei die Drehachse beliebig ausgerichtet sein kann. 7

8 Definition. Eine lineare Abbildung L : R n R n des Euklidischen Raumes R n auf sich selbst, heißt orthogonal, falls sie Längen unverändert lässt, d.h. L(x) = x für alle x R n, und falls sie Orthogonalität erhält, d.h. x y L(x) L(y) und allgemeiner das Skalarprodukt erhält, d.h. für alle x, y R n. L(x), L(y) = x, y Die quadratische Matrix O einer orthogonalen Abbildung heißt orthogonale Matrix. 8

9 Wie kann man allgemein orthogonale Matrizen erkennen? Dazu benötigen wir den Begriff der Orthonormalbasis. 9

10 Definition. Eine Basis b 1,..., b n des R n heißt Orthonormalbasis, falls die Vektoren normiert sind, d.h. b 1 = = b n = 1 gilt und falls die Basisvektoren orthogonal sind, also b i b j für i j gilt. 10

11 Beispiele: 1. Standardbasis e 1,..., e n ( ) ( ) 2. b 1 = 1 1, b = b 1 = , b 2 = , b 3 =

12 Orthonormale Basen b 1,..., b n sind besonders rechenfreundlich: Hat x in der Basis die Darstellung x = λ 1 b λ n b n so folgt wegen b 1, b 1 = 1 und b 2, b 1 = = b n, b 1 = 0 x, b 1 =λ 1 b 1, b λ n b n, b 1 =λ λ n 0 =λ 1 und allgemeiner λ i = x, b i 12

13 Beispiel: Für b 1 = 1 3 ( 1, 2, 2)T, b 2 = 1 3 (2, 1, 2)T, b 3 = 1 (2, 2, 1)T 3 und gilt x = (2, 3, 4) T = λ 1 b 1 + λ 2 b 2 + λ 3 b 3 λ 1 = x, b 1 = 2 ( 1 3 ) = 4 λ 2 = x, b 2 = ( 1 3 ) = 3 λ 3 = x, b 3 = ( 1 3 ) = 2 13

14 Charakterisierung orthogonaler Abbildungen. 1. Eine lineare Abbildung L : R n R n ist genau dann orthogonal, falls sie orthonormale Basen ineinander überführt, falls also für irgendeine orthonormale Basis b 1,..., b n auch L(b 1 ),..., L(b n ) eine orthonormale Basis ist. Angewandt auf die Standardbasis bedeutet die: 2. Eine lineare Abbildung L : R n R n ist genau dann orthogonal, falls L(e 1 ),..., L(e n ) eine orthonormale Basis ist. Oder: 3. Eine n n-matrix O ist genau dann orthogonal, falls ihre Spalten orthogonale Vektoren der Länge 1 sind. 14

15 Beispiele. Drehungen und Spiegelungen und ( cos ϕ sin ϕ O = sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ O = sin ϕ cos ϕ ) ) Zur Berechnung der inversen Matrix einer allgemeinen orthogonalen Matrix benötigen wir den Begriff einer transponierten Matrix. 15

16 Definition. Die Transponierte einer m n-matrix A ist die n m-matrix A T, die aus A durch Spiegelung an der Diagonalen entsteht, deren Zeilen (von links nach rechts) also gerade die Spalten von A (von oben nach unten) sind. Für die Einträge a ij und a T ij in beiden Matrizen bedeutet dies a T ij = a ji Beispiele. ( ) T = , ( ) T =

17 Wir berechnen das Matrixprodukt A T A. Zum Beispiel: A T A = = = ( 2 3 ) ) ( ) ( 2 ( ) ( 3 ( ) ( ( ) ( ) 2 ( 3 ) ( ) 3 ( 3 ) ( ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ) ) ) 17

18 Allgemein formuliert: Hat A die Spalten a 1,..., a n, so hat A T die Zeilen a T 1,..., at n, A = ( a 1... a n ), A T = a T 1... a T n und nach Definition der Matrixmultiplikation A T A = a T 1 a 1... a T 1 a n... a T na 1... a T na n 18

19 Beachten wir noch, dass für zwei Vektoren x, y R n die Gleichung x T y = x 1 y x n y n = x, y gilt, so folgt insgesamt A T A = a 1, a 1... a 1, a n... a n, a 1... a n, a n 19

20 Da für eine orthogonale Matrix O die Spalten a 1,..., a n eine orthonormale Basis bilden, folgt O T O = = E = Einheitsmatrix und dies bedeutet, dass eine orthogonale Matrix O auch durch die Gleichung O 1 = O T (inverse Matrix = transponierte Matrix) charakterisiert ist. 20

21 Weitere Charakterisierungen von orthogonalen Abbildungen: 1. L ist eine orthogonale Abbildung, wenn L 1 orthogonal ist. Oder: 2. O ist eine orthogonale Matrix, wenn O T eine orthogonale Matrix ist. Oder: 3. O ist eine orthogonale Matrix, wenn die Zeilen von O orthogonale Vektoren der Länge 1 sind. 21

22 Diagonalmatrizen und ihre Verwandten. 22

23 Wir betrachten lineare Abbildung L des Euklidischen Raumes R n auf sich selbst. Wird L durch eine quadratische Diagonalmatrix D = d 1 d d n 1 d n := [d 1,..., d n ] dargestellt, mit lauter Nullen außerhalb der Diagonalen, dann ist die geometrische Wirkung der Abbildung L klar: 23

24 Dehnungen mit unterschiedlichen Faktoren in Richtung der Koordinatenachsen: D = ( ) , L(e 1 ) = e 1, L(e 2 ) = 2e 2 L 24

25 Algebraisch interessiert uns hier besonders die offensichtliche Eigenschaft von quadratischen Diagonalmatrizen D = D T Ein anderes Beispiel: 25

26 Beispiel: Für A = ( ) , also A = A T gilt L(e 1 ) = 2e 1 + e 2, L(e 2 ) = e 1 + 2e 2, also L(e 1 + e 2 ) = 3(e 1 + e 2 ), L(e 2 e 1 ) = e 2 e 1 L 26

27 Man kann dieses Bild auch noch anders realisieren: Mit der Diagonalmatrix D = ( ) und einer Drehung um 45 mit der Matrix ( cos 45 O = sin 45 ) ( 1/ 2 1/ 2 sin 45 cos 45 = 1/ 2 1/ 2 ) 27

28 L O T O D 28

29 Wir haben also die lineare Abbildung L in drei Verkettungsschritte zerlegt, was sich in den Matrizen ausdrückt als ( ) 2 1 A = 1 2 = ODO T = ( 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 ) ( ) ( 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 ) Wer es nicht glaubt, rechne es per Matrixmultiplikation nach! 29

30 Theorem. Sei A eine symmetrische n n-matrix, also A T = A Dann gibt es n n-matrizen D und O, D eine Diagonalmatrix und O eine orthogonale Matrix, so dass A = ODO T Auf die Berechnung von D aus A kommen wir zurück. 30

31 Das Bild der Einheitssphäre unter einer linearen Abbildung. 31

32 Die Einheitssphäre im R n ist die Menge S n 1 = {x R n x = 1} Frage: Wie sieht das Bild von S n 1 unter einer linearen Abbildung L aus? 32

33 Zunächst der Fall, dass L durch eine Diagonalmatrix D = [d 1,..., d n ] gegeben ist. Dann gilt die Streckungsgleichung x 1. x n y 1... = y n d 1 x 1. d n x n und die Bedingung x 2 = x x2 n = 1 geht wegen x i = y i /d i in über. y 2 1 d y2 n d 2 n = 1 33

34 Das Bild ist ein Ellipsoid mit Hauptachsen der Länge d 1,..., d n. L 34

35 Sind einige Diagonalelemente gleich 0, so entartet das Ellipsoid. L 35

36 Allgemein sieht das für lineare Abbildungen so aus: L 36

37 Es gibt drei Fälle. Geometrisch: diagonal L selbstadjungiert allgemein 37

38 Drei Fälle, algebraisch: Ist A die zu L : R n R n gehörige Matrix, so gilt: diagonal: A = D symmetrisch: A = ODO T allgemein: A = UDV T mit D Diagonal- und O, U, V Orthogonalmatrix. Die Zerlegung A = UDV T heißt Singulärwertzerlegung von A. 38